1、5.3平面向量的數(shù)量積,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b，作 a， b，則 就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是： .,知識(shí)梳理,aob,0，,2.平面向量的數(shù)量積,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角.則 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|. 特別地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| .,ab0

2、,|a|b|,|a|2,4.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 (1)ab ； (2)(a)b (為實(shí)數(shù))； (3)(ab)c . 5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，則|a|2 或|a| . (2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b兩點(diǎn)間的距離ab| | .,ba,(ab),a(b),acbc,x1x2y1y2,x2y2,(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則ab. (4)若a，b都是非零向量，是a與b的夾角， 則cos .,x1x2y1y20,1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳

3、角ab0且a，b不共線； 兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線. 2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.( ) (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0， .( ),1.(教材改編)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k等于

4、a.12 b.6 c.6 d.12,考點(diǎn)自測(cè),2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,答案,解析,2.(2017南寧質(zhì)檢)已知向量a與b的夾角為30，且|a|1，|2ab|1，則|b|等于,答案,解析,4a24abb21，,3.(2015廣東)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知四邊形abcd是平行四邊形，,答案,解析,a.5 b.4 c.3 d.2,四邊形abcd為平行四邊形，,答案,解析,設(shè)a與b的夾角為，,5.(2016廈門模擬)設(shè)xr，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則 |ab|_.,答案,解析,ab，ab0

5、，即x20，x2，,a(2,1)，a25，b25，,題型分類深度剖析,例1(1)(2016天津)已知abc是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)d，e分別是邊ab，bc的中點(diǎn)，連接de并延長(zhǎng)到點(diǎn)f，使得de2ef，則 的值為,題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,答案,解析,如圖，由條件可知,因?yàn)閍bc是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，,(2)已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 的值為_(kāi)； 的最大值為_(kāi).,答案,解析,1,1,幾何畫(huà)板展示,方法一以射線ab，ad為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，,則a(0，0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)，,設(shè)e(t,0)，t0,1，,方法二由圖知，無(wú)

6、論e點(diǎn)在哪個(gè)位置，,平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b| cosa，b. (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)， b(x2，y2)，則abx1x2y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 則abc等于,答案,解析,a.30 b.45 c.60 d.120,又0abc180，abc30.,(2)(2015天津)在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab2，bc1，abc60.點(diǎn)e和f分別在線段bc和dc上，,答案,解析,在等腰梯形abcd中，abdc，ab2，bc1，abc60cd1，,

7、例2,題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,答案,解析,命題點(diǎn)1求向量的模,2,(2)在平面直角坐標(biāo)系中，o為原點(diǎn)，,答案,解析,動(dòng)點(diǎn),即動(dòng)點(diǎn)d的軌跡為以點(diǎn)c為圓心的單位圓.,例3 向量a3e12e2 與b3e1e2的夾角為，則cos _.,答案,解析,命題點(diǎn)2求向量的夾角,因?yàn)閎2(3e1e2)2923112cos 18， 所以|b|2 ，,因?yàn)閍2(3e12e2)2923212cos 49， 所以|a|3，,2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2,1)0，4k660， k3. 又若(2a3b)c，則2k312，即k . 當(dāng)k 時(shí)，2a3b(12，6)6c， 即2a3b與c

8、反向. 綜上，k的取值范圍為 .,(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角， 則k的取值范圍是_.,答案,解析,思維升華,平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，. (2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab 0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：,跟蹤訓(xùn)練2,9,答案,解析,答案,解析,(1)若mn，求tan x的值；,例4 (2015廣東)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量m ，n(sin x，cos x)，x .,題型三平面向量與三角函數(shù),解答,所以sin xc

9、os x，所以tan x1.,(2)若m與n的夾角為 ，求x的值.,解答,平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3,由題意知6sin2cos (5sin 4cos )0， 即6sin25sin cos 4cos20， 上述等式兩邊同時(shí)除以cos2，得6tan25tan 40， 由于 ， 則tan 0，解得tan ，

10、故選a.,答案,解析,由題意得，|a|1，又oab是以o為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，,答案,解析,1,所以|ab|2|a|2|b|22，,解析 錯(cuò)解中，cos 0包含了，即 反向的情況，此時(shí)a1，故 夾角為鈍角的充要條件是0a2且a1.,利用數(shù)量積求向量夾角,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列6,錯(cuò)解展示,糾錯(cuò)心得,已知直線y2x上一點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為a，直線外有兩個(gè)點(diǎn)a(1,1)，b(3,3).求使向量 與 夾角為鈍角的充要條件.,典例,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò),利用數(shù)量積的符號(hào)判斷兩向量夾角的范圍時(shí)，不要忽視兩向量共線的 情況,返回,課時(shí)作業(yè),a. x b.x1 c.x5 d.x0,1.(2016北師大附中模擬)已知向量a(x1,

11、2)，b(2,1)，則ab的充要條件是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.2 b.2 c.4 d.12,2.若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60，則|ab|等于,答案,解析,|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60 44222 12， |ab|2 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016山西四校二聯(lián))已知平面向量a，b滿足a(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a與b夾角的正弦值為,答案,解析,a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3， cosa，b ， 又a，b0，,1,2,3,

12、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如圖，在abc中，若 ， ab2，ac1，e，f為bc邊的三等分點(diǎn)，則 等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.正三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等腰直角三角形,答案,解析,所以abc是等腰三角形，故選c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,如圖所示，取bc的中點(diǎn)d，連接ad，od，則由平面向量的加法的幾何意義得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在abc中，m是

13、bc的中點(diǎn)，am3，點(diǎn)p在am上，且滿足 ，則 的值為_(kāi).,4,答案,解析,由題意得，ap2，pm1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由三角形面積公式及已知條件知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016江西白鷺洲中學(xué)調(diào)研)已知在直角三角形abc中，acb90，acbc2，點(diǎn)p是斜邊ab上的中點(diǎn)，則 _.,4,由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系， 可得a(2,0)，b(0,2)，p(1,1)，c(0，0)，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13,建立如圖所示坐標(biāo)系，,答案,解析,1,2

14、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a與b的夾角；,解答,因?yàn)?2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.,又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213， 所以|ab| .,(2)求|ab|；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求sin a的值；,解答,12.在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且mn