1、第六節(jié) 矩陣的秩,一:矩陣秩的概念,任意取出k個行和k個列，,定義1,在一個,矩陣A中，,位于這些行及列的交叉處的元素按原來的位置組成一個,k階行列式，,稱其為矩陣A的一個k階子式。,例:,矩陣,取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一個3階子式為,取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一個4階,子式為,注,對一個,矩陣顯然有,個k階子式,一共有,定義2：,矩陣A的不等于零的子式的最高階數(shù)稱為A的秩，,并規(guī)定零矩陣的秩是零。,記作秩為R(A)，,例,矩陣A的所有4階子式全為0（為什么？）,有一個3階,子式不為0，故,R(A)=3,注：,（1）事實上矩陣A是階梯形矩陣，,它的

2、秩等于其非零,行的個數(shù)。,這對一般的階梯形矩陣也成立。,（2）,矩陣秩顯然有,即一個矩陣的秩肯定小于等于矩陣行數(shù)和列數(shù)的最小者,（3）,A中所有r+1階子式全為零,A中所有大于r階子式全為零,A中有一個r階子式不為零,例1,求矩陣A的秩，已知,解:,首先考查A的最高階子式(這里為4階且只有一個)即,故,n階方陣A可逆的充分必要條件是秩,定理1,R(A)=n,當(dāng)n階方陣A的秩為n時，也稱A為滿秩矩陣，,否則稱A為降秩矩陣。,注,(2)n階方陣A不可逆,(1)n階方陣A秩為n,(3)n階方陣A不可逆,證明不等式,例 3,設(shè)A，B都是,型矩陣，,令,例2 試證對任意矩陣A，總有,定理2,矩陣經(jīng)初等變

3、換后其秩不變,先證明: 若 A 經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽 ,有,證明:,A B, 則 R(A) = R(B).,即,R(A) R(B).,設(shè) R(A) = r, 則 A 有某個 r 階子式記為,當(dāng),或,時,相對應(yīng)的r 階子式,則在 B 中總能找到與,因此,從而,二：利用初等變換求矩陣的秩,且,(1),滿足,當(dāng),時,(2),由于對換,時結(jié)論成立,這一特殊情況.,（）,（）,若,含第A第1行,這時,也是B 的r階非零子式,故,不含第A第1行,則,若,也是B,的r階子式,由,知,與,不同時為0.,總之B 中存在的r階非零子式,或,故只需考慮,故,以上證明了若 A 經(jīng)一次初等行變換變?yōu)?B , 則,R(A) R(B).,由于 B 亦可經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锳,故也有 R(B) R(A).,行變換矩陣的秩仍不變.,因此 R(A) = R(B).,經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變, 即可知經(jīng)有限次初等,故矩陣經(jīng)初,推論1,一個矩陣的階梯形中非零行的個數(shù)就是原矩陣的秩。,為了計算矩陣A的秩，只要用初等行變換把A變成階梯,形即可。,對列變換同理可證明.,等變換后其秩不變,例3,求矩陣A的秩