1、9.6雙曲線,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.雙曲線定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的 等于常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做. 集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0. (1)當(dāng) 時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是雙曲線； (2)當(dāng) 時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是兩條射線； (3)當(dāng) 時(shí)，p點(diǎn)不存在.,知識(shí)梳理,距離的差的絕對(duì)值,雙曲線的焦點(diǎn),雙曲線的焦距,2a|f1f2|,2a|f1f2|,2a|f1f2|,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),xa或xa，yr,xr，ya或ya,坐標(biāo)軸,原點(diǎn),

2、(1，),2a,2b,a2b2,巧設(shè)雙曲線方程,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.() (2)方程 (mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(),1.(教材改編)若雙曲線 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等軸雙曲線c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，c與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于a，b兩點(diǎn)，|ab|4 ，則c的實(shí)軸長(zhǎng)為,答案,解析,拋物線y216x的準(zhǔn)線為x4，,a2，2a4.c的實(shí)軸長(zhǎng)為4.,

3、3.(2015安徽)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y2x的是,答案,解析,由雙曲線性質(zhì)知a、b項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意； c、d項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但d項(xiàng)漸近線為y x，只有c符合，故選c.,答案,解析,答案,解析,雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，,題型分類深度剖析,例1已知圓c1：(x3)2y21和圓c2：(x3)2y29，動(dòng)圓m同時(shí) 與圓c1及圓c2相外切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為_(kāi).,題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,命題點(diǎn)1利用定義求軌跡方程,答 案,解析,幾何畫(huà)板展示,如圖所示，設(shè)動(dòng)圓m與圓c1及圓c2分別外切于a和b. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|mc1|ac1|m

4、a|， |mc2|bc2|mb|， 因?yàn)閨ma|mb|， 所以|mc1|ac1|mc2|bc2|， 即|mc2|mc1|bc2|ac1|2， 所以點(diǎn)m到兩定點(diǎn)c1、c2的距離的差是常數(shù)且小于|c1c2|6.,又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)m與c2的距離大，與c1的距離小)， 其中a1，c3，則b28.,命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程,解答,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,b6，c10，a8.,(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(0,12)；,解答,雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(0,12)，m(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,設(shè)雙曲線

5、方程為mx2ny21(mn0).,解答,命題點(diǎn)3利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,例3已知f1，f2為雙曲線c：x2y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在c上，|pf1|2|pf2|，則cos f1pf2_.,答案,解析,由雙曲線的定義有|pf1|pf2|,引申探究,1.本例中將條件“|pf1|2|pf2|”改為“f1pf260”，則f1pf2的面積是多少？,解答,不妨設(shè)點(diǎn)p在雙曲線的右支上， 則|pf1|pf2|2a2 ，,在f1pf2中，由余弦定理，得,不妨設(shè)點(diǎn)p在雙曲線的右支上，則|pf1|pf2|2a2 ，,解答,所以在f1pf2中，有|pf1|2|pf2|2|f1f2|2， 即|pf1|2|pf2|2

6、16， 所以|pf1|pf2|4，,思維升華,(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程； (2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|pf1|pf2|的聯(lián)系. (3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過(guò)程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可.,跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知f1，f2為雙曲線 的左，右焦點(diǎn)，p(3,1)

7、為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)a在雙曲線上，則|ap|af2|的最小值為,答案,解析,幾何畫(huà)板展示,由題意知，|ap|af2|ap|af1|2a， 要求|ap|af2|的最小值，只需求|ap|af1|的最小值， 當(dāng)a，p，f1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，,答案,解析,不妨設(shè)p為雙曲線右支上一點(diǎn)，|pf1|r1，|pf2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，,題型二雙曲線的幾何性質(zhì),答案,解析,a.mn且e1e21 b.mn且e1e21 c.mn且e1e21 d.mn且e1e21,由題意可得m21n21，即m2n22， 又m0，n0，故mn.,(2)(2015山東)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線c1： (

8、a0，b0)的漸近線與拋物線c2：x22py(p0)交于點(diǎn)o，a，b.若oab的垂心為c2的焦點(diǎn)，則c1的離心率為_(kāi).,答案,解析,oab的垂心為f，afob，kafkob1，,思維升華,答案,解析,題型三直線與雙曲線的綜合問(wèn)題,例5(2016蘭州模擬)已知橢圓c1的方程為 y21，雙曲線c2的左，右焦點(diǎn)分別是c1的左，右頂點(diǎn)，而c2的左，右頂點(diǎn)分別是c1的左，右焦點(diǎn). (1)求雙曲線c2的方程；,解答,則a2413，c24， 再由a2b2c2，得b21.,解答,由直線l與雙曲線c2交于不同的兩點(diǎn)，得,設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，,思維升華,(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法：

9、將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式來(lái)判定. (2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題，但需要檢驗(yàn).,跟蹤訓(xùn)練3若雙曲線e： y21(a0)的離心率等于 ，直線ykx1與雙曲線e的右支交于a，b兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍；,解答,故雙曲線e的方程為x2y21. 設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，,得(1k2)x22kx20.(*) 直線與雙曲線右支交于a，b兩點(diǎn)，,解析,整理得28k455k2250，k2 或k2 ，,x1x24 ，y1y2k(x

10、1x2)28.,點(diǎn)c是雙曲線上一點(diǎn).,直線與圓錐曲線的交點(diǎn),現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列12,(1)“點(diǎn)差法”解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，要考慮變形的條件. (2)“判別式0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的通用方法.,錯(cuò)解展示,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,典例已知雙曲線x2 1，過(guò)點(diǎn)p(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，且點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn)？,返回,解設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)在雙曲線上，且線段ab的中點(diǎn)為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意. 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p的直線l的方程為y1k(x1)， 即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).,

11、當(dāng)k2時(shí)，方程可化為2x24x30. 162480，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 不能作一條直線l與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，且點(diǎn)p(1,1)是線段ab的中點(diǎn).,返回,課時(shí)作業(yè),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故選a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

12、13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由題意易知點(diǎn)f的坐標(biāo)為(c,0)，a(c， )，b(c， )，e(a,0)，,abe是銳角三角形，,整理得3e22ee4，e(e33e31)1， e(1,2)，故選b.,1,2,3,4,5,6,7,

13、8,9,10,11,12,13,7.(2016北京)已知雙曲線 (a0，b0)的一條漸近線為2xy0，一個(gè)焦點(diǎn)為( ，0)，則a_；b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,由2xy0，得y2x，,解得a1，b2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016浙江)設(shè)雙曲線x2 1的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，若點(diǎn)p在雙曲線上，且f1pf2為銳角三角形，則|pf1|pf2|的取值范圍是_.,答案,解析,如圖，由已知可得a1，b ，c2，從而|f1f2|4，由對(duì)稱性不妨設(shè)p在右支上， 設(shè)|pf2|m， 則|pf1|m2a

14、m2， 由于pf1f2為銳角三角形，,解得1 m3，又|pf1|pf2|2m2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知雙曲線 (a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且|pf1|4|pf2|，則此雙曲線的離心率e的最大值 為_(kāi).,答案,解析,要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值，,由定義，知|pf1|pf2|2a. 又|pf1|4|pf2|，,在pf1f2中，由余弦定理，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

15、0,11,12,13,10.(2015課標(biāo)全國(guó))已知f是雙曲線c：x2 1的右焦點(diǎn)，p是c的左支上一點(diǎn)，a(0,6 ).當(dāng)apf的周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi).,答案,解析,設(shè)左焦點(diǎn)為f1，|pf|pf1|2a2， |pf|2|pf1|，apf的周長(zhǎng)為|af|ap|pf|af|ap|2|pf1|，apf周長(zhǎng)最小即為|ap|pf1|最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)f1，f2，且|f1f2|2 ，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為37. (1)求這兩曲線方程；,1,2,3,4,5,6,7

16、,8,9,10,11,12,13,解答,由已知c ，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)分別為a，b， 雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)分別為m，n，,解得a7，m3.b6，n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若p為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosf1pf2的值.,解答,不妨設(shè)f1，f2分別為左，右焦點(diǎn)，p是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)， 則|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6， |pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016湖北部分重點(diǎn)中學(xué)

17、第一次聯(lián)考)在面積為9的abc中， 現(xiàn)建立以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以bac的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 . (1)求ab，ac所在直線的方程；,解答,設(shè)cax，則由tanbactan 2,得tan 2，ac所在直線方程為y2x， ab所在直線方程為y2x.,(2)求以ab，ac所在直線為漸近線且過(guò)點(diǎn)d的雙曲線的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)所求雙曲線的方程為4x2y2(0)， c(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，x20).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2x1x29，代入，,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,(3)過(guò)d分別作ab，ac所在直線的垂線df，de(e，f為垂足)，求 的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,c2，c2a2b2， 4a23a2，a21，b23，,(2)設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)f2的直線l的一個(gè)法向量為(m,1)，當(dāng)直線l與雙曲線c的右支交于不同的兩點(diǎn)a，b時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明ab中點(diǎn)m在曲線3(x1)2y23上；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,l：m(x2)y0，,得(3m2)x24m2x4m230. 由0，得4m4(3m2)(4m23)0， 12m293m20，即m210恒成立. 設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,m在曲線3(x1)2y23上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,