1、12.2直接證明與間接證明,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.直接證明 (1)綜合法 定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.,知識(shí)梳理,已知條件,思維過程：由因?qū)Ч?,(2)分析法 定義：從 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,思維過程：執(zhí)果索因.,問題的結(jié)論,2.間接證明 反證法：要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題). 這個(gè)過程包括下面3個(gè)步驟： (1)

2、反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； (2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.() (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”.() (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.() (5)在解決問題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),考點(diǎn)自測(cè),1.(2016揚(yáng)州質(zhì)檢)已知點(diǎn)an(n，

3、an)為函數(shù)y 圖象上的點(diǎn)，bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nn*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_.,答案,解析,cn1cn,由條件得,則cn隨n的增大而減小，cn1cn.,2.用反證法證明命題：“a，bn，若ab不能被5整除，則a與b都不能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_.,答案,解析,a，b至少有一個(gè)能被5整除,“都不能”的否定為“至少有一個(gè)能”， 故假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為“a，b至少有一個(gè)能被5整除”.,3.要證a2b21a2b20只要證明_(填正確的序號(hào)). 2ab1a2b20；,答案,解析,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，b0且ab,5.

4、(2016鹽城模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的任意x1，x2，xn，有 f( )，已知函數(shù)ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則在abc中，sin asin bsin c的最大值為_.,答案,解析,f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且a，b，c(0，).,題型分類深度剖析,題型一綜合法的應(yīng)用,證明,解答,(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練

5、1 若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：,證明,a，b，c(0，)，,由于a，b，c是不全相等的正數(shù)， 上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，,題型二分析法的應(yīng)用,證明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2， 即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2， 即證cos(x1x2)1.,證明,由于x1，x2r時(shí)，,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 (2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩

6、頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證,思維升華,請(qǐng)你根據(jù)上述特點(diǎn)，提煉出一個(gè)一般性命題(寫出已知，求證)，并用分析法加以證明,解答,只需證a(bm)b(am)，只需證ambm，,只需證ab，由已知得ab成立，,題型三反證法的應(yīng)用,命題點(diǎn)1證明否定性命題,例3(2016連云港模擬)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；,解答,設(shè)an的前n項(xiàng)和為sn， 當(dāng)q1時(shí)，sna1a1a1na1； 當(dāng)q1時(shí)，sna1a1qa1q2a1qn1， qsna1qa1q2a1qn， 得，(1q)sna1a1qn，,(2

7、)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列.,證明,假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kn*， (ak11)2(ak1)(ak21)，,a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，這與已知矛盾. 假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列.,命題點(diǎn)2證明存在性問題 例4已知四棱錐sabcd中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又sbsd ，sa1. (1)求證：sa平面abcd；,證明,由已知得sa2ad2sd2，saad. 同理saab. 又abada，ab平面abcd，ad平面abcd， sa平面abcd.,(2)在棱sc上是否存在異于s，c的點(diǎn)f，使得bf平面sad？若存在，確定f點(diǎn)的位置；若不存在

8、，請(qǐng)說明理由.,解答,假設(shè)在棱sc上存在異于s，c的點(diǎn)f，使得bf平面sad.,bcad，bc平面sad. bc平面sad.而bcbfb， 平面fbc平面sad. 這與平面sbc和平面sad有公共點(diǎn)s矛盾， 假設(shè)不成立. 不存在這樣的點(diǎn)f，使得bf平面sad.,命題點(diǎn)3證明唯一性命題 例5已知a0，證明關(guān)于x的方程axb有且只有一個(gè)根.,證明,假設(shè)x1，x2是它的兩個(gè)不同的根， 即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因?yàn)閤1x2，所以x1x20， 所以a0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤. 所以當(dāng)a0時(shí)，方程axb有且只有一個(gè)根.,應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有以下幾個(gè)步驟 第一步：分清

9、命題“pq”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真. 所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實(shí)矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且00.,證明,f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2， f(c)0，x1c是f(x)0的根，,

10、(2)試用反證法證明 c.,證明,典例(14分)直線ykxm(m0)與橢圓w： y21相交于a、c兩點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn) (1)當(dāng)點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形oabc為菱形時(shí)，求ac的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)b在w上且不是w的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形oabc不可能為菱形,反證法在證明題中的應(yīng)用,思想與方法系列22,思想方法指導(dǎo),規(guī)范解答,在證明否定性問題，存在性問題，唯一性問題時(shí)?？紤]用反證法證明，應(yīng)用反證法需注意： (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的 (2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而

11、反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法 (3)利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去,返回,(1)解因?yàn)樗倪呅蝟abc為菱形， 則ac與ob相互垂直平分 由于o(0,0)，b(0,1)，,(2)證明假設(shè)四邊形oabc為菱形， 因?yàn)辄c(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)，且acob，所以k0.,消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.7分 設(shè)a(x1，y1)，c(x2，y2)，則,因?yàn)閙為ac和ob的交點(diǎn)，且m0，k0，,所以oabc不是菱形，與假設(shè)矛盾 所以當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形oabc不可能是菱形 14分,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2017泰州月考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2axb0至少

12、有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是_,答案,解析,因?yàn)椤胺匠蘹2axb0至少有一個(gè)實(shí)根” 等價(jià)于“方程x2axb0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”， 所以該命題的否定是“方程x2axb0沒有實(shí)根”,方程x2axb0沒有實(shí)根,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若一元二次不等式2kx2kx 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為_.,(3,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,答案,解析,都大于2 至少有一個(gè)大于2 至少有一個(gè)不小于2 至少有一個(gè)不大于2,當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立 所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，正確,1,2,3,4,5,6,7,

13、8,9,10,11,12,13,答案,解析,p2q2，pq.,pq,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016蘇州模擬)下列條件： ab0，ab0，b0，a0，b0，其中能使 成立的條件的序號(hào)是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是_. 假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)； 假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)； 假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)； 假設(shè)

14、a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù).,“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”，故正確.,答案,解析,7.(2016全國(guó)甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.,1和3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，又甲說“我與乙的卡片上

15、相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內(nèi)至少,答案,解析,存在一點(diǎn)c，使f(c)0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.,若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因?yàn)閙0，所以1m0. 所以要證原不等式成立， 只需證(amb)2(1m)(a2mb2)， 即證m(a22abb2)0， 即證(ab)20，而(ab)20顯然成立， 故原不等式得證.,10

16、.設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：f(x )為偶函數(shù).,證明,由函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)ax (a1). (1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,任取x1，x2(1，)， 不妨設(shè)x10. a1， 且 0， 又x110，x210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)f(x)1xx2；,所以f(x)1xx2.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8