1、1,數(shù)字通信原理,第9章差錯控制編碼,2,主要內(nèi)容,糾錯碼的基本原理(1) 常用的簡單編碼(2) 線性分組碼 (3) 循環(huán)碼(4) 卷積碼(5,6),3,第9章差錯控制編碼,9.1 概述 信道分類：從差錯控制角度看 隨機信道：錯碼的出現(xiàn)是隨機的 突發(fā)信道：錯碼是成串集中出現(xiàn)的 混合信道：既存在隨機錯碼又存在突發(fā)錯碼 差錯控制技術(shù)的種類 檢錯重發(fā) 前向糾錯 反饋校驗 檢錯刪除,4,第9章差錯控制編碼,差錯控制編碼：常稱為糾錯編碼 監(jiān)督碼元：上述4種技術(shù)中除第3種外，都是在接收端識別有無錯碼。所以在發(fā)送端需要在信息碼元序列中增加一些差錯控制碼元，它們稱為監(jiān)督碼元。 不同的編碼方法，有不同的檢錯或糾

2、錯能力。 多余度：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。例如，若編碼序列中平均每兩個信息碼元就添加一個監(jiān)督碼元，則這種編碼的多余度為1/3。 編碼效率(簡稱碼率) ：設(shè)編碼序列中信息碼元數(shù)量為k，總碼元數(shù)量為n，則比值k/n 就是碼率。 冗余度：監(jiān)督碼元數(shù)(n-k) 和信息碼元數(shù) k 之比。 理論上，差錯控制以降低信息傳輸速率為代價換取提高傳輸可靠性。,5,第9章差錯控制編碼,自動要求重發(fā)(ARQ)系統(tǒng) 3種ARQ系統(tǒng) 停止等待ARQ系統(tǒng) 數(shù)據(jù)按分組發(fā)送。每發(fā)送一組數(shù)據(jù)后發(fā)送端等待接收端的確認(ACK)答復(fù)，然后再發(fā)送下一組數(shù)據(jù)。 圖中的第3組接收數(shù)據(jù)有誤，接收端發(fā)回一個否認(NAK)答復(fù)。這時，發(fā)送端將

3、重發(fā)第3組數(shù)據(jù)。 系統(tǒng)是工作在半雙工狀態(tài)，時間沒有得到充分利用，傳輸效率較低。,6,第9章差錯控制編碼,拉后ARQ系統(tǒng) 發(fā)送端連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)組，接收端對于每個接收到的數(shù)據(jù)組都發(fā)回確認(ACK)或否認(NAK)答復(fù)。 例如，圖中第5組接收數(shù)據(jù)有誤，則在發(fā)送端收到第5組接收的否認答復(fù)后，從第5組開始重發(fā)數(shù)據(jù)組。 在這種系統(tǒng)中需要對發(fā)送的數(shù)據(jù)組和答復(fù)進行編號，以便識別。顯然，這種系統(tǒng)需要雙工信道,7,第9章差錯控制編碼,選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng) 它只重發(fā)出錯的數(shù)據(jù)組，因此進一步提高了傳輸效率。,8,第9章差錯控制編碼,ARQ的主要優(yōu)點：和前向糾錯方法相比 監(jiān)督碼元較少即能使誤碼率降到很低，即碼率較高； 檢錯

4、的計算復(fù)雜度較低； 檢錯用的編碼方法和加性干擾的統(tǒng)計特性基本無關(guān)，能適應(yīng)不同特性的信道。 ARQ的主要缺點： 需要雙向信道來重發(fā)，不能用于單向信道，也不能用于一點到多點的通信系統(tǒng)。 因為重發(fā)而使ARQ系統(tǒng)的傳輸效率降低。 在信道干擾嚴重時，可能發(fā)生因不斷反復(fù)重發(fā)而造成事實上的通信中斷。 在要求實時通信的場合，例如電話通信，往往不允許使用ARQ法。,9,第9章差錯控制編碼,ARQ系統(tǒng)的原理方框圖 在發(fā)送端，輸入的信息碼元在編碼器中被分組編碼（加入監(jiān)督碼元）后，除了立即發(fā)送外，還暫存于緩沖存儲器中。若接收端解碼器檢出錯碼，則由解碼器控制產(chǎn)生一個重發(fā)指令。此指令經(jīng)過反向信道送到發(fā)送端。由發(fā)送端重發(fā)控

5、制器控制緩沖存儲器重發(fā)一次。 接收端僅當(dāng)解碼器認為接收信息碼元正確時，才將信息碼元送給收信者，否則在輸出緩沖存儲器中刪除接收碼元。 當(dāng)解碼器未發(fā)現(xiàn)錯碼時，經(jīng)過反向信道發(fā)出不需重發(fā)指令。發(fā)送端收到此指令后，即繼續(xù)發(fā)送后一碼組，發(fā)送端的緩沖存儲器中的內(nèi)容也隨之更新。,10,第9章差錯控制編碼,9.2 糾錯編碼的基本原理 分組碼基本原理：舉例說明如下。 設(shè)有一種由3位二進制數(shù)字構(gòu)成的碼組，它共有8種不同的可能組合。若將其全部用來表示天氣，則可以表示8種不同天氣， 例如：“000”（晴），“001”（云）， “010”（陰），“011”（雨）， “100”（雪），“101”（霜）， “110”（霧），

6、“111”（雹）。 其中任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個或多個錯碼，則將變成另一個信息碼組。這時，接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯誤。,11,第9章差錯控制編碼,若在上述8種碼組中只準許使用4種來傳送天氣，例如： “000”晴 “011”云 “101”陰 “110”雨 這時，雖然只能傳送4種不同的天氣，但是接收端卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個錯碼。 例如，若“000”（晴）中錯了一位，則接收碼組將變成“100”或“010”或“001”。這3種碼組都是不準使用的，稱為禁用碼組。 接收端在收到禁用碼組時，就認為發(fā)現(xiàn)了錯碼。當(dāng)發(fā)生3個錯碼時，“000”變成了“111”，它也是禁用碼組，故這種編碼也能檢測3個錯碼。 但是這種碼

7、不能發(fā)現(xiàn)一個碼組中的兩個錯碼，因為發(fā)生兩個錯碼后產(chǎn)生的是許用碼組。,12,第9章差錯控制編碼,檢錯和糾錯 上面這種編碼只能檢測錯碼，不能糾正錯碼。例如，當(dāng)接收碼組為禁用碼組“100”時，接收端將無法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯誤，因為晴、陰、雨三者錯了一位都可以變成“100”。 要能夠糾正錯誤，還要增加多余度。例如，若規(guī)定許用碼組只有兩個：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用碼組，則能夠檢測兩個以下錯碼，或能夠糾正一個錯碼。 例如，當(dāng)收到禁用碼組“100”時，若當(dāng)作僅有一個錯碼，則可以判斷此錯碼發(fā)生在“1”位，從而糾正為“000”（晴）。因為“111”（雨）發(fā)生任何一位錯碼時都不會變成“

8、100”這種形式。 但是，這時若假定錯碼數(shù)不超過兩個，則存在兩種可能性：“000”錯一位和“111”錯兩位都可能變成“100”，因而只能檢測出存在錯碼而無法糾正錯碼。,13,第9章差錯控制編碼,分組碼的結(jié)構(gòu) 將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱為分組碼 。 在分組碼中，監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元。 信息位和監(jiān)督位的關(guān)系：舉例如下,14,第9章差錯控制編碼,分組碼的一般結(jié)構(gòu) 分組碼的符號：(n, k) N 碼組的總位數(shù)，又稱為碼組的長度（碼長）， k 碼組中信息碼元的數(shù)目， n k r 碼組中的監(jiān)督碼元數(shù)目，或稱監(jiān)督位數(shù)目。,15,第9章差錯控制編碼,分組碼的碼重和碼距 碼重：

9、把碼組中“1”的個數(shù)目稱為碼組的重量，簡稱碼重。 碼距：把兩個碼組中對應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡稱碼距。碼距又稱漢明距離。 例如，“000”晴，“011”云，“101”陰，“110”雨，4個碼組之間，任意兩個的距離均為2。 最小碼距：把某種編碼中各個碼組之間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。例如，上面的編碼的最小碼距d0 = 2。,16,第9章差錯控制編碼,碼距的幾何意義 對于3位的編碼組，可以在3維空間中說明碼距的幾何意義。 每個碼組的3個碼元的值(a1, a2, a3)就是此立方體各頂點的坐標(biāo)。而上述碼距概念在此圖中就對應(yīng)于各頂點之間沿立方體各邊行走的幾何距離。 由此圖可以直觀

10、看出，上例中4個準用碼組之間的距離均為2。,17,第9章差錯控制編碼,碼距和檢糾錯能力的關(guān)系 一種編碼的最小碼距d0的大小直接關(guān)系著這種編碼的檢錯和糾錯能力 為檢測e個錯碼，要求最小碼距 d0 e + 1 【證】設(shè)一個碼組A位于O點。若碼組A中發(fā)生一個錯碼，則我們可以認為A的位置將移動至以O(shè)點為圓心，以1為半徑的圓上某點，但其位置不會超出此圓。 若碼組A中發(fā)生兩位錯碼，則其位置不會超出以O(shè)點為圓心，以2為半徑的圓。因此，只要最小碼距不小于3，碼組A發(fā)生兩位以下錯碼時， 不可能變成另一個準用 碼組，因而能檢測錯碼 的位數(shù)等于2。,18,第9章差錯控制編碼,同理，若一種編碼的最小碼距為d0，則將能

11、檢測(d0 - 1)個錯碼。反之，若要求檢測e個錯碼，則最小碼距d0至少應(yīng)不小于( e + 1)。 為了糾正t個錯碼，要求最小碼距d0 2t + 1 【證】圖中畫出碼組A和B的距離為5。碼組A或B若發(fā)生不多于兩位錯碼，則其位置均不會超出半徑為2以原位置為圓心的圓。這兩個圓是不重疊的。判決規(guī)則為：若接收碼組落于以A為圓心的圓上就判決收到的是碼組A，若落于以B為圓心的圓上就判決為碼組B。 這樣，就能夠糾 正兩位錯碼。,19,第9章差錯控制編碼,若這種編碼中除碼組A和B外，還有許多種不同碼組，但任兩碼組之間的碼距均不小于5，則以各碼組的位置為中心以2為半徑畫出之圓都不會互相重疊。這樣，每種碼組如果發(fā)

12、生不超過兩位錯碼都將能被糾正。因此，當(dāng)最小碼距d05時，能夠糾正2個錯碼，且最多能糾正2個。若錯碼達到3個，就將落入另一圓上，從而發(fā)生錯判。故一般說來，為糾正t個錯碼，最小碼距應(yīng)不小于(2t + 1)。,20,第9章差錯控制編碼,為糾正t個錯碼，同時檢測e個錯碼，要求最小碼距 在解釋此式之前，先來分析下圖所示的例子。圖中碼組A和B之間距離為5。按照檢錯能力公式，最多能檢測4個錯碼，即e = d0 1 = 5 1 = 4，按照糾錯能力公式糾錯時，能糾正2個錯碼。但是，不能同時作到兩者，因為當(dāng)錯碼位數(shù)超過糾錯能力時，該碼組立即進入另一碼組的圓內(nèi)而被錯誤地“糾正”了。例如，碼組A若錯了3位，就會被誤

13、認為碼組B錯了2位造成的結(jié)果，從而被 錯“糾”為B。這就 是說，檢錯和糾錯 公式不能同時成立 或同時運用。,21,第9章差錯控制編碼,所以，為了在可以糾正t個錯碼的同時，能夠檢測e個錯碼，就需要像下圖所示那樣，使某一碼組（譬如碼組A）發(fā)生e個錯誤之后所處的位置，與其他碼組（譬如碼組B）的糾錯圓圈至少距離等于1，不然將落在該糾錯圓上從而發(fā)生錯誤地“糾正”。因此，由此圖可以直觀看出，要求最小碼距 這種糾錯和檢錯結(jié)合的工作方式簡稱糾檢結(jié)合。,22,第9章差錯控制編碼,這種工作方式是自動在糾錯和檢錯之間轉(zhuǎn)換的。當(dāng)錯碼數(shù)量少時，系統(tǒng)按前向糾錯方式工作，以節(jié)省重發(fā)時間，提高傳輸效率；當(dāng)錯碼數(shù)量多時，系統(tǒng)按

14、反饋重發(fā)方式糾錯，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。所以，它適用于大多數(shù)時間中錯碼數(shù)量很少，少數(shù)時間中錯碼數(shù)量多的情況。,23,第9章差錯控制編碼,9.3 糾錯編碼的性能 系統(tǒng)帶寬和信噪比的矛盾： 由上節(jié)所述的糾錯編碼原理可知，為了減少接收錯誤碼元數(shù)量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。這樣作的結(jié)果使發(fā)送序列增長，冗余度增大。若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬。系統(tǒng)帶寬的增大將引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信噪比下降。信噪比的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯碼增多。一般說來，采用糾錯編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。改善的程度和所用的編碼有關(guān)。,24,第9章差錯控

15、制編碼,編碼性能舉例 未采用糾錯編碼時， 若接收信噪比等于 7dB，編碼前誤碼率 約為810-4，圖中A 點，在采用糾錯編碼 后，誤碼率降至約4 10-5，圖中B點。這樣， 不增大發(fā)送功率就能 降低誤碼率約一個半 數(shù)量級。,25,第9章差錯控制編碼,由圖還可以看出，若 保持誤碼率在10-5， 圖中C點，未采用編 碼時，約需要信噪比 Eb / n0 = 10.5 dB。在 采用這種編碼時，約 需要信噪比7.5 dB，圖 中D點?？梢怨?jié)省功率 2 dB。通常稱這2 dB為 編碼增益。 上面兩種情況付出的代 價是帶寬增大。,26,第9章差錯控制編碼,傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系 對于給定的傳輸系統(tǒng) 式

16、中，RB為碼元速率。 若希望提高傳輸速率， 由上式看出勢必使信 噪比下降，誤碼率增 大。假設(shè)系統(tǒng)原來工作 在圖中C點，提高速率后 由C點升到E點。但加用 糾錯編碼后，仍可將誤碼 率降到D點。這時付出的 代價仍是帶寬增大。,27,第9章差錯控制編碼,9.4簡單的實用編碼 11.4.1 奇偶監(jiān)督碼 奇偶監(jiān)督碼分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種，兩者的原理相同。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，無論信息位多少，監(jiān)督位只有1位，它使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式條件： 式中a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。 這種編碼能夠檢測奇數(shù)個錯碼。在接收端，按照上式求“模2和”，若計算結(jié)果為“1”就說明存在錯碼，結(jié)果為“0”就認為無

17、錯碼。 奇數(shù)監(jiān)督碼與偶數(shù)監(jiān)督碼相似，只不過其碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)：,28,第9章差錯控制編碼,9.4.2 二維奇偶監(jiān)督碼（方陣碼） 二維奇偶監(jiān)督碼的構(gòu)成 它是先把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，然后再按列的方向增加第二維監(jiān)督位，如下圖所示 圖中a01 a02 a0m為m行奇偶監(jiān)督碼中的m個監(jiān)督位。 cn-1 cn-2 c1 c0為按列進行第二次編碼所增加的監(jiān)督位，它們構(gòu)成了一監(jiān)督位行。,29,第9章差錯控制編碼,二維奇偶監(jiān)督碼的性能 這種編碼有可能檢測偶數(shù)個錯碼。因為每行的監(jiān)督位雖然不能用于檢測本行中的偶數(shù)個錯碼，但按列的方向有可能由cn-1 cn-2 c1 c0等監(jiān)督

18、位檢測出來。有一些偶數(shù)錯碼不可能檢測出來。例如，構(gòu)成矩形的4個錯碼，譬如圖中 錯了，就檢測不出。 這種二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測突發(fā)錯碼。因為突發(fā)錯碼常常成串出現(xiàn)，隨后有較長一段無錯區(qū)間。 由于方陣碼只對構(gòu)成矩形四角的錯碼無法檢測，故其檢錯能力較強。 二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯，還可以用來糾正一些錯碼。 例如，僅在一行中有奇數(shù)個錯碼時。,30,第9章差錯控制編碼,9.4.3 恒比碼 在恒比碼中，每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”（和“0”）。由于“1”的數(shù)目與“0”的數(shù)目之比保持恒定，故得此名。 這種碼在檢測時，只要計算接收碼組中“1”的數(shù)目是否對，就知道有無錯碼。 恒比碼的主要優(yōu)點是簡單和適于用來

19、傳輸電傳機或其他鍵盤設(shè)備產(chǎn)生的字母和符號。對于信源來的二進制隨機數(shù)字序列，這種碼就不適合使用了。,31,第9章差錯控制編碼,9.4.4 正反碼 正反碼的編碼： 它是一種簡單的能夠糾正錯碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反則由信息碼中“1”的個數(shù)而定。 例如，若碼長n = 10，其中信息位 k = 5，監(jiān)督位 r = 5。其編碼規(guī)則為： 當(dāng)信息位中有奇數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的簡單重復(fù)； 當(dāng)信息位有偶數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的反碼。 例如，若信息位為11001，則碼組為1100111001；若信息位為10001，則碼組為1000101110。,32,

20、第9章差錯控制編碼,正反碼的解碼 在上例中，先將接收碼組中信息位和監(jiān)督位按模 2 相加，得到一個5位的合成碼組。然后，由此合成碼組產(chǎn)生一個校驗碼組。 若接收碼組的信息位中有奇數(shù)個“1”，則合成碼組就是校驗碼組；若接收碼組的信息位中有偶數(shù)個“1”，則取合成碼組的反碼作為校驗碼組。 最后，觀察校驗碼組中“1”的個數(shù)，按下表進行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯碼。,33,第9章差錯控制編碼,校驗碼組和錯碼的關(guān)系 例如，若發(fā)送碼組為1100111001，接收碼組中無錯碼，則合成碼組應(yīng)為1100111001=00000。由于接收碼組信息位中有奇數(shù)個“1”，所以校驗碼組就是00000。按上表判決，結(jié)論是無錯碼。,3

21、4,第9章差錯控制編碼,若傳輸中產(chǎn)生了差錯，使接收碼組變成1000111001，則合成碼組為100011100101000。由于接收碼組中信息位有偶數(shù)個“1”，所以校驗碼組應(yīng)取合成碼組的反碼，即10111。由于其中有4個“1”和1個“0”，按上表判斷信息位中左邊第2位為錯碼。 若接收碼組錯成1100101001，則合成碼組變成110010100110000。由于接收碼組中信息位有奇數(shù)個“1”，故校驗碼組就是10000，按上表判斷，監(jiān)督位中第1位為錯碼。 最后，若接收碼組為1001111001，則合成碼組為100111100101010，校驗碼組與其相同，按上表判斷，這時錯碼多于1個。 上述長度

22、為10的正反碼具有糾正1位錯碼的能力，并能檢測全部2位以下的錯碼和大部分2位以上的錯碼。,35,第9章差錯控制編碼,9.5 線性分組碼 基本概念 代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼。 線性碼：按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的。 線性分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼 。 本節(jié)將以漢明碼為例引入線性分組碼的一般原理。,36,第9章差錯控制編碼,漢明碼 能夠糾正1位錯碼且編碼效率較高的一種線性分組碼 漢明碼的構(gòu)造原理。 在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a0，它和信息位an-1 a1一起構(gòu)成一個代數(shù)式： 在接收端解碼時，實際上就是在計算 若S =

23、 0，就認為無錯碼；若S = 1，就認為有錯碼?，F(xiàn)將上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。由于校正子S只有兩種取值，故它只能代表有錯和無錯這兩種信息，而不能指出錯碼的位置。,37,第9章差錯控制編碼,若監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個類似的監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個校正子的可能值有4中組合： 00，01，10，11，故能表示4種不同的信息。若用其中1種組合表示無錯，則其余3種組合就有可能用來指示一個錯碼的3種不同位置。同理，r個監(jiān)督關(guān)系式能指示1位錯碼的(2r 1)個可能位置。 一般來說，若碼長為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)rnk。如果希望用r個監(jiān)督位構(gòu)造出r個監(jiān)督關(guān)系式來指示1位錯碼的n種可能

24、位置，則要求 下面通過一個例子來說明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。,38,第9章差錯控制編碼,例：設(shè)分組碼(n, k)中k = 4，為了糾正1位錯碼，由上式可知，要求監(jiān)督位數(shù) r 3。若取 r = 3，則n = k + r = 7。我們用a6 a5 a0表示這7個碼元，用S1、S2和S3表示3個監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，則S1、S2和S3的值與錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如下表所列：,39,第9章差錯控制編碼,由表中規(guī)定可見，僅當(dāng)一位錯碼的位置在a2 、a4、a5或a6時，校正子S1為1；否則S1為零。這就意味著a2 、a4、a5和a6四個碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 同理， a1、a3、a5和a6構(gòu)成偶數(shù)

25、監(jiān)督關(guān)系： 以及a0、a3、a4 和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系,40,第9章差錯控制編碼,在發(fā)送端編碼時，信息位a6、a5、a4和a3的值決定于輸入信號，因此它們是隨機的。監(jiān)督位a2、a1和a0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上3式中S1、S2和S3的值為0（表示編成的碼組中應(yīng)無錯碼）： 上式經(jīng)過移項運算，解出監(jiān)督位 給定信息位后，可以直接按上式算出監(jiān)督位， 結(jié)果見下表：,41,第9章差錯控制編碼,42,第9章差錯控制編碼,接收端收到每個碼組后，先計算出S1、S2和S3，再查表判斷錯碼情況。例如，若接收碼組為0000011，按上述公式計算可得：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1

26、。由于S1 S2 S3 等于011，故查表可知在a3位有1錯碼。 按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的(7, 4)漢明碼的最小碼距d0 = 3。因此，這種碼能夠糾正1個錯碼或檢測2個錯碼。由于碼率k/n = (n - r) /n =1 r/n，故當(dāng)n很大和r很小時，碼率接近1?？梢姡瑵h明碼是一種高效碼。,43,第9章差錯控制編碼,線性分組碼的一般原理 線性分組碼的構(gòu)造 H矩陣 上面(7, 4)漢明碼的例子有 現(xiàn)在將上面它改寫為 上式中已經(jīng)將“”簡寫成“+”。,44,第9章差錯控制編碼,上式可以表示成如下矩陣形式： 上式還可以簡記為 H AT = 0T 或A HT = 0,45,第9章差錯

27、控制編碼,H AT = 0T 或A HT = 0 式中 A = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 = 000 右上標(biāo)“T”表示將矩陣轉(zhuǎn)置。例如，HT是H的轉(zhuǎn)置，即HT的第一行為H的第一列，HT的第二行為H的第二列等等。 將H稱為監(jiān)督矩陣。 只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。,46,第9章差錯控制編碼,H矩陣的性質(zhì)： 1) H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)目r。H的每行中“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督關(guān)系。例如，H的第一行1110100表示監(jiān)督位a2是由a6 a5 a4之和決定的。H矩陣可以分成兩部分，例如 式中，P為r k階矩陣，Ir

28、為r r階單位方陣。我們將具有P Ir形式的H矩陣稱為典型陣。,47,第9章差錯控制編碼,2) 由代數(shù)理論可知，H矩陣的各行應(yīng)該是線性無關(guān)的，否則將得不到 r個線性無關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不到 r個獨立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫成典型陣形式P Ir，則其各行一定是線性無關(guān)的。因為容易驗證Ir的各行是線性無關(guān)的，故P Ir的各行也是線性無關(guān)的。 G矩陣：上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為 也可以改寫成矩陣形式：,48,第9章差錯控制編碼,或者寫成 式中，Q為一個k r階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即 Q = PT 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。,49,第9章差錯控制編碼,我

29、們將Q的左邊加上1個k k階單位方陣，就構(gòu)成1個矩陣G G稱為生成矩陣，因為由它可以產(chǎn)生整個碼組，即有 或者 因此，如果找到了碼的生成矩陣G，則編碼的方法就完全確定了。具有IkQ形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣。由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼。,50,第9章差錯控制編碼,G矩陣的性質(zhì)： 1) G矩陣的各行是線性無關(guān)的。因為由上式可以看出，任一碼組A都是G的各行的線性組合。G共有k行，若它們線性無關(guān)，則可以組合出2k種不同的碼組A，它恰是有k位信息位的全部碼組。若G的各行有線性相關(guān)的，則不可能由G生成2k種不同的碼組了。 2) 實際上，G的

30、各行本身就是一個碼組。因此，如果已有k個線性無關(guān)的碼組，則可以用其作為生成矩陣G，并由它生成其余碼組。,51,第9章差錯控制編碼,錯碼矩陣和錯誤圖樣 一般說來，A為一個n列的行矩陣。此矩陣的n個元素就是碼組中的n個碼元，所以發(fā)送的碼組就是A。此碼組在傳輸中可能由于干擾引入差錯，故接收碼組一般說來與A不一定相同。 若設(shè)接收碼組為一n列的行矩陣B，即 則發(fā)送碼組和接收碼組之差為 B A = E (模2) 它就是傳輸中產(chǎn)生的錯碼行矩陣 式中,52,第9章差錯控制編碼,因此，若ei = 0，表示該接收碼元無錯；若ei = 1，則表示該接收碼元有錯。 B A = E 可以改寫成 B = A + E 例如

31、，若發(fā)送碼組A = 1000111，錯碼矩陣E = 0000100，則接收碼組B = 1000011。 錯碼矩陣有時也稱為錯誤圖樣。,53,第9章差錯控制編碼,校正子S 當(dāng)接收碼組有錯時，E 0，將B當(dāng)作A代入公式(A H T = 0)后，該式不一定成立。在錯碼較多，已超過這種編碼的檢錯能力時，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯碼是不可檢測的。在未超過檢錯能力時，上式不成立，即其右端不等于0。假設(shè)這時該式的右端為S，即 B H T = S 將B = A + E代入上式，可得 S = (A + E) H T = A H T + E H T 由于A HT = 0，所以 S = E H T

32、 式中S稱為校正子。它能用來指示錯碼的位置。 S和錯碼E之間有確定的線性變換關(guān)系。若S和E之間一一對應(yīng)，則S將能代表錯碼的位置。,54,第9章差錯控制編碼,線性分組碼的性質(zhì) 封閉性：是指一種線性碼中的任意兩個碼組之和仍為這種碼中的一個碼組。 這就是說，若A1和A2是一種線性碼中的兩個許用碼組，則(A1+A2)仍為其中的一個碼組。這一性質(zhì)的證明很簡單。若A1和A2是兩個碼組，則有 A1 HT = 0,A2 HT = 0 將上兩式相加，得出 A1 HT + A2 HT = (A1 + A2) HT = 0 所以(A1 + A2)也是一個碼組。 由于線性碼具有封閉性，所以兩個碼組(A1和A2)之間的

33、距離（即對應(yīng)位不同的數(shù)目）必定是另一個碼組(A1 + A2)的重量（即“1”的數(shù)目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全“0”碼組外）。,55,第9章差錯控制編碼,9.6 循環(huán)碼 9.6.1 循環(huán)碼原理 循環(huán)性：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個碼組。在下表中給出一種(7, 3)循環(huán)碼的全部碼組。 例如，表中的第2碼組向右移一位即得到第5碼組；第6碼組向右移一位即得到第7碼組。,56,第9章差錯控制編碼,一般說來，若(an-1 an-2 a0)是循環(huán)碼的一個碼組，則循環(huán)移位后的碼組 (an-2 an-3 a0 an-1) (an-3

34、an-4 an-1 an-2) (a0 an-1 a2 a1) 也是該編碼中的碼組。,57,第9章差錯控制編碼,碼多項式 碼組的多項式表示法 把碼組中各碼元當(dāng)作是一個多項式的系數(shù)，即把一個長度為n的碼組表示成 例如，上表中的任意一個碼組可以表示為 其中第7個碼組可以表示為 這種多項式中，x僅是碼元位置的標(biāo)記，例如上式表示第7碼組中a6、a5、a2和a0為“1”，其他均為0。因此我們并不關(guān)心x的取值。,58,第9章差錯控制編碼,碼多項式的按模運算 在整數(shù)運算中，有模n運算。例如，在模2運算中，有 1 + 1 = 2 0 (模2)， 1 + 2 = 3 1 (模2)， 2 3 = 6 0 (模2)

35、 等等。一般說來，若一個整數(shù)m可以表示為 式中，Q 整數(shù)， 則在模 n 運算下，有 m p (模n) 即，在模 n 運算下，一個整數(shù)m等于它被 n 除得的余數(shù)。,59,第9章差錯控制編碼,在碼多項式運算中也有類似的按模運算。 若一任意多項式F(x)被一 n 次多項式N (x)除，得到商式Q(x)和一個次數(shù)小于n的余式R(x)，即 則寫為 這時，碼多項式系數(shù)仍按模2 運算，即系數(shù)只取 0 和1。例如，x3被(x3 + 1)除，得到余項1。所以有 同理 因為,應(yīng)當(dāng)注意，由于在模2運算中，用加法代替了減法，故余項不是x2 x + 1，而是x2 + x + 1。,60,第9章差錯控制編碼,循環(huán)碼的碼多

36、項式 在循環(huán)碼中，若T(x)是一個長為n的許用碼組，則xiT(x)在按模xn + 1運算下，也是該編碼中的一個許用碼組，即若 則T (x)也是該編碼中的一個許用碼組。 【證】因為若 則 （模(xn + 1)） 所以，這時有,61,第9章差錯控制編碼,上式中T (x)正是T(x)代表的碼組向左循環(huán)移位i次的結(jié)果。因為原已假定T(x)是循環(huán)碼的一個碼組，所以T (x)也必為該碼中一個碼組。例如，循環(huán)碼組 其碼長n = 7?，F(xiàn)給定i = 3，則 其對應(yīng)的碼組為0101110，它正是表中第3碼組。 由上述分析可見，一個長為n的循環(huán)碼必定為按模(xn + 1)運算的一個余式。,62,第9章差錯控制編碼,

37、循環(huán)碼的生成矩陣G 由上節(jié)中公式 可知，有了生成矩陣G，就可以由k個信息位得出整個碼組，而且生成矩陣G的每一行都是一個碼組。例如，在此式中，若a6a5a4a3 = 1000，則碼組A就等于G的第一行；若a6a5a4a3 = 0100，則碼組A就等于G的第二行；等等。由于G是k行n列的矩陣，因此若能找到k個已知碼組，就能構(gòu)成矩陣G。如前所述，這k個已知碼組必須是線性不相關(guān)的，否則給定的信息位與編出的碼組就不是一一對應(yīng)的。 在循環(huán)碼中，一個(n, k)碼有2k個不同的碼組。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為“0”的碼組，則g(x)，x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x)都是碼組，而且

38、這k個碼組是線性無關(guān)的。因此它們可以用來構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G。,63,第9章差錯控制編碼,在循環(huán)碼中除全“0”碼組外，再沒有連續(xù)k位均為“0”的碼組，即連“0”的長度最多只能有(k - 1)位。否則，在經(jīng)過若干次循環(huán)移位后將得到一個k位信息位全為“0”，但監(jiān)督位不全為“0”的一個碼組。這在線性碼中顯然是不可能的。因此，g(x)必須是一個常數(shù)項不為“0”的(n - k)次多項式，而且這個g(x)還是這種(n, k)碼中次數(shù)為(n k)的唯一多項式。因為如果有兩個，則由碼的封閉性，把這兩個相加也應(yīng)該是一個碼組，且此碼組多項式的次數(shù)將小于(n k)，即連續(xù)“0”的個數(shù)多于(k 1)。顯然，這是與

39、前面的結(jié)論矛盾的，故是不可能的。我們稱這唯一的(n k)次多項式g(x)為碼的生成多項式。一旦確定了g(x)，則整個(n, k)循環(huán)碼就被確定了。,64,第9章差錯控制編碼,因此，循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫成 例：在上表所給出的(7, 3)循環(huán)碼中，n = 7, k = 3, n k = 4。由此表可見，唯一的一個(n k) = 4次碼多項式代表的碼組是第二碼組0010111，與它相對應(yīng)的碼多項式（即生成多項式）g(x) = x4 + x2 + x + 1。將此g(x)代入上式，得到 或,65,第9章差錯控制編碼,由于上式不符合G = IkQ的形式，所以它不是典型陣。不過，將它作線性變換，不難化

40、成典型陣。 我們可以寫出此循環(huán)碼組，即 上式表明，所有碼多項式T(x)都可被g(x)整除，而且任意一個次數(shù)不大于(k 1)的多項式乘g(x)都是碼多項式。需要說明一點，兩個矩陣相乘的結(jié)果應(yīng)該仍是一個矩陣。上式中兩個矩陣相乘的乘積是只有一個元素的一階矩陣，這個元素就是T(x)。為了簡潔，式中直接將乘積寫為此元素。,66,第9章差錯控制編碼,如何尋找任一(n, k)循環(huán)碼的生成多項式 由上式可知，任一循環(huán)碼多項式T(x)都是g(x)的倍式，故它可以寫成 T(x) = h(x)g(x) 而生成多項式g(x)本身也是一個碼組，即有 T (x) = g(x) 由于碼組T (x)是一個(n k)次多項式，

41、故xk T (x)是一個n次多項式。由下式 可知，xk T (x)在模(xn + 1)運算下也是一個碼組，故可以寫成,67,第9章差錯控制編碼,上式左端分子和分母都是n次多項式，故商式Q(x) = 1。因此，上式可以化成 將T(x)和T(x)表示式代入上式，經(jīng)過化簡后得到 上式表明，生成多項式g(x)應(yīng)該是(xn + 1)的一個因子。這一結(jié)論為我們尋找循環(huán)碼的生成多項式指出了一條道路，即循環(huán)碼的生成多項式應(yīng)該是(xn +1)的一個(n k)次因式。例如，(x7 + 1)可以分解為 為了求(7, 3)循環(huán)碼的生成多項式g(x)，需要從上式中找到一個(n k) = 4次的因子。不難看出，這樣的因子

42、有兩個，即,68,第9章差錯控制編碼,以上兩式都可作為生成多項式。不過，選用的生成多項式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。,69,70,第9章差錯控制編碼,9.6.2 循環(huán)碼的編解碼方法 循環(huán)碼的編碼方法 編碼原則 在編碼時，首先要根據(jù)給定的(n, k)值選定生成多項式g(x)，即從(xn + 1)的因子中選一個(n - k)次多項式作為g(x)。 由于所有碼多項式T(x)都可以被g(x)整除。根據(jù)這條原則，就可以對給定的信息位進行編碼： 設(shè)m(x)為信息碼多項式，其次數(shù)小于k。用xn - k乘m(x)，得到的xn-k m(x)的次數(shù)必定小于n。用g(x)除xn - k m(x)，得到余式r(x

43、)，r(x)的次數(shù)必定小于g(x)的次數(shù)，即小于(n k)。將此余式r(x)加于信息位之后作為監(jiān)督位，即將r(x)和xn - k m(x)相加，得到的多項式必定是一個碼多項式。因為它必須能被g(x)整除，且商的次數(shù)不大于(k 1)。,71,第9章差錯控制編碼,編碼步驟： 用xn - k乘m(x)。這一運算實際上是在信息碼后附加上(n k)個“0”。例如，信息碼為110，它相當(dāng)于m(x) = x2 + x。當(dāng)n k = 7 3 = 4時，xn - k m(x) = x4 (x2 + x) = x6 + x5，它相當(dāng)于1100000。 用g(x)除xn - k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x

44、)，即 例如，若選定g(x) = x4 + x2 + x + 1，則 上式相當(dāng)于,72,第9章差錯控制編碼,編出的碼組T(x)為 T(x) = xn - k m(x) + r(x) 在上例中，T(x) = 1100000 + 101 = 1100101，它就是上表中的第7碼組。,73,第9章差錯控制編碼,循環(huán)碼的解碼方法 解碼要求：檢錯和糾錯。 檢錯解碼原理：由于任意一個碼組多項式T(x)都應(yīng)該能被生成多項式g(x)整除，所以在接收端可以將接收碼組R(x)用原生成多項式g(x)去除。當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯誤時，接收碼組與發(fā)送碼組相同，即R(x) = T(x)，故接收碼組R(x)必定能被g(x)整除；

45、若碼組在傳輸中發(fā)生錯誤，則R(x) T(x)，R(x)被g(x)除時可能除不盡而有余項，即有 因此，就以余項是否為零來判別接收碼組中有無錯碼。 需要指出，有錯碼的接收碼組也有可能被g(x)整除。這時的錯碼就不能檢出了。這種錯誤稱為不可檢錯誤。不可檢錯誤中的誤碼數(shù)必定超過了這種編碼的檢錯能力。,74,第9章差錯控制編碼,糾錯解碼原理：為了能夠糾錯，要求每個可糾正的錯誤圖樣必須與一個特定余式有一一對應(yīng)關(guān)系。因為只有存在上述一一對應(yīng)的關(guān)系時，才可能從上述余式唯一地決定錯誤圖樣，從而糾正錯碼。因此，原則上糾錯可按下述步驟進行： 用生成多項式g(x)除接收碼組R(x)，得出余式r(x)。 按余式r(x)

46、，用查表的方法或通過某種計算得到錯誤圖樣E(x)；例如，通過計算校正子S和查表，就可以確定錯碼的位置。 從R(x)中減去E(x)，便得到已經(jīng)糾正錯碼的原發(fā)送碼組T(x)。 通常，一種編碼可以有幾種糾錯解碼方法，上述解碼方法稱為捕錯解碼法。 目前多采用軟件運算實現(xiàn)上述編解碼運算。,75,第9章差錯控制編碼,9.7 卷積碼 非分組碼概念： 卷積碼是一種非分組碼。通常它更適用于前向糾錯，因為對于許多實際情況它的性能優(yōu)于分組碼，而且運算較簡單。 卷積碼在編碼時雖然也是把k個比特的信息段編成n個比特的碼組，但是監(jiān)督碼元不僅和當(dāng)前的k比特信息段有關(guān)，而且還同前面m = (N 1)個信息段有關(guān)。所以一個碼組

47、中的監(jiān)督碼元監(jiān)督著N個信息段。通常將N稱為編碼約束度，并將nN稱為編碼約束長度。一般說來，對于卷積碼，k 和 n 的值是比較小的整數(shù)。我們將卷積碼記作(n, k, N)。碼率則仍定義為k / n。,76,第9章差錯控制編碼,9.7.1 卷積碼的基本原理 編碼器原理方框圖,77,第9章差錯控制編碼,例： (n, k, N) = (3, 1, 3)卷積碼編碼器 方框圖 設(shè)輸入信息比特序列是bi-2 bi-1 bi bi+1，則當(dāng)輸入bi時，此編碼器輸出3比特ci di ei，輸入和輸出的關(guān)系如下：,78,第9章差錯控制編碼,在下圖中用虛線示出了信息位bi的監(jiān)督位和各信息位之間的約束關(guān)系。這里的編碼

48、約束長度nN等于9。,79,第9章差錯控制編碼,9.7.2 卷積碼的代數(shù)表述 上式表示卷積碼也是一種線性碼。一個線性碼完全由一個監(jiān)督矩陣H或生成矩陣G所確定。下面就來尋找這兩個矩陣。 監(jiān)督矩陣H 現(xiàn)在仍從上面的實例開始分析。假設(shè)上圖中在第1個信息位b1進入編碼器之前，各級移存器都處于“0”狀態(tài)，則監(jiān)督位di、ei和信息位bi之間的關(guān)系可以寫為,80,第9章差錯控制編碼,左式可以改寫為 在上面兩個式子和后面的式子中，為簡便計，用“”代替“”。 將上式用矩陣表示時，可以寫成,81,第9章差錯控制編碼,與11.5節(jié)公式H AT = 0T對比，可以看出監(jiān)督矩陣為,82,第9章差錯控制編碼,由此例可見，

49、卷積碼的監(jiān)督矩陣H是一個有頭無尾的半無窮矩陣。此外，這個矩陣的每3列的結(jié)構(gòu)是相同的，只是后3列比前3列向下移了兩行。例如，第4 6列比第1 3列低2行。自第7行起，每兩行的左端比上兩行多了3個“0”。,83,第9章差錯控制編碼,雖然這樣的半無窮矩陣不便于研究，但是只要研究產(chǎn)生前9個碼元（9為約束長度）的監(jiān)督矩陣就足夠了。不難看出，這種截短監(jiān)督矩陣的結(jié)構(gòu)形式如下圖所示： 由此圖可見，H1的最左邊是n列(n-k)N行的一個子矩陣，且向右的每n列均相對于前n列降低(n - k)行。,84,第9章差錯控制編碼,此例中碼的截短監(jiān)督矩陣可以寫成如下形式： 式中 2階單位方陣； Pi 1 2階矩陣，i =

50、1, 2, 3； O2 2階全零方陣。,85,第9章差錯控制編碼,一般說來，卷積碼的截短監(jiān)督矩陣具有如下形式： 式中 In-k (n k)階單位方陣； Pi k (n k)階矩陣； On-k (n k)階全零方陣。 有時還將H1的末行稱為基本監(jiān)督矩陣h h = PN On-k PN-1 On-k PN-2 On-k P1 In-k 它是卷積碼的一個最重要的矩陣，因為只要給定了h，則H1也就隨之決定了。或者說，我們從給定的h不難構(gòu)造出H1。,86,第9章差錯控制編碼,生成矩陣G 上例中的輸出碼元序列可以寫成 b1 d1 e1 b2 d2 e2 b3 d3 e3 b4 d4 e4 = b1 b1

51、b1 b2 b2 (b2 + b1) b3 (b3 + b1) (b3 + b2 + b1) b4 (b4 + b2) (b4 + b3 + b2) ,87,第9章差錯控制編碼,此碼的生成矩陣G即為上式最右矩陣： 它也是一個半無窮矩陣，其特點是每一行的結(jié)構(gòu)相同，只是比上一行向右退后3列（因現(xiàn)在n = 3）。,88,第9章差錯控制編碼,截短生成矩陣：類似地，也有截短生成矩陣 式中I1 一階單位方陣； Qi 2 1階矩陣。 與H1矩陣比較可見，Qi是矩陣PiT的轉(zhuǎn)置： Qi = PiT (i = 1, 2, ) 一般說來，截短生成矩陣具有如下形式：,89,第9章差錯控制編碼,式中 Ik k階單位方

52、陣； Qi (n k)k階矩陣； Ok k階全零方陣。 并將上式中矩陣第一行稱為基本生成矩陣 g Ik Q1 Ok Q2 Ok Q3Ok QN 同樣，如果基本生成矩陣g已經(jīng)給定，則可以從已知的信息位得到整個編碼序列。,90,第9章差錯控制編碼,9.7.3 卷積碼的解碼 分類： 代數(shù)解碼：利用編碼本身的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行解碼，不考慮信道的統(tǒng)計特性。大數(shù)邏輯解碼，又稱門限解碼，是卷積碼代數(shù)解碼的最主要一種方法，它也可以應(yīng)用于循環(huán)碼的解碼。大數(shù)邏輯解碼對于約束長度較短的卷積碼最為有效，而且設(shè)備較簡單。 概率解碼：又稱最大似然解碼。它基于信道的統(tǒng)計特性和卷積碼的特點進行計算。針對無記憶信道提出的序貫解碼就是

53、概率解碼方法之一。另一種概率解碼方法是維特比算法。當(dāng)碼的約束長度較短時，它比序貫解碼算法的效率更高、速度更快，目前得到廣泛的應(yīng)用。,91,第9章差錯控制編碼,大數(shù)邏輯解碼 工作原理 圖中首先將接收信息位暫存于移存器中，并從接收碼元的信息位和監(jiān)督位計算校正子。然后，將計算得出的校正子暫存，并用它來檢測錯碼的位置。在信息位移存器輸出端，接有一個模2加電路；當(dāng)檢測到輸出的信息位有錯時，在輸出的信息位上加“1”，從而糾正之。,92,第9章差錯控制編碼,這里的錯碼檢測是采用二進制碼的大數(shù)邏輯解碼算法。它利用一組“正交”校驗方程進行計算。 這里的“正交” 定義：若被校驗的那個信息位出現(xiàn)在校驗方程組的每一個

54、方程中，而其他的信息位至多在一個方程中出現(xiàn)，則稱這組方程為正交校驗方程。這樣就可以根據(jù)被錯碼影響了的方程數(shù)目在方程組中是否占多數(shù)來判斷該信息位是否錯了。下面將用一個實例來具體講述這一過程。,93,第9章差錯控制編碼,例：(2, 1, 6)卷積碼 編碼器方框圖 監(jiān)督位和信息位的關(guān)系 當(dāng)輸入序列為b1 b2 b3 b4 時，監(jiān)督位為 c1 = b1 c2 = b2 c3 = b3 c4 = b1 + b4 c5 = b1 + b2 + b5 c6 = b1 + b2 + b3 + b6 ,94,第9章差錯控制編碼,監(jiān)督關(guān)系式 參照11.5節(jié)中監(jiān)督關(guān)系的定義式，容易寫出 S1 = c1 + b1 S

55、2 = c2 + b2 S3 = c3 + b3 S4 = c4 + b1 + b4 S5 = c5 + b1 + b2 + b5 S6 = c6 + b1 + b2 + b3 + b6 上式中的Si (i = 1 6)稱為校正子。 正交校驗方程組 上式經(jīng)過簡單線性變換后，得出如下正交校驗方程組：,95,第9章差錯控制編碼,S1 = c1 + b1 S4 = c4 + b1 + b4 S5 = c5 + b1 + b2 + b5 S2 + S6 = c2 + c6 + b1 + b3 + b6 在上式中，只有信息位b1出現(xiàn)在每個方程中，監(jiān)督位和其他信息位均最多只出現(xiàn)一次。因此，在接收端解碼時，

56、考察b1、c1至b6、c6等12個碼元，僅當(dāng)b1出錯時，式中才可能有3個或3個以上方程等于“1”。從而能夠糾正b1的錯誤。,96,第9章差錯控制編碼,解碼器方框圖 按照這一原理畫出的此(2, 1, 6)卷積碼解碼器方框圖如下,97,第9章差錯控制編碼,由此圖可見，當(dāng)信息位出現(xiàn)一個錯碼時，僅當(dāng)它位于信息位移存器的第6、3、2和1級時，才使校正子等于“1”。因此，這時的校正子序列為100111； 反之，當(dāng)監(jiān)督位出現(xiàn)一個錯碼時，校正子序列將為100000。 由此可見，當(dāng)校正子序列中出現(xiàn)第一個“1”時，表示已經(jīng)檢出一個錯碼。后面的幾位校正子則指出是信息位錯了，還是監(jiān)督位錯了。 圖中門限電路的輸入代表式

57、中4個方程的4個電壓。門限電路將這4個電壓（非模2）相加。當(dāng)相加結(jié)果大于或等于3時，門限電路輸出“1”，它除了送到輸出端的模2加法器上糾正輸出碼元b1的錯碼外，還送到校正子移存器糾正其中錯誤。 此卷積碼除了能夠糾正兩位在約束長度中的隨機錯誤外，還能糾正部分多于兩位的錯誤。,98,第9章差錯控制編碼,卷積碼的幾何表述 碼樹圖：現(xiàn)仍以上面(3, 1, 3)碼為例，介紹卷積碼的碼樹,99,第9章差錯控制編碼,將圖中移存器M1，M2和M3的初始狀態(tài)000作為碼樹的起點?，F(xiàn)在規(guī)定：輸入信息位為“0”，則狀態(tài)向上支路移動；輸入信息位為“1”，則狀態(tài)向下支路移動。于是，就可以得出圖中所示的碼樹。 設(shè)現(xiàn)在的輸

58、入碼元序列為1101，則當(dāng)?shù)?個信息位b1 = 1輸入后，各移存器存儲的信息分別為M1 = 1，M2 = M3 = 0。此時的輸出為c1 d1 e1= 111，碼樹的狀態(tài)將從起點a向下到達狀態(tài)b；此后，第2個輸入信息位b2 = 1，故碼樹狀態(tài)將從狀態(tài)b向下到達狀態(tài)d。這時M2 = 1，M3 = 0，此時，c2d2e2 = 110。第3位和后繼各位輸入時，編碼器將按照圖中粗線所示的路徑前進，得到輸出序列：111 110 010 100 。 由此碼樹圖還可以看到，從第4級支路開始，碼樹的上半部和下半部相同。這意味著，從第4個輸入信息位開始，輸出碼元已經(jīng)與第1位輸入信息位無關(guān)，即此編碼器的約束度N

59、= 3。,100,第9章差錯控制編碼,若觀察在新碼元輸入時編碼器的過去狀態(tài)，即觀察M2 M3的狀態(tài)和輸入信息位的關(guān)系，則可以得出圖中的a b c和d四種狀態(tài)。這些狀態(tài)和M2 M3的關(guān)系也在圖中給出了。 碼樹圖原則上還可以用于解碼。在解碼時，按照漢明距離最小的準則沿上面的碼樹進行搜索。例如，若接收碼元序列為111 010 010 110 ，和發(fā)送序列相比可知第4和第11碼元為錯碼。當(dāng)接收到第46個碼元“010”時，將這3個碼元和對應(yīng)的第2級的上下兩個支路比較，它和上支路“001”的漢明距離等于2，和下支路“110”的漢明距離等于1，所以選擇走下支路。 類似地，當(dāng)接收到第1012個碼元“110”時，和第4級的上下支路比較，它和上支路的“011”的漢明距離等于2，和下支路“100”的漢明距離等于1，所以走下支路。這樣，就能夠糾正這兩個錯碼。,101,第9章差錯控制編碼,一般說來，碼樹搜索解碼法并不實用，因為隨著信息序列的增長，碼樹分支數(shù)目按指數(shù)規(guī)律增長；在上面的碼樹圖中，只有4個信息位，分支已有24 = 16個。但是它為以后實用解碼算法建立了初步基礎(chǔ)