1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù),基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的 ；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為 、 和 . (2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 s . (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與 重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.,1.角的概念,知識(shí)梳理,一條射線,圖形,正角,負(fù)角,零角,|k360，kz,原點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸,(1)定義：把長(zhǎng)度等于 長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫

2、做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè) ，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè) ，零角的弧度數(shù)是 .,2.弧度制,半徑,正數(shù),負(fù)數(shù),0,(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .,(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l ，扇形的面積公式：s .,|r,任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p(x，y)時(shí)，sin ，cos ，tan (x0). 三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：,3.任意角的三角函數(shù),y,x,r,r,如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p，過(guò)p作pmx軸，垂足為m，過(guò)a(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)t.,4.三角函數(shù)線,mp,om,at,幾何畫板展示,

3、1.三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)p(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)o的距離為r，則,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.() (2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān).() (3)不相等的角終邊一定不相同.() (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.() (5)若(0， )，則tan sin .() (6)若為第一象限角，則sin cos 1.(),1.角870的終邊所在的象限是 a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限

4、 d.第四象限,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,由8701 080210，知870角和210角終邊相同，在第三象限.,2.(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為m( ，y)，則sin 等于,答案,解析,答案,解析,4.已知在半徑為120 mm的圓上，有一段弧長(zhǎng)是144 mm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為_rad.,答案,解析,1.2,5.函數(shù)y 的定義域?yàn)開.,答案,解析,由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).,幾何畫板展示,題型分類深度剖析,題型一角及其表示,例1(1)若k18045(kz)，則在 a.第一或第三象限 b.第一或第二象限 c.第二或第四象限 d.第三或第四象限,答案,

5、解析,當(dāng)k2n(nz)時(shí)，2n18045n36045，為第一象限角； 當(dāng)k2n1 (nz)時(shí)，(2n1)18045n360225，為第三象限角. 所以為第一或第三象限角.故選a.,(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角 用集合可表示為_.,答案,解析,思維升華,(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角. (2)利用終邊相同的角的集合s|2k，kz判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限.,跟蹤訓(xùn)練1(1)終邊在直線

6、y 上的角的集合是_.,答案,解析,答案,解析,3,題型二弧度制,例2(1)(2016成都模擬)若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是_.,答案,解析,設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，,(2)已知扇形的圓心角是，半徑是r，弧長(zhǎng)為l. 若100，r2，求扇形的面積；,解答,由題意知l2r20，即l202r，,若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù).,解答,當(dāng)r5時(shí)，s的最大值為25.,即扇形面積的最大值為25，此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad.,思維升華,應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法 (1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必

7、須是弧度. (2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決. (3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.,跟蹤訓(xùn)練2(1)將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是,答案,解析,將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角，故a、b不正確；,又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角為圓周的 .,(2)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為,答案,解析,如圖，等邊三角形abc是半徑為r的圓o的內(nèi)接三角形，,則線段ab所對(duì)的圓心角aob ，,作omab,垂足為m，,在rtaom中，aor，aom ，,題型三三角

8、函數(shù)的概念,命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用,答案,解析,(2)點(diǎn)p從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng) 弧長(zhǎng)到達(dá)q點(diǎn)，則q點(diǎn)的坐標(biāo)為,答案,解析,由三角函數(shù)定義可知q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足,命題點(diǎn)2三角函數(shù)線,例4函數(shù)ylg(2sin x1) 的定義域?yàn)?_.,答案,解析,如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，,思維升華,(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)p的坐標(biāo). (2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.,跟蹤訓(xùn)練3(1)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin 0.則

9、實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a.(2,3 b.(2,3)c.2,3) d.2,3,答案,cos 0，sin 0， 角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.,解析,(2)滿足cos 的角的集合為_.,答案,解析,作直線x 交單位圓于c、d兩點(diǎn)，,連接oc、od，則oc與od圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，,故滿足條件的角的集合為,典例(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于c(2,1)時(shí)， 的坐標(biāo)為_.,數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用,思想與方法系列6,在坐標(biāo)系中研究角就是一種數(shù)形結(jié)合

10、思想，利用三角函數(shù)線可直觀得到有關(guān)三角函數(shù)的不等式的解集.,(2)(2017合肥調(diào)研)函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域?yàn)開.,(2sin 2,1cos 2),思想方法指導(dǎo),答案,解析,幾何畫板展示,幾何畫板展示,(1)如圖所示，過(guò)圓心c作x軸的垂線，垂足為a，過(guò)p作 x軸的垂線與過(guò)c作y軸的垂線交于點(diǎn)b.,因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧 2，,即圓心角pca2，,所以xp2cb2sin 2，yp1pb1cos 2，,利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，,課時(shí)作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,但是角度制與弧度制不能混用，所

11、以只有答案c正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若是第三象限角，則下列各式中不成立的是 a.sin cos 0 b.tan sin 0 c.cos tan 0 d.tan sin 0,答案,解析,是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0， 則可排除a、c、d，故選b.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2017九江質(zhì)檢)若390角的終邊上有一點(diǎn)p(a,3)，則a的值是,答案,解析,5.給出

12、下列各函數(shù)值： sin(1 000)；cos(2 200)；tan(10)； 其中符號(hào)為負(fù)的是 a. b.c. d.,答案,解析,sin(1 000)sin 800； cos(2 200)cos(40)cos 400； tan(10)tan(310)0；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.1 b.1c.3 d.3,答案,解析,由2k (kz)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，,又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角， 所以sin 0，tan 0. 所以y1111.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9

13、,10,11,12,13,7.在直角坐標(biāo)系中，o是原點(diǎn)，a( ，1)，將點(diǎn)a繞o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到b點(diǎn)，則b點(diǎn)坐標(biāo)為_.,答案,解析,依題意知oaob2，aox30，box120， 設(shè)點(diǎn)b坐標(biāo)為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，,二,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由是第三象限角，知 為第二或第四象限角，,綜上知 為第二象限角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x成立的x的取值范圍為_.,答案,解析,如圖所示，

14、找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，,根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角,11.一個(gè)扇形oab的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)ab.,解答,設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，,如圖，過(guò)o作ohab于h，則aoh1 rad. ah1sin 1sin 1(cm)，ab2sin 1(cm). 圓心角的弧度數(shù)為2 rad，弦長(zhǎng)ab為2sin 1 cm.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知角終邊上一點(diǎn)p，p到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比為34，且sin 0，求cos 2tan 的值.,解答,又sin 0，的終邊只可能在第三、第四象限.,若點(diǎn)p位于第三象限，可設(shè)p(4k，3k)(k0)，,1,2,3,4