1、9.5橢圓,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.橢圓的概念 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于f1f2)的點(diǎn)的軌跡叫做 ，兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 . 集合pm|mf1mf22a，f1f22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合p為橢圓； (2)若 ，則集合p為線段； (3)若 ，則集合p為空集.,知識(shí)梳理,橢圓,焦點(diǎn),焦距,ac,ac,ac,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,a2b2c2,點(diǎn)p(x0，y0)和橢圓的關(guān)系 (1)點(diǎn)p(x0，y0)在橢圓內(nèi) 1.,判斷下列結(jié)論

2、是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊? (1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.() (2)橢圓上一點(diǎn)p與兩焦點(diǎn)f1，f2構(gòu)成pf1f2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).() (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.() (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.() (5) 1(ab)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.() (6) 1(ab0)與 1(ab0)的焦距相等.(),考點(diǎn)自測,1.(教材改編)橢圓 1的焦距為4，則m_.,答案,解析,4或8,由題意知,解得m4或m8.,2.(2016蘇州檢測)在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，動(dòng)

3、點(diǎn)p到定點(diǎn)f(1,0)的距離與p到定直線x4的距離的比值為 .則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程 為_.,答案,解析,設(shè)點(diǎn)p(x，y)，由題意知 ，,化簡得3x24y212，,所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為 1.,3.(2016全國乙卷改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓 中心到l的距離為其短軸長的 ，則該橢圓的離心率為_.,答案,解析,如圖，由題意得，bfa，ofc，obb，,od 2b b.,在rtfob中，ofobbfod， 即cba b，,解得a2c，故橢圓離心率e .,4.如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.,答案,解析,(0,1),將橢圓方程化為 1，

4、,因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，則 2，即k1，,又k0，所以0k1.,5.(教材改編)已知點(diǎn)p是橢圓 1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)p及焦點(diǎn)f1，f2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為 _.,答案,解析,設(shè)p(x，y)，由題意知c2a2b2541， 所以c1，則f1(1,0)，f2(1,0)， 由題意可得點(diǎn)p到x軸的距離為1，,所以y1，把y1代入 1，得x ，,又x0，所以x ，,所以p點(diǎn)坐標(biāo)為 或,題型分類深度剖析,題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 命題點(diǎn)1利用定義求軌跡 例1(2016徐州模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內(nèi)一定點(diǎn)，m是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使m與f重合，然后抹平紙片，折

5、痕為cd，設(shè)cd與om交于點(diǎn)p，則點(diǎn)p的軌跡是_.,答案,解析,橢圓,由條件知pmpf， popfpopmomrof. p點(diǎn)的軌跡是以o，f為焦點(diǎn)的橢圓.,幾何畫板展示,命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求橢圓方程 例2(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且 過點(diǎn)p(3,0)，則橢圓的方程為_.,答案,解析,y21或 1,若焦點(diǎn)在x軸上，,設(shè)方程為 1(ab0).,橢圓過p(3,0)， 1，即a3，,又2a32b，b1，橢圓方程為 y21.,若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為 1(ab0).,橢圓過點(diǎn)p(3,0)， 1，即b3.,又2a32b，a9，橢圓方程為 1.,所求橢圓的方程為 y21或

6、 1.,(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)p1( ，1)， p2( )，則橢圓的方程為_.,答案,解析,設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn). 橢圓經(jīng)過點(diǎn)p1，p2，點(diǎn)p1，p2的坐標(biāo)適合橢圓方程.,兩式聯(lián)立，解得,所求橢圓方程為 1.,命題點(diǎn)3利用定義解決“焦點(diǎn)三角形”問題 例3已知f1，f2是橢圓c： 1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓c上的一點(diǎn)，且 .若pf1f2的面積為9，則b_.,答案,解析,3,設(shè)pf1r1，pf2r2，,因?yàn)?r1r2(r1r2)2( )4a24c24b2，,又因?yàn)?所以b3.,幾何畫板展示,引申探究 1.在例3中，若增加條件“pf1

7、f2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.,解答,由原題得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,故橢圓方程為 1.,2.在例3中，若將條件“ ”“pf1f2的面積為9”分別改為“f1pf260”“ ”，結(jié)果如何？,解答,pf1pf22a，又f1pf260， 所以 2pf1pf2cos 60 ， 即(pf1pf2)23pf1pf24c2， 所以pf1pf2b2，,所以3pf1pf24a24c24b2，,所以pf1pf2 ，,又因?yàn)?所以b3.,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2af1f2這一條件. (2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

8、程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)當(dāng)p在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)f1，f2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求pf1pf2；通過整體代入可求其面積等.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1(1)(2016鹽城模擬)已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切，和圓c2相外切，則動(dòng)圓 圓心m的軌跡方程為_.,答案,解析,設(shè)

9、圓m的半徑為r， 則mc1mc2(13r)(3r)168c1c2， 所以m的軌跡是以c1，c2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a16,2c8，,故所求的軌跡方程為 1.,幾何畫板展示,(2)(2016鎮(zhèn)江模擬)設(shè)f1、f2分別是橢圓 y21的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)p，使 0(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則f1pf2的面積是_.,1,pf1pf2，f1pf290. 設(shè)pf1m，pf2n， 則mn4，m2n212,2mn4，,答案,解析,題型二橢圓的幾何性質(zhì) 例4(1)已知點(diǎn)f1，f2是橢圓x22y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 的最小值是_.,2,答案,解析,設(shè)p(x0，y0)，則 (1x0，y

10、0)，,(1x0，y0)， (2x0，2y0)，,點(diǎn)p在橢圓上，0 1，,當(dāng) 1時(shí)， 取最小值2.,(2)(2016全國丙卷改編)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f是橢圓c： 1(ab0)的左焦點(diǎn)，a，b分別為橢圓c的左，右頂點(diǎn).p為c上一點(diǎn)，且pfx軸.過點(diǎn)a的直線l與線段pf交于點(diǎn)m，與y軸交于點(diǎn)e.若直線bm經(jīng) 過oe的中點(diǎn)，則c的離心率為_.,答案,解析,設(shè)m(c，m)，則 ，oe的中點(diǎn)為d，則 ，,又b，d，m三點(diǎn)共線，所以 ，a3c，e .,(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，

11、離心率的范圍等不等關(guān)系. 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. (2)求橢圓的離心率問題的一般思路 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，f是橢圓 1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線y 與橢圓交于b，c兩點(diǎn)，且bfc 90，則該橢圓的離心率是_.,答案,解析,聯(lián)立方程組,解得b，c兩點(diǎn)坐標(biāo)為,又f(c,0)，則,又由bfc90，可

12、得 0，代入坐標(biāo)可得,c2 0，,又因?yàn)閎2a2c2.,代入式可化簡為 ，則橢圓離心率為e .,題型三直線與橢圓 例5(2016天津)設(shè)橢圓 1(a )的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a. 已知 ，其中o為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程；,解答,設(shè)f(c,0)，由 ，,可得a2c23c2. 又a2c2b23，所以c21，因此a24.,所以橢圓的方程為 1.,(2)設(shè)過點(diǎn)a的直線l與橢圓交于點(diǎn)b(b不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)m，與y軸交于點(diǎn)h.若bfhf，且moamao，求直線l的斜率的取值范圍.,證明,設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2).,設(shè)b(xb，yb

13、)，由方程組 消去y，,整理得(4k23)x216k2x16k2120，,解得x2或x .,由題意，得xb ，從而yb .,由(1)知，f(1,0)，設(shè)h(0，yh)，,由bfhf，得 0，,所以 0，解得yh .,設(shè)m(xm，ym)，由方程組 消去y，,因此直線mh的方程為y .,設(shè)m(xm，ym)，由方程組消去y，,在mao中，moamaomamo，即(xm2)2 ，,化簡得xm1，即 1，,解得xm .,解得k 或k .,所以直線l的斜率的取值范圍為,(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題

14、.涉及弦中點(diǎn)的問題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單. (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 (k為直線斜率). 提醒：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知橢圓o： y21的右焦點(diǎn)為f，b，c分別為橢圓o的上，下頂點(diǎn)，p是直線l：y2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與y軸交點(diǎn)除外)，直線pc交橢圓o于另一點(diǎn)m. (1)當(dāng)直線pm過橢圓的右焦點(diǎn)f時(shí)，求fbm的面積；,解答,由題意知b(0,1)，c(0，1)，焦點(diǎn)f( ，0)， 當(dāng)直線pm過橢圓o的右焦點(diǎn)f時(shí)，,直線pm的方程為 1，即y 1.,聯(lián)立,解得 或 (

15、舍去)，,即點(diǎn)m的坐標(biāo)為( ).,連結(jié)bf，則直線bf的方程為 1，,即x 0.,又bfa2，點(diǎn)m到直線bf的距離為,故fbm的面積為smbf,(2)記直線bm，bp的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；,解答,方法一設(shè)p(m，2)，且m0，,則直線pm的斜率為k,則直線pm的方程為y x1.,聯(lián)立 消去y，得 0，,解得點(diǎn)m的坐標(biāo)為( )，,所以k1k2 為定值.,方法二設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x0，y0)(x00)，,則直線pm的方程為y x1，,令y2，得點(diǎn)p的坐標(biāo)為( ，2)，,求 的取值范圍.,解答,方法一由知， (m,3)，,令m24t4，,因?yàn)閥t 7在t(4，)上單調(diào)遞增，,故

16、 的取值范圍為(9，).,因?yàn)閥t 7在t(0,2)上單調(diào)遞減，,令ty01(0,2)，,故 的取值范圍為(9，).,考點(diǎn)分析離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法.,高考中求橢圓的離心率問題,高頻小考點(diǎn)8,典例1(2015福建改編)已知橢圓e： 1(ab0)的右焦點(diǎn)為f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為m，直線l：3x4y

17、0交橢圓e于a，b兩點(diǎn).若afbf4，點(diǎn)m到直線l的距離不小于 ，則橢圓e的離心率的取值范圍 是_.,答案,解析,左焦點(diǎn)f0，連結(jié)f0a，f0b， 則四邊形afbf0為平行四邊形. afbf4， afaf04， a2.,設(shè)m(0，b)，則 ，1b2.,典例2(14分)(2016浙江)如圖，設(shè)橢圓 y21(a1). (1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)； (2)若任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.,規(guī)范解答,解(1)設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為am，,由 得(1a2k2)x22a2kx0，,故x10，x2 ，,6分,(2)假設(shè)圓與

18、橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)， 由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)p，q，滿足apaq. 記直線ap，aq的斜率分別為k1，k2， 且k1，k20，k1k2. 8分,由k1k2，k1，k20，得1 a2(2a2) 0，,因此 1a2(a22)，,因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1， 所以a . 12分,因此，任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a ，,所以離心率的取值范圍是(0， . 14分,課時(shí)作業(yè),1.(2016蘇北四市聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e ，且它的 一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為_.,答案,解析,依

19、題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)，,由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以c1，,又離心率e ，解得a2，b2a2c23，,所以橢圓方程為 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016蘇北四市一模)已知橢圓 1(ab0)，點(diǎn)a、b1、b2、f依次為其左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).若直線ab2與直線b1f的交點(diǎn) 恰在直線x 上，則橢圓的離心率為_.,答案,解析,由題意知直線ab2： 1，直線b1f： 1， 聯(lián)立解得x ，若交點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上， 則 ，即2c2aca20， 所以2e2e10，解得e .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

20、,12,13,3.(2017青島月考)已知a1，a2分別為橢圓c： 1(ab0)的左，右頂點(diǎn)，p是橢圓c上異于a1，a2的任意一點(diǎn)，若直線pa1，pa2的斜率 的乘積為 ，則橢圓c的離心率為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016南昌模擬)已知橢圓： x21，過點(diǎn)p( )的直線與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，且弦ab被點(diǎn)p平分，則直線ab的方程為_.,答案,解析,9xy50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，因?yàn)閍，b在橢圓 x21上，,即 (x1x2)(x1x2)0，,又弦ab被點(diǎn)p(

21、 )平分，,所以x1x21，y1y21，,將其代入上式，得 x1x20，得 9，,即直線ab的斜率為9，所以直線ab的方程為y 9(x )，,即9xy50.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016宿遷模擬)已知f1、f2是橢圓 y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使pf1pf2取得最大值的點(diǎn)p為_.,答案,解析,(0,1)或(0，1),由橢圓定義得pf1pf22a4，,pf1pf2( )24，,當(dāng)且僅當(dāng)pf1pf22， 即p(0，1)或(0,1)時(shí)，pf1pf2取得最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*6.(2016蘇州質(zhì)

22、檢)設(shè)a1，a2為橢圓 1(ab0)的左，右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于a1，a2的點(diǎn)p，使得 0，其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則橢圓的離心率e的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a1(a,0)，a2(a,0)， 設(shè)p(x，y)，則 (x，y)， (ax，y)， 0，(ax)(x)(y)(y)0， y2axx20，0xa. 將y2axx2代入 1， 整理得(b2a2)x2a3xa2b20，其在(0，a)上有解， 令f(x)(b2a2)x2a3xa2b2， f(0)a2b20，f(a)0， 如圖，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

23、3,(a3)24(b2a2)(a2b2) a2(a44a2b24b4) a2(a22b2)20，,對稱軸滿足0 a，即0 a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若橢圓 1(a0，b0)的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)(2,1)作圓x2y24的切線，切點(diǎn)分別為a，b，直線ab恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 則橢圓方程為_.,答案,解析,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則 1，即m2n2n2m0.,m2n24，2mn40，即直線ab的方程為2xy40. 直線ab恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，,橢圓方程為 1.,1,2,3,4,5,6

24、,7,8,9,10,11,12,13,8.已知p為橢圓 1上的一點(diǎn)，m，n分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則pmpn的最小值為_.,答案,解析,7,由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2分別是兩圓的圓心， 且pf1pf210， 從而pmpn的最小值為pf1pf2127.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2017連云港質(zhì)檢)橢圓 y21的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若f1pf2為鈍角，則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍 是_.,設(shè)橢圓上一點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，,f1pf2為鈍角， 0，即x23y20，,答案,解析,1,2,3,4,5,6

25、,7,8,9,10,11,12,13,10.已知過橢圓 1(ab0)的左頂點(diǎn)a(a，0)作直線l交y軸于點(diǎn)p，交橢圓于點(diǎn)q，若aop是等腰三角形，且 ，則橢圓的離心率 為_.,答案,解析,aop是等腰三角形，a(a,0)，p(0，a).,設(shè)q(x0，y0)， ，(x0，y0a)2(ax0，y0).,代入橢圓方程化簡，可得 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016南京模擬)如圖，橢圓c： 1(ab0)的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為a，b，且ab bf. (1)求橢圓c的離心率；,解答,由已知ab bf，,即 ，4a24b25a2，4a24(a2c2)5

26、a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若斜率為2的直線l過點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓c于p，q兩點(diǎn)，opoq，求直線l的方程及橢圓c的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)， 直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.,由(1)知a24b2，橢圓c： 1.,由 消去y，,3221617(b24)0，解得b .,得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.,解