1、8.1簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)旋轉(zhuǎn)體 圓柱可以由 繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓錐可以由直角三角形繞其 所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓臺(tái)可以由直角梯形繞 所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到. 球可以由半圓或圓繞 所在直線旋轉(zhuǎn)得到.,知識(shí)梳理,矩形,直徑,直角邊,直角腰,(2)多面體 棱柱的側(cè)棱都 ，上、下底面是 的多邊形. 棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形. 棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是 多邊形

2、. 2.直觀圖 畫(huà)直觀圖常用 畫(huà)法，其規(guī)則是： (1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xoy.畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)o，使xoy ，它們確定的平面表示水平平面；,平行且相等,全等,相似,斜二測(cè),45,(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于 和 的線段； (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行 于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的 . 3.三視圖 (1)主、俯視圖 ；主、左視圖 ；俯、左視圖 ，前后對(duì)應(yīng).,x軸,y軸,長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等,(2)在三視圖中，需要畫(huà)出所有的輪廓線，其中，視線所見(jiàn)的輪廓線畫(huà)實(shí)線，看不見(jiàn)的輪廓線面虛線. (

3、3)同一物體放置的位置不同，所畫(huà)的三視圖可能不同. (4)清楚簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置.,1.常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓. (2)水平放置的圓錐的主視圖和左視圖均為全等的等腰三角形. (3)水平放置的圓臺(tái)的主視圖和左視圖均為全等的等腰梯形. (4)水平放置的圓柱的主視圖和左視圖均為全等的矩形.,2.斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.() (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.() (3)

4、夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái).(),幾何畫(huà)板展示,幾何畫(huà)板展示,幾何畫(huà)板展示,(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.() (5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.() (6)菱形的直觀圖仍是菱形.(),1.(教材改編)下列說(shuō)法正確的是 a.相等的角在直觀圖中仍然相等 b.相等的線段在直觀圖中仍然相等 c.正方形的直觀圖是正方形 d.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,由直觀圖的畫(huà)法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變.,2.(2016寶雞千陽(yáng)中學(xué)二模)已知某幾何體的三視圖如圖

5、所示(單位長(zhǎng)度：cm)，則此幾何體的表面積是,由三視圖可知，該幾何體為三棱柱.三棱柱的表面積為5個(gè)面的面積之和，又因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，直角邊長(zhǎng)為2，棱柱的高為3,答案,解析,幾何畫(huà)板展示,3.(教材改編)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是,答案,解析,a.正三角形 b.銳角三角形 c.鈍角三角形 d.直角三角形,由直觀圖中，acy軸，bcx軸，還原后原圖acy軸，bcx軸.直觀圖還原為平面圖形是直角三角形.故選d.,4.(2016長(zhǎng)春三模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為,答案,解析,5.某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是_.,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一簡(jiǎn)單

6、幾何體的結(jié)構(gòu)特征,例1給出下列命題： 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； 在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； 存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn). 其中正確命題的序號(hào)是_.,答案,解析,不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等； 正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面； 正確，如圖，正方體abcda1b1c1d1中的三棱錐c1abc，四個(gè)面都是直角三角形； 正確，由棱臺(tái)的概念可知.,思維升華,(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條

7、件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷； (2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析.,跟蹤訓(xùn)練1 (1)以下命題： 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面； 一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái). 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 a.0 b.1 c.2 d.3,答案,解析,命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐； 命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題對(duì)； 命題錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面

8、截圓錐才可以，故選b.,(2)給出下列四個(gè)命題： 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱； 側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； 側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體； 底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正確的命題為_(kāi).,答案,解析,對(duì)于，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故錯(cuò)；對(duì)于，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖)，故錯(cuò)；對(duì)于，若底面不是矩形，則錯(cuò)；由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故正確. 綜上，命題不正確.,題型二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,命題點(diǎn)1已知幾何體，識(shí)別三視圖,例2(2016濟(jì)南模擬)如圖，多面體abcdefg的底面abcd為正方形，fcgd2ea，其俯

9、視圖如圖所示，則其主視圖和左視圖正確的是,答案,解析,幾何畫(huà)板展示,主視圖的輪廓線是矩形dcfg，點(diǎn)e在平面dcfg上的投影為dg的中點(diǎn)，且邊界be，bg可視，故主視圖為選項(xiàng)b或d中的主視圖，左視圖的輪廓線為直角梯形adge，且邊界bf不可視，故左視圖為選項(xiàng)d中的左視圖，故選d.,例3(2016全國(guó)乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是,命題點(diǎn)2已知三視圖，判斷幾何體的形狀,答案,解析,a.17 b.18 c.20 d.28,由該幾何體的三視圖可知，這個(gè)幾何體是把一個(gè)球挖掉它的 得到的(如圖所示).設(shè)該球的半徑為r，則

10、r3 ，得r2.所以它的表面積為422 4223 2217.故選a.,命題點(diǎn)3已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖,例4(2016石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該棱錐的左視圖可能為,答案,解析,由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面acd平面bcd，故選d.,幾何畫(huà)板展示,思維升華,三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意主視圖、左視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示. (2)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能

11、形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合. (3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016全國(guó)丙卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為,答案,解析,(2)如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖和俯視圖，則該幾何體的左視圖為,答案,解析,由直觀圖、主視圖和俯視圖可知，該幾何體的左視圖應(yīng)為面pad，且ec投影在面pad上，故b正確.,幾何畫(huà)板展示,例5(1)已知正三角形abc的邊長(zhǎng)為a，那么abc的平面直觀圖abc的

12、面積為,題型三空間幾何體的直觀圖,答案,解析,如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖，,oc oc a， 在圖中作cdab于d，,則cd oc a.,所以sabc abcd a a a2.故選d.,由可知，ababa，,(2)如圖，矩形oabc是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中oa6 cm，oc2 cm，則原圖形是,a.正方形b.矩形 c.菱形 d.一般的平行四邊形,答案,解析,oaoc，故四邊形oabc是菱形.故選c.,思維升華,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧 在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些

13、關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫(huà)出.,跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，abc是abc的直觀圖，且abc是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則abc 的面積為_(kāi).,答案,解析,建立如圖所示的坐標(biāo)系xoy，abc的頂點(diǎn)c在y軸上，邊ab在x軸上，把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得y軸，在y軸上取點(diǎn)c使oc2oc，a，b點(diǎn)即為a，b點(diǎn)，長(zhǎng)度不變. 已知abaca，在oac中，,典例將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為,空間幾何的三視圖,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列10,確定幾何體的三視圖要正確把握投影方向，可結(jié)合正方體確定點(diǎn)線的投影位置，要學(xué)會(huì)區(qū)分三視圖中的實(shí)虛線.,錯(cuò)解展示,現(xiàn)

14、場(chǎng)糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,幾何畫(huà)板展示,解析結(jié)合正方體中各頂點(diǎn)投影，左視圖應(yīng)為一個(gè)正方形，中間兩條對(duì)角線. 答案c,返回,解析左視圖中能夠看到線段ad1，應(yīng)畫(huà)為實(shí)線，而看不到b1c，應(yīng)畫(huà)為虛線.由于ad1與b1c不平行，投影為相交線，故應(yīng)選b. 答案b,返回,課時(shí)作業(yè),1.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的主視圖和俯視圖分別可能是,答案,解析,a.a，b b

15、.a，c c.c，b d.b，d,圖1,圖2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，主視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，故選a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.(2016全國(guó)甲卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為,答案,解析,a.20 b.24 c.28 d.32,由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4，圓錐的母線長(zhǎng)l 4，所以圓錐的側(cè)面積為 s錐側(cè) 448，圓柱的側(cè)面積s柱側(cè)4416，所以組合體的表面積s816428，故選c.,1,2,3

16、,4,5,6,7,8,9,10,11,3.(2016大連一模)如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)p是棱cd上一點(diǎn)，則三棱錐pa1b1a的左視圖是,答案,解析,在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，從左側(cè)看三棱錐pa1b1a，b1、a1、a的投影分別是c1、d1、d；ab1的投影為c1d，且為實(shí)線，pa1的投影為pd1，且為虛線.故選d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.(2015北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為,答案,解析,根據(jù)三視圖，可知該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐vabcd，其中vb平面abcd，且底面abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形，vb

17、1.所以四棱錐中最長(zhǎng)棱為vd.連接bd，易知bd ，在rtvbd中，vd .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2016黃山模擬)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為,所以左視圖為,故選c,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.如圖，在正方體ab

18、cda1b1c1d1中，點(diǎn)p是上底面a1b1c1d1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐pabc的主視圖與左視圖的面積的比值為_(kāi).,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2015北京改編)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由三視圖可得該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中pa1，bc2，取bc的中點(diǎn)m，連接am，mp，則am2，ambc，,由主視圖和左視圖可知pa平面abc，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9.某幾何體的三視圖如圖所示. (1)判斷該幾何體是什么幾何體？,解答,(2)畫(huà)出該幾何體的直觀圖.,直觀圖如圖所示.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.某幾何體的一條棱長(zhǎng)為 ，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為 的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，求ab的最大值.,解