1、第一章 行列式 (determinant),1.1 n 階行列式 1.2 行列式的性質(zhì) 1.3 行列式按行（列）展開 1.4 克萊姆法則, 熟練掌握二、三階行列式的定義與計算方 法(對角線法則); 了解 n 階行列式的定義; 理解和熟練掌握行列式的基本運算性質(zhì); 會計算簡單的 n 階行列式; 理解和掌握克萊姆法則 (Cramers rule).,基本要求(自查),用消元法解二元線性方程組,1.1.1 二階行列式的引入,1.1 n 階行列式,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定.,行列式,由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、 豎排稱列）的數(shù)表,定義,即,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計

2、算,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為(記住結(jié)論！),分母同為原方程組的系數(shù)行列式.,例1,解,記,(6)式稱為數(shù)表(5)所確定的三階行列式.,1.1.2 三階行列式,定義,對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號,說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式,項數(shù)：,3!,都是位于不同行,不同列 的三個元素的乘積, 每項特點：,主對角線方向為正, 副對角線方向為負, 項的符號：,計算,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,則三元線性方程組的解為:,二元、三元線性方程組求解步驟：,驗證系數(shù)行列式是否非零； 求

3、幾個行列式：D,D1,D2,； 利用公式,例,解,按對角線法則，有,例3,解,方程左端,例4 解線性方程組,解, 由于方程組的系數(shù)行列式, 同理可得（請同學(xué)們完成以下計算！）, 故方程組的解為:,二階和三階行列式的計算對角線法則 二元和三元線性方程組的解法.,小結(jié),引例,用1,2,3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,1.1.3 全排列及其逆序數(shù),n級排列及逆序數(shù),定義1.1,由自然數(shù) 1,2,n 組成的一個有序數(shù)組i1,i2,in稱為一個 n 級排列.,問題：,

4、1）一個9級排列由哪些自然數(shù)組成？,2）由1,2,3自然數(shù)組成的3級排列共有多少 個，分別是什么？,3）由1,2,n組成的n級排列個數(shù)有多少個？,在一個排列 中， 若數(shù) , 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.,例如 排列32514 中，,n級排列123n中，各個數(shù)按照由小到大的 自然順序排列，該排列稱為自然序數(shù)排列.,排列的逆序數(shù),3 2 5 1 4,定義1.2,例5 排列32514 中，,3 2 5 1 4,故此排列的逆序數(shù)為 3+1+0+1+0=5.,一個排列中所有逆序的總和稱為此排列的逆序數(shù),記為 .,所以(32514) = 5.,定義1.3,計算排列逆序數(shù)的方法,方法1: 左 右 對每個元素，

5、分別計算出排在后面比它小的元素的個數(shù)，即分別算出這個元素的向后逆序數(shù),所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).,3 2 5 1 4,方法2: 右 左 對每個元素，分別計算出排在前面比它大的元素的個數(shù)，即分別算出這個元素的向前逆序數(shù),所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).,3 2 5 1 4,特別地，在 n 級排列 中，各個數(shù)是按照由小到大的自然數(shù)順序排列的，此排列稱為n元自然序排列。由于其中任何一個數(shù)對都不構(gòu)成逆序，所以,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,排列的奇偶性,例6 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,此排列為偶排列.,解,當 時為偶

6、排列；,當 時為奇排列.,例如:,證明:,分兩種情形證明.,情形1. 對換兩個相鄰的數(shù)設(shè)某一n級排列為,定理1.1,任一排列經(jīng)過一次對換后，改變其奇偶性,經(jīng)過對換,得到的新排列為,定義1.4,因為在兩個排列中，除了,改變了順序以外，其他,數(shù)的順序保持不變，所以，當,時，新排列比原,排列增加了一個逆序；當,時，新排列比原排列,減少了一個逆序故原排列和新排列的奇偶性相反，,即對換排列中相鄰的兩個數(shù)，排列的奇偶性改變,情形2.,設(shè)對換的兩個數(shù),之間還有s個數(shù),即原排列為,，經(jīng)過對換,后得新,排列,，實際上是先把,依次與,作,次相鄰數(shù)的對換，先化為,再把數(shù),依次與數(shù),作s次相鄰數(shù)的對換，,就得到我們的新排列，原排列共經(jīng)過(2s+1)次相鄰數(shù),的對換得到新排列，所以對換,改變排列的奇偶性,2 排列具有奇偶性.,3 計算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種.,1