1、第4章 桿單元和梁?jiǎn)卧?本章主要介紹利用桿單元及梁?jiǎn)卧M(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的有限元分析原理。首先介紹了桿單元的分析方法，詳細(xì)給出了采用桿單元進(jìn)行有限元分析的整個(gè)過(guò)程；緊接著介紹了平面梁?jiǎn)卧砸粋€(gè)平面懸臂梁力學(xué)模型為分析實(shí)例，分別采用材料力學(xué)、彈性力學(xué)解析計(jì)算以及有限元法進(jìn)行了分析與求解，以加深讀者對(duì)有限元法的理解。,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,桿件只承受軸向力，可以視為一種特殊的梁?jiǎn)卧?，本?jié)將采用有限元法來(lái)分析桿件系統(tǒng)，以下給出規(guī)范的有限元法中關(guān)于桿單元的推導(dǎo)過(guò)程，以及整個(gè)桿系的求解過(guò)程。,如圖4-1所示的桿件結(jié)構(gòu)，左端鉸支，右端作用一個(gè)集中力，相關(guān)參數(shù)如圖。具體求解過(guò)程如下：,圖 4-1

2、桿件結(jié)構(gòu),（1）確定坐標(biāo)系、單元離散，確定位移變量, 外載荷及邊界條件。,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,要建立兩種坐標(biāo)系：?jiǎn)卧鴺?biāo)系（局部坐標(biāo)系）、整體坐標(biāo)系。根據(jù)自然離散, 坐標(biāo)系建立成一維, 單元?jiǎng)澐譃閮蓚€(gè), 給出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)1、2、3以及相應(yīng)的坐標(biāo)值（見圖4-1）。在局部坐標(biāo)系中，取桿單元的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圖4-2為任取的一個(gè)桿單元。,圖 4-2 桿單元,對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的桿單元，存在如下節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,(4.1),其中， 稱為單元?jiǎng)偠染仃?4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,（2）確定位移模式,假設(shè)單元位移場(chǎng)：,取其線性部分，系數(shù) 、 可由節(jié)點(diǎn)位移 、 確定，稱為位移插值模式（

3、interpolation model）.,(4.2),（3）形函數(shù)矩陣的推導(dǎo),由單元的節(jié)點(diǎn)條件, 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為x1、x2,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為 ， ，代入上式插值模式公式得：,求解得到,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,這樣， 可以寫成如下矩陣形式,導(dǎo)出,=,(4.3),得到形函數(shù)矩陣（shape function matrix）,(4.4),記節(jié)點(diǎn)位移矢量 (nodal displacement vector)是,(4.5),4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,因此，用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)是,(4.6),（4）應(yīng)變,由彈性力學(xué)的幾何方程知1維桿單元滿足,(4.7),（5）應(yīng)力,

4、由彈性力學(xué)的物理方程知：,(4.8),（6）利用最小勢(shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?單元的勢(shì)能表達(dá)式：,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,上式記作如下矩陣形式：,(4.9),其中，單元?jiǎng)偠染仃嚕╡lement stiffness matrix），或稱單元特性矩陣(element characteristic matrix),(4.10),4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,根據(jù)最小勢(shì)能原理， ，得,(4.11),其中節(jié)點(diǎn)載荷矩陣為,（7）把所有單元按結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行組集（assembly of discrete elements）,對(duì)于圖4.1所示結(jié)構(gòu),第一個(gè)單元：,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,整體

5、結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能是所有單元的勢(shì)能的和，即,第二個(gè)單元：,在這里，把表達(dá)成整體位移矢量 的函數(shù)，如下：,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,可記作,(4.12),上式的即為整體剛度矩陣。即根據(jù)最小勢(shì)能原理，由各單元?jiǎng)偠染仃嚽蟪龅恼w剛度矩陣。下式是由整體剛度矩陣表達(dá)的系統(tǒng)方程：,(4.13),4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,（8）引入邊界條件（Treatment of boundary conditions）,為獲取許可位移場(chǎng)，需引入邊界條件,(4.14),由于 ，可劃去它所對(duì)應(yīng)的行和列，這樣基于許可位移場(chǎng)的系統(tǒng)總勢(shì)能為,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,（9）建立系統(tǒng)彈性方程,由最小勢(shì)能原理，勢(shì)能

6、函數(shù)對(duì)未知位移 求變分，滿足 的條件是 ，得如下方程式,=,(4.15),（10）求解節(jié)點(diǎn)位移,由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是內(nèi)力，不做功。在求解過(guò)程中，可以視為0。也就是,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,（11）求單元應(yīng)變,（4.16）,=,（4.17）,（12）各單元應(yīng)力,利用物理方程，求單元的應(yīng)力,（4.18）,4.1 桿件系統(tǒng)的有限元分析方法,（13）各支點(diǎn)反力,各支反力公式是由單元最小勢(shì)能原理得到的，即,（4.19）,為了清楚起見, 將上述兩桿結(jié)構(gòu)代入具體數(shù)值： ， ， ， ，進(jìn)行相應(yīng)的單元應(yīng)力計(jì)算。得到的結(jié)果如下：,=,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,作為對(duì)照

7、，先用經(jīng)典材料力學(xué)法和彈性力學(xué)法對(duì)平面懸臂梁進(jìn)行分析求解。,（1） 平面懸臂梁的材料力學(xué)求解：,一端受載荷作用的懸臂梁如圖4-6（a）所示，選取坐標(biāo)系如圖4-6 (b)，任意橫截面上的彎矩為,(a) 結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 力學(xué)模型 圖4-4 平面懸臂梁力學(xué)模型,（4.20）,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,受載荷作用后梁產(chǎn)生變形，在xy平面內(nèi)梁的軸線將變成一條曲線，即撓曲線。根據(jù)材料力學(xué)有關(guān)假設(shè)，梁彎曲的撓曲線的近似微分方程為,（4.21）,由這兩個(gè)公式可得撓曲線的微分方程為,積分得,（4.22）,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,引入邊界條件，左側(cè)固定端A處的轉(zhuǎn)角和撓度均等于零，即當(dāng)

8、X=0時(shí)，,（4.23）,把邊界條件式代入式（4.22），得,再將所得積分常數(shù)C和D代回前式，得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為,（4.24）,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,將懸臂梁的右端受載荷W處的橫坐標(biāo)x=l代入以上兩式，得右端受載荷截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為,（2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解,（4.25）,末端受集中載荷作用的平面懸臂梁的位移場(chǎng)可以用以下多項(xiàng)式表示,x方向： y方向：,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,梁的中性面（y=0的面）上的撓曲為,受載荷作用的懸臂梁上任何位置處的轉(zhuǎn)角為,（4.26）,左側(cè)懸臂處（x=0）的撓曲為 ，右端處（x=L）受到集 中載荷作用，撓曲為 ，該結(jié)

9、果與材料力學(xué)中的撓曲線公式相同。,（4.27）,梁中性面（y=0）上的轉(zhuǎn)角為,左端點(diǎn)（x=0）為懸臂點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為,4.2.1 平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析,受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)力場(chǎng)可在應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上，由彈性力學(xué)物理方程直接求出,右端點(diǎn)（x=L）為受集中載荷點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為,受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)變場(chǎng)可由彈性力學(xué)幾何方程求出,（4.28）,（4.29）,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),（1） 建立坐標(biāo)系，進(jìn)行單元離散。坐標(biāo)系包括結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系和單元局部坐標(biāo)系。,（2） 建立平面梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ健?設(shè)一個(gè)平面梁?jiǎn)卧袃蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖4-5所示。在局部坐標(biāo)系內(nèi)，平面梁?jiǎn)卧x有6個(gè)自由度,圖4-5平面梁?jiǎn)卧Ｐ?/p>

10、,(4.30),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),略去軸向位移，可以設(shè)平面梁?jiǎn)卧腥缦?個(gè)自由度,(4.31),對(duì)于平面梁?jiǎn)卧?，其彎曲變形的位移?chǎng) 可以設(shè)為下式,(4.32),因此，梁的斜率是（Hermite型）,(4.33),位移模式寫成矩陣形式,(4.34),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),（3）推導(dǎo)形函數(shù)矩陣,代入節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，有,其中，L梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。得到,前兩個(gè)方程直接解出 和 ，代入后兩個(gè)方程，解出 和 ，具體如下,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),上面的推導(dǎo)可以寫成如下矩陣形式,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),求得,(4.35),將式(4.35)代入式(4.34)， , 用節(jié)點(diǎn)的位移形

11、式重新整理，得,得到的用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),(4.36),其中，N(x) 平面梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù)。 節(jié)點(diǎn)位移向量， 。對(duì)于,式中N(x)的具體表達(dá)式是,(4.37),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),(4) 推導(dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力，根據(jù)最小勢(shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?。在這里直接根據(jù)瑞利法，也可以導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移的形式來(lái)表達(dá)梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能。彎曲梁的應(yīng)變能是,(4.37),二階導(dǎo)數(shù)可由方程(4.36)決定，表示為,(4.38),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),其中,(4.39),代入梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能公式，同時(shí)假設(shè)對(duì)于該單元而言是常量，得單元應(yīng)變能,(4.40),節(jié)點(diǎn)位移向量

12、不是x的函數(shù),上式可以寫成,應(yīng)變能的一般形式可以表達(dá)成,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),(4.41),其中， 平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?(4.42),考慮到B是x的函數(shù), 上式所有項(xiàng)積分后得局部坐標(biāo)系下的平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?(4.43),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),（5）整體剛度矩陣的組集與坐標(biāo)變換,a) 局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,局部坐標(biāo)系，整體坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)載荷、節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系為,其中坐標(biāo)變換矩陣為,(4.45),式中， 是x軸相對(duì)于x軸的夾角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣T的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍?(4.46),4.

13、2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),b) 進(jìn)行整體剛度矩陣的組集。可以采用直接剛度法 。,（6）引入約束條件。,（7）求解系統(tǒng)方程，得到所有的節(jié)點(diǎn)位移。,（8）進(jìn)而再求出單元的應(yīng)力應(yīng)變等。,式中， 是x軸相對(duì)于x軸的夾角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣T的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍?(4.46),4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),例4-1 平面梁?jiǎn)卧獞?yīng)用舉例。設(shè)一方形截面的懸臂梁，截面每邊長(zhǎng)為5cm，長(zhǎng)度為10m，在左端約束固定，在右端施以一個(gè)沿y軸負(fù)方向的集中力w=100N，求其撓度與轉(zhuǎn)角。,圖4-6 平面梁?jiǎn)卧獙?shí)例圖,4.2.2 平面梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo),利用matlab和ansys兩種方

14、法求得的結(jié)果基本一致: 左端點(diǎn)沿y方向位移(撓曲)：0 左端點(diǎn)繞z軸的轉(zhuǎn)角：0 中間點(diǎn)沿y方向位移(撓曲)：-0.05 中間點(diǎn)繞z軸的轉(zhuǎn)角：-0.018 右端節(jié)點(diǎn)沿y方向位移(撓曲)：-0.16 右端節(jié)點(diǎn)繞z軸的轉(zhuǎn)角：-0.024,4.3.1 空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)于具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的空間梁?jiǎn)卧?，設(shè)其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力如下,節(jié)點(diǎn)（1）：,(4.47),節(jié)點(diǎn)（2）：,(4.48),4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,整體坐標(biāo)系記為OXYZ，梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系記為oxyz，其中ox軸正方向由i端截面形心指向j端面形心，y軸和z軸是梁截面的兩個(gè)相互垂直的形心主軸，見圖4-7。坐標(biāo)變換公式具有如下形式

15、：,(4.49),圖4-7 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,4.3.2空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,由局部坐標(biāo)向整體坐標(biāo)的位移變換公式是,(4.50),節(jié)點(diǎn)力的變換公式是,(4.51),單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q公式是,(4.52),在三維空間中，設(shè)x,y,z是局部坐標(biāo)系，X，Y，Z是整體坐標(biāo)系, 單元局部坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦分別如下式：,(4.53),4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,坐標(biāo)變換矩陣的具體求算方法包括如下步驟。,(1) 局部坐標(biāo)系x軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦：,(4.54),（2）局部坐標(biāo)系y軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦,現(xiàn)在討論具有任意方向的空間梁?jiǎn)卧?。首先，由?jié)點(diǎn)i、j 在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)即可

16、確定e1在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)方向余弦，即,(4.55),4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,其中,(4.56),下面計(jì)算e2和e3。,在單元的主慣性平面oxy上任取一點(diǎn)k（但k點(diǎn)不能取在ox軸上），點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為（Xk，Yk,Zk）。,沿矢量 方向取矢量g， g在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)分量是,(4.57),(4.58),4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,因z軸垂直于oxy平面，而e1和g均在平面oxy上，故可取,(4.59),e1和e3既已確定，只需按右手直角坐標(biāo)系條件確定e2即可。因而可取,e2= e1+e3,(4.60),由矢量叉乘法則：,4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,最后由式(4.61）有：,(4.61),則,從而,(4.62),再記,4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,把式(4.60)代入上式，得在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)方向余弦為,(4.63),歸納以上，空間梁?jiǎn)卧木仃?為,(4.64),4.3.2 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,（2）由給定的包含ox軸在內(nèi)的單元主慣性平面上一點(diǎn)k的坐標(biāo) ，按式(4.57)和(4.58)算出 g1、g2、g3。,（3）按式(4.61)算出 A 1、A 2、A 3、A 。,（4）按式(4.62)和式(4.63)算出 矩陣的第二行和第三行。,計(jì)算步驟簡(jiǎn)