1、5.1平面向量的概念及線性運算,基礎知識自主學習,課時訓練,題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,1.向量的有關概念,知識梳理,大小,方向,長度,模,0,0,1個單位,相同,相反,相同,相反,平行,相等,相同,相等,相反,2.向量的線性運算,三角形,平行四邊形,ba,a(bc),3.共線向量定理 向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba.,三角形,|a|,相同,相反,0,()a,aa,ab,1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量. 2.若p為線段ab的中點，o為平面內(nèi)任一

2、點，則,若點a，b，c共線，則1.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.() (2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關.() (3)若ab，bc，則ac.() (4)若向量 是共線向量，則a，b，c，d四點在一條直線上. () (5)當兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立.(),1.給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量 相等.則所有正確命題的序號是 a. b. c. d.,考點自測,答案,解析,根據(jù)零向量的定義可知正確； 根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，

3、但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；,答案,解析,如圖，,答案,解析,所以abt(ab)tatb，,答案,解析,由向量加法的平行四邊形法則， 又o是ac的中點，ac2ao， 2.,2,題型分類深度剖析,題型一平面向量的概念,例1給出下列四個命題： 若|a|b|，則ab； 若a，b，c，d是不共線的四點，則 是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件； 若ab，bc，則ac； ab的充要條件是|a|b|且ab. 其中正確命題的序號是 a. b.c. d.,答案,解析,不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同. 又a，b，c，d是不共線的四點， 四邊形abcd為平行四邊形；

4、反之，若四邊形abcd為平行四邊形， 正確.ab，a，b的長度相等且方向相同， 又bc，b，c的長度相等且方向相同， a，c的長度相等且方向相同，故ac.,不正確.當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab， 故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件. 綜上所述，正確命題的序號是.故選a.,向量有關概念的關鍵點 (1)向量定義的關鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制. (3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等. (4)單位向量的關鍵是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度. (5)零向量的關鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向

5、量共線.,思維升華,跟蹤訓練1設a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是 a.0 b.1 c.2 d.3,答案,解析,向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題； 若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題. 綜上所述，假命題的個數(shù)是3.,題型二平面向量的線性運算,命題點1向量的線性運算 例2(1)(2016臨安中學統(tǒng)練三)在平行四邊形abcd中，下列結(jié)論中錯誤的是,答案,解析,答案,解析,命題

6、點2根據(jù)向量線性運算求參數(shù),答案,解析,答案,解析,平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則. (2)求已知向量的和.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則. (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較求參數(shù)的值.,思維升華,跟蹤訓練2如圖，一直線ef與平行四邊形abcd的兩邊ab，ad分別交于e，f兩點，且交對角線ac于點k，,答案,解析,題型三共線定理的應用,例4設兩個非零向量a與b不共線.,證明,又它們有公共點b， a，b，d三點共線.,(

7、2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線.,假設kab與akb共線， 則存在實數(shù)，使kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又a，b是兩個不共線的非零向量， kk10. 消去，得k210，k1.,解答,(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線. (2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當且僅當120時成立，則向量a、b不共線.,思維升華,跟蹤訓練3,則 a.a，b，c三點共線 b.a，b，d三點共線 c.a，c，d三點共線 d.b，c，d三點共線,答案,解析,2,答案

8、,解析,取ac的中點d，連接od， o是ac邊上的中線bd的中點， sabc2soac， abc與aoc面積之比為2.,典例下列敘述錯誤的是_. 若ab，bc，則ac. 若非零向量a與b方向相同或相反，則ab與a，b之一的方向相同. |a|b|ab|a與b方向相同. 向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba.,容易忽視的零向量,現(xiàn)場糾錯系列4,若ab，則ab.,錯解展示,糾錯心得,在考慮向量共線問題時，要注意考慮零向量.,現(xiàn)場糾錯,解析對于，當b0時，a不一定與c平行. 對于，當ab0時，其方向任意，它與a，b的方向都 不相同. 對于，當a，b之一為零向量時結(jié)論不成立. 對于，

9、當a0且b0時，有無數(shù)個值；當a0但b0或a0但b0時，不存在. 對于，由于兩個向量之和仍是一個向量， 對于，當0時，不管a與b的大小與方向如何，都有ab，此時不一定有ab. 故均錯.,答案,返回,課時訓練,a.相等的向量 b.平行的向量 c.有相同起點的向量 d.模相等的向量,這四個向量的模相等.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.a，b，c b.a，b，d c.b，c，d d.a，c，d,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.點p在線段ab

10、上 b.點p在線段bc上 c.點p在線段ac上 d.點p在abc外部,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.1b.2c.3 d.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,o為bc的中點， mn2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取bc的中點d，連接pd，ad， abac，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7. (2016寧波一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，若起點和終點均在格點的向量a，b

11、，c滿足cxayb(x，yr)，則xy_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖，取單位向量i，j，則 ai2j，b2ij，c3i4j. cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2apb(2ab)， a，b不共線， 22，p，1，p1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,答案,解析,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,sin bsin a0，sin csin a0， 則sin bsin asin c.根據(jù)正弦定理知bac， abc是等邊三角形，則角b60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,m為abc的重心. 如圖所示，連接am并延長交bc于點d，則d為bc的中點.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9