1、9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系. 相交； 相切； 相離.,知識梳理,dr,dr,dr,相交,相切,相離,2.圓與圓的位置關(guān)系,dr1r2,無解,一組實數(shù)解,兩組不同的實數(shù)解,dr1r2,|r1r2|dr1r2,一組實數(shù)解,無解,0d|r1r2|(r1r2),d|r1r2|(r1r2),1.圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過圓x2y2r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程為x0 xy0yr2. (2)過圓(xa)2(yb)2

2、r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0 a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)過圓x2y2r2外一點m(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0 xy0yr2.,2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論 (1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0條；內(nèi)切：1條； 相交：2條；外切：3條；相離：4條. (2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.() (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.() (3)從兩圓的

3、方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(),(4)過圓o：x2y2r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程是x0 xy0yr2.() (5)過圓o：x2y2r2外一點p(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則o，p，a，b四點共圓且直線ab的方程是x0 xy0yr2.(),1.(教材改編)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關(guān)系是 a.相切 b.相交但直線不過圓心 c.相交過圓心 d.相離,考點自測,答案,解析,所以直線與圓相交但不過圓心.,由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離,2.(2016全國甲卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線

4、axy10的距離為1，則a等于,答案,解析,由圓的方程x2y22x8y130，得圓心坐標為(1,4)，,3.(2016西安模擬)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 a.3，1 b.1,3 c.3,1 d.(，31，),答案,解析,解得3a1.,幾何畫板展示,4.(2016黑龍江大慶實驗中學(xué)檢測)已知圓c1：(x2)2(y3)21，圓c2：(x3)2(y4)29，m，n分別是圓c1，c2上的動點，p為x軸上的動點，則|pm|pn|的最小值為,答案,解析,圓c1關(guān)于x軸對稱的圓c1的圓心為c1(2，3)，半徑不變，圓c2的圓心為(3,4)，半徑r3，|pm|pn|的最

5、小值為圓c1和圓c2的圓心距減去兩圓的半徑，,幾何畫板展示,5.已知圓c1：(xa)2(y2)24與圓c2：(xb)2(y2)21外切，則 ab的最大值為_.,答案,解析,由兩圓外切可得圓心(a，2)，(b，2)之間的距離等于兩圓半徑之和， 即(ab)2(21)2，即9a2b22ab4ab， 所以ab ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號， 即ab的最大值是 .,題型分類深度剖析,題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷,例1 (1)已知點m(a，b)在圓o：x2y21外，則直線axby1與圓o的位置關(guān)系是 a.相切 b.相交 c.相離 d.不確定,答案,解析,(2)(2016江西吉安月考)圓x2y22x4y0與直線

6、2txy22t0(tr)的位置關(guān)系為 a.相離 b.相切 c.相交 d.以上都有可能,答案,解析,直線2txy22t0恒過點(1，2)， 12(2)2214(2)50， 點(1，2)在圓x2y22x4y0內(nèi). 直線2txy22t0與圓x2y22x4y0相交， 故選c.,思維升華,判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法 (1)幾何法：利用d與r的關(guān)系. (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷. (3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.,由題意可知過a，b兩點的直線方程為(ab)xyab0，,化簡后得d1，故

7、直線與圓相切.,相切,答案,解析,題型二圓與圓的位置關(guān)系,例2 (1)(2016山東)已知圓m：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2 ，則圓m與圓n：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是 a.內(nèi)切 b.相交 c.外切 d.相離,答案,解析,圓m：x2(ya)2a2(a0)， 圓心坐標為m(0，a)，半徑r1為a，,又圓n的圓心坐標n(1,1)，半徑r21，,r1r23，r1r21. r1r2|mn|r1r2，兩圓相交，故選b.,(2)(2017重慶月考)如果圓c：x2y22ax2ay2a240與圓o：x2y24總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,圓c的標準方程為(x

8、a)2(ya)24，圓心坐標為(a，a)，半徑為2.,思維升華,判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是 (1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長； (2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|； (3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論.,跟蹤訓(xùn)練2 已知兩圓x2y22x6y10和x2y210 x12ym0. (1)m取何值時兩圓外切； (2)m取何值時兩圓內(nèi)切； (3)求m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.,解答,兩圓的標準方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，,(3)兩圓的公共弦所在直線方程為 (x2y22x6y1

9、)(x2y210 x12y45)0，,(1)當(dāng)兩圓外切時，,即4x3y230，所以公共弦長為,題型三直線與圓的綜合問題,命題點1求弦長問題,例3(2016全國丙卷)已知直線l：mxy3m 0與圓x2y212交于a，b兩點，過a，b分別做l的垂線與x軸交于c，d兩點，若|ab|2 ，則|cd|_.,答案,解析,4,設(shè)ab的中點為m，,令y0，解得c(2,0)，d(2,0)，所以|cd|4.,命題點2直線與圓相交求參數(shù)范圍,例4(2015課標全國)已知過點a(0,1)且斜率為k的直線l與圓c： (x2)2(y3)21交于m，n兩點. (1)求k的取值范圍；,解答,由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1

10、，,解答,設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2). 將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70.,(1k2)x1x2k(x1x2)1,所以l的方程為yx1. 故圓心c在l上，所以|mn|2.,命題點3直線與圓相切的問題,例5已知圓c：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程. (1)與直線l1：xy40平行；,解答,設(shè)切線方程為xyb0，,(2)與直線l2：x2y40垂直；,解答,設(shè)切線方程為2xym0，,(3)過切點a(4，1).,解答,過切點a(4，1)的切線斜率為3， 過切點a(4，1)的切線方程為y13(x4)， 即3xy110.,思維

11、升華,直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略 (1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形. (2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.,跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2015課標全國)過三點a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圓交y軸于m、n兩點，則|mn|等于,答案,解析,故過三點a、b、c的圓以ac為直徑， 得其方程為(x1)2(y2)225， 令x0，得(y2)224，,答案,解析,依題意，得圓心到直線的距離等于半徑，,高考中與圓交匯問題的求解,高頻小考點7,與圓有關(guān)的最值問題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來高考高頻小考

12、點.與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì).,考點分析,典例1(1)(2015湖南)已知點a，b，c在圓x2y21上運動，且abbc.若點p的坐標為(2,0)，則 的最大值為 a.6 b.7 c.8 d.9,答案,解析,一、與圓有關(guān)的最值問題,a，b，c在圓x2y21上，且abbc，ac為圓的直徑，,設(shè)b(x，y)，則x2y21且x1,1，,答案,解析,二、直線與圓的綜合問題 典例2(

13、1)(2015重慶)已知直線l：xay10(ar)是圓c：x2y24x2y10的對稱軸，過點a(4，a)作圓c的一條切線，切點為b，則|ab|等于,答案,解析,由于直線xay10是圓c：x2y24x2y10的對稱軸， 圓心c(2,1)在直線xay10上，2a10，a1， a(4，1). |ac|236440.又r2，|ab|240436. |ab|6.,(2)在平面直角坐標系中，a，b分別是x軸和y軸上的動點，若以ab為直徑的圓c與直線2xy40相切，則圓c面積的最小值為,答案,解析,aob90，點o在圓c上. 設(shè)直線2xy40與圓c相切于點d， 則點c與點o間的距離等于它到直線2xy40的距

14、離， 點c在以o為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上， 當(dāng)且僅當(dāng)o，c，d共線時，圓的直徑最小為|od|.,課時作業(yè),1.(2016廣州調(diào)研)若點a(1,0)和點b(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有 a.1條 b.2條 c.3條 d.4條,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,如圖，分別以a，b為圓心，1,2為半徑作圓.依題意，得直線l是圓a的切線，a到l的距離為1，直線l也是圓b的切線，b到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若圓

15、c1：x2y21與圓c2：x2y26x8ym0外切，則m等于 a.21 b.19 c.9 d.11,答案,解析,圓c2的標準方程為(x3)2(y4)225m. 又圓c1：x2y21，|c1c2|5. 又兩圓外切，,3.(2016南昌二模)若圓c1：x2y22axa290(ar)與圓c2：x2y22byb210(br)內(nèi)切，則ab的最大值為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圓c1：x2y22axa290(ar). 化為(xa)2y29，圓心坐標為(a,0)，半徑為3. 圓c2：x2y22byb21

16、0(br)，化為x2(yb)21，圓心坐標為(0，b)，半徑為1， 圓c1：x2y22axa290(ar)與圓c2：x2y22byb210(br)內(nèi)切，,ab的最大值為2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016泰安模擬)過點p(3,1)作圓c：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為a，b，則直線ab的方程為 a.2xy30 b.2xy30 c.4xy30 d.4xy30,答案,解析,如圖所示，由題意知：abpc，kpc ，kab2，直線ab的方程為y12(x1)，即2xy30.,5.若直線l：ykx1(k0)與圓c：x24xy22y30相切，則直線l與圓d

17、：(x2)2y23的位置關(guān)系是 a.相交 b.相切 c.相離 d.不確定,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知a(2,0)，b(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，m，n是圓x2y2kx0上兩個不同點，p是圓x2y2kx0上的動點，如果m，n關(guān)于直線xy10對稱，那么pab的面積的最大值是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,依題意得圓x2y2kx0的圓心( ，0)位于直線xy10上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,于是有 10，即k2，

18、因此圓心坐標是(1,0)，半徑是1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016全國乙卷)設(shè)直線yx2a與圓c：x2y22ay20相交于a，b兩點，若|ab|2 ，則圓c的面積為_.,答案,解析,4,圓c：x2y22ay20，即c：x2(ya)2a22，圓心為c(0，a)，,解得a22，所以圓的面積為(a22)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016天津四校聯(lián)考)過點(1， )的直線l將圓(x2)2y24分成兩段 弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k_.,答案,解析,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，圓心(2,0)與點(1

19、， )的連線垂直于直線l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由題意，圓心為o(0,0)，半徑為1.如圖所示，,poa為直角三角形，其中|oa|1，|ap| ，,則|op|2， opa30，apb60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在平面直角坐標系xoy中，圓c的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓c有 公共點，則k的最大值是_.,答案,解析,圓c的標準方程為(x4)2y21，圓心為(4,0). 由題意知(4,0)到kxy20的距離應(yīng)不大于2，,11.已知圓c：x2

20、y22x4y10，o為坐標原點，動點p在圓c外，過p作圓c的切線，設(shè)切點為m. (1)若點p運動到(1,3)處，求此時切線l的方程； (2)求滿足條件|pm|po|的點p的軌跡方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,把圓c的方程化為標準方程為(x1)2(y2)24， 圓心為c(1,2)，半徑r2. (1)當(dāng)l的斜率不存在時，此時l的方程為x1， c到l的距離d2r，滿足條件. 當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)斜率為k， 得l的方程為y3k(x1)， 即kxy3k0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,l的方程為y3(x1)， 即3x4y150. 綜上，滿足條件的切線l的方程為x1或3x4y150. (2)設(shè)p(x，y)，則|pm|2|pc|2|mc|2 (x1)2(y2)24， |po|2x2y2，|