1、8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),公理1：如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2：過 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們 過該點(diǎn)的公共直線. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相 .,1.四個(gè)公理,知識梳理,兩點(diǎn),不在一條直線上,有且只有一條,平行,定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)o作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 范圍： .,(1)位置關(guān)系的分類,2.直線與直線的位置關(guān)系,共面直線,直線,直

2、線,異面直線：不同在 一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn),相交,平行,任何,(2)異面直線所成的角,銳角(或直角),3.直線與平面的位置關(guān)系有 、 、 三種情況. 4.平面與平面的位置關(guān)系有 、 兩種情況. 5.等角定理 空間中如果兩個(gè)角的 ，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).,兩邊分別對應(yīng)平行,平行,相交,直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與,平面平行,1.唯一性定理 (1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行. (2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直. (3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行. (4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直. 2.異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的

3、直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.,判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊? (1)如果兩個(gè)不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.() (2)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)a，就說，相交于過a點(diǎn)的任意一條直線.() (3)兩個(gè)平面abc與dbc相交于線段bc.() (4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.() (5)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(),1.下列命題正確的個(gè)數(shù)為 梯形可以確定一個(gè)平面； 若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合. a.0 b.1 c.2

4、 d.3,考點(diǎn)自測,答案,解析,2.(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則 a.ml b.mn c.nl d.mn,答案,解析,3.(2017合肥質(zhì)檢)已知l，m，n為不同的直線，為不同的平面，則下列判斷正確的是 a.若m，n，則mn b.若m，n，則mn c.若l，m，m，則ml d.若m，n，lm，ln，則l,答案,解析,4.(教材改編)如圖所示，已知在長方體abcdefgh中，ab2 ，ad2 ，ae2，則bc和eg所成角的大小是_，ae和bg所成角的大小是_.,答案,解析,45,60,bc與eg所成的角等于eg與fg所成的角即egf， tanegf

5、1，,egf45，,gbf60.,5.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且abcd，則直線ef與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_.,答案,解析,4,題型分類深度剖析,題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用,例1(1)(2016山東)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件,答案,解析,(2)已知空間四邊形abcd(如圖所示)，e、f分別是ab、ad的中點(diǎn)，g、h分別是bc、cd上的點(diǎn)，且cg bc，ch dc.求證： e、f、g、h四點(diǎn)共面；,證明,幾何畫板展

6、示,三直線fh、eg、ac共點(diǎn).,證明,思維升華,共面、共線、共點(diǎn)問題的證明 (1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合. (2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上. (3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).,跟蹤訓(xùn)練1如圖，平面abef平面abcd，四邊形abef與四邊形abcd都是直角梯形，badfab90，bcad且bc ad，beaf且be

7、 af，g、h分別為fa、fd的中點(diǎn). (1)證明：四邊形bchg是平行四邊形；,證明,由已知fgga，fhhd，,四邊形bchg為平行四邊形.,(2)c、d、f、e四點(diǎn)是否共面？為什么？,解答,題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系,例2(1)(2015廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是 a.l與l1，l2都不相交 b.l與l1，l2都相交 c.l至多與l1，l2中的一條相交 d.l至少與l1，l2中的一條相交,答案,解析,(2)如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是,答案,解

8、析,a.mn與cc1垂直 b.mn與ac垂直 c.mn與bd平行 d.mn與a1b1平行,幾何畫板展示,連接b1c，b1d1，如圖所示， 則點(diǎn)m是b1c的中點(diǎn)，mn是b1cd1的中位線，mnb1d1， 又bdb1d1，mnbd. cc1b1d1，acb1d1， mncc1，mnac. 又a1b1與b1d1相交， mn與a1b1不平行，故選d.,(3)在圖中，g、n、m、h分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線gh、mn是異面直線的圖形有_.(填上所有正確答案的序號),答案,解析,圖中，直線ghmn； 圖中，g、h、n三點(diǎn)共面，但m面ghn， 因此直線gh與m

9、n異面； 圖中，連接mg，gmhn，因此gh與mn共面； 圖中，g、m、n共面，但h面gmn， 因此gh與mn異面. 所以圖中g(shù)h與mn異面.,思維升華,空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個(gè)數(shù)為,答案,解析,a.0 b.1 c.2 d.3,(2)(2016南昌一模)已知

10、a、b、c是相異直線，、是相異平面，則下列命題中正確的是 a.a與b異面，b與c異面a與c異面 b.a與b相交，b與c相交a與c相交 c.， d.a，b，與相交a與b相交,答案,解析,如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但aca，故a錯(cuò)誤； 在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故b錯(cuò)誤； 如圖(3)，c，ac，則a與b不相交，故d錯(cuò)誤.,題型三求兩條異面直線所成的角,例3(2016重慶模擬)如圖，四邊形abcd和adpq均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線ap與bd所成的角為_.,答案,解析,引申探究,在本例條

11、件下，若e，f，m分別是ab，bc，pq的中點(diǎn)，異面直線em與af所成的角為，求cos 的值,解答,設(shè)n為bf的中點(diǎn)，連接en，mn， 則men是異面直線em與af所成的角或其補(bǔ)角. 不妨設(shè)正方形abcd和adpq的邊長為4，,在men中，由余弦定理得,思維升華,用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.,跟蹤訓(xùn)練3已知正四面體abcd中，e是ab的中點(diǎn)，則異面直線ce與bd所成

12、角的余弦值為,答案,解析,畫出正四面體abcd的直觀圖，如圖所示. 設(shè)其棱長為2，取ad的中點(diǎn)f， 連接ef， 設(shè)ef的中點(diǎn)為o，連接co， 則efbd， 則fec就是異面直線ce與bd所成的角. abc為等邊三角形， 則ceab，,故cecf. 因?yàn)閛eof，所以coef.,典例已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題： 若m，n，mn，則； 若m，n，mn，則； 若m，n，mn，則； 若m，n，則mn. 其中所有正確的命題是_.,構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系,思想與方法系列16,答案,解析,思想方法指導(dǎo),本題可通過構(gòu)造模型法完成，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀

13、模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷.,返回,借助于長方體模型來解決本題，對于，可以得到平面、互相垂直，如圖(1)所示，故正確； 對于，平面、可能垂直，如圖(2)所示，故不正確； 對于，平面、可能垂直，如圖(3)所示，故不正確； 對于，由m，可得m，因?yàn)閚，所以過n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙g，所以mn，故正確.,返回,課時(shí)作業(yè),1.設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，a，b，則“”是“ab”的 a.充分不必要條件 b.必

14、要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016福州質(zhì)檢)在三棱柱abca1b1c1中，e、f分別為棱aa1、cc1的中點(diǎn)，則在空間中與直線a1b1、ef、bc都相交的直線 a.不存在 b.有且只有兩條 c.有且只有三條 d.有無數(shù)條,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在ef上任意取一點(diǎn)m，直線a1b1與m確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與bc有且僅有1個(gè)交點(diǎn)n，當(dāng)m的位置不同時(shí)確定不同的平面，從而與bc有不同的交點(diǎn)

15、n，而直線mn與a1b1、ef、bc分別有交點(diǎn)p、m、n，如圖，故有無數(shù)條直線與直線a1b1、ef、bc都相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.對于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l a.平行 b.相交 c.垂直 d.互為異面直線,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.在四面體abcd的棱ab，bc，cd，da上分別取e，f，g，h四點(diǎn)，如果ef與hg交于點(diǎn)m，則 a.m一定在直線ac上 b.m一定在直線bd上 c.m可能在ac上，也可能在bd上 d.m既不在ac上，也不在bd上,答案,解析,1,2,3,4,

16、5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.四棱錐pabcd的所有側(cè)棱長都為 ，底面abcd是邊長為2的正方形，則cd與pa所成角的余弦值為,答案,解析,因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，故cdab，則cd與pa所成的角即為ab與pa所成的角，即為pab.,利用余弦定理可知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.下列命題中，正確的是 a.若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異面 直線 b.若a，b是兩條直線，且ab，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面 c.若直線a與平面不平行，則此直線與平面內(nèi)的

17、所有直線都不平行 d.若直線a平面，點(diǎn)p，則平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)p且與直線a平行的直 線有且只有一條,答案,解析,對于a，當(dāng)，a，b分別為第三個(gè)平面與，的交線時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可知ab，故a錯(cuò)誤. 對于b，設(shè)a，b確定的平面為，顯然a，故b錯(cuò)誤. 對于c，當(dāng)a時(shí)，直線a與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故c錯(cuò)誤. 易知d正確.故選d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016南昌高三期末)如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，底面為直角三角形.acb90，ac6，bccc1 ，p是bc1上一動(dòng)點(diǎn)，則cppa1的最

18、小值為_.,答案,解析,連接a1b，將a1bc1與cbc1同時(shí)展平形成一個(gè)平面四邊形a1bcc1，則此時(shí)對角線cppa1a1c達(dá)到最小，在等腰直角三角形bcc1中，bc12，cc1b45，在a1bc1中，a1b 2 ，a1c16，bc12，,a1c bca1b2，即a1c1b90.,對于展開形成的四邊形a1bcc1，在a1c1c中，c1c ，a1c16，a1c1c135，由余弦定理有，cppa1a1c 5 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，g、h、m、n

19、分別為de、be、ef、ec的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中， gh與ef平行； bd與mn為異面直線； gh與mn成60角； de與mn垂直. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是_.,答案,解析,把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，gh與ef為異面直線，bd與mn為異面直線，gh與mn成60角，demn.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015浙江)如圖，三棱錐a-bcd中，abacbdcd3，adbc2，點(diǎn)m，n分別是ad，bc的中點(diǎn)，則異面直線an，cm所成的角的余弦值是 _.,答案,解析,如圖所示，

20、連接dn，取線段dn的中點(diǎn)k，連接mk，ck. m為ad的中點(diǎn)， mkan， kmc為異面直線an，cm所成的角. abacbdcd3，adbc2， n為bc的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在ckm中，由余弦定理，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2017鄭州質(zhì)檢)如圖，矩形abcd中，ab2ad，e為邊ab的中點(diǎn)，將ade沿直線de翻折成a1de.若m為線段a1c的中點(diǎn)，則在ade翻折過程中，下面四個(gè)命題中不正確的是_.,答案,解析,bm是定值； 點(diǎn)m在某

21、個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)； 存在某個(gè)位置，使dea1c； 存在某個(gè)位置，使mb平面a1de.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取dc中點(diǎn)f，連接mf，bf，mfa1d且mf a1d，fbed且fbed，所以mfba1de.由余弦定理可得mb2mf2fb22mffbcosmfb是定值，所以m是在以b為圓心，mb為半徑的球上，可得正確；,由mfa1d與fbed可得平面mbf平面a1de，可得正確； a1c在平面abcd中的投影與ac重合，ac與de不垂直，可得不正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，o為正方形abcd的中心，h為直線b1d與平面acd1的交點(diǎn). 求證：d1、h、o三點(diǎn)共線.,證明,如圖，連接bd，b1d1， 則bdaco， bb1綊dd1， 四邊形bb1d1d為平行四邊形，又hb1d， b1d平面bb1d1d， 則h平面bb1d1d， 平面acd1平面bb1d1dod1，hod1. 即d1、h、o三點(diǎn)共線.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1