1、2.3函數(shù)的奇偶性與周期性,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念,知識(shí)梳理,圖像關(guān)于 對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù). 圖像關(guān)于 對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù).,原點(diǎn),y軸,判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是 (1)考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. (2)考察表達(dá)式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x) ，則f(x)為奇函數(shù)； 若f(x) ，則f(x)為偶函數(shù)； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù).,2

2、.判斷函數(shù)的奇偶性,f(x),f(x),(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 ，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱t為這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) 的正數(shù)，那么這個(gè) 就叫作f(x)的最小正周期.,3.周期性,f(xt)f(x),最小正數(shù),最小,1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|). (2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (3)在公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.,2.

3、函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(xa)f(x)，則t2a(a0).,(2)若f(xa) ，則t2a(a0).,(3)若f(xa) ，則t2a(a0).,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過原點(diǎn).() (2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱.() (3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù).() (4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.() (5)若t是函數(shù)的一個(gè)周期，則nt(nz，n0)也是函數(shù)的周期.(

4、),1.(教材改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 a.f(x)x1b.f(x)x2x c.f(x)2x2xd.f(x)2x2x,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,d中，f(x)2x2xf(x)， f(x)為偶函數(shù).,2.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2 ，則f(1)等于 a.2 b.0 c.1 d.2,答案,解析,f(1)f(1)(11)2.,3.已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為 a.1 b.0 c.1 d.2,答案,解析,f(x)為定義在r上的奇函數(shù)， f(0)0， 又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.,4.(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在r上的

5、奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)_.,答案,解析,x(1x),當(dāng)x0，f(x)(x)(1x). 又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)(1x)， f(x)x(1x).,5.(2016四川)若函數(shù)f(x)是定義在r上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)4x，則 f(2)_.,答案,解析,2,f(x)為定義在r上的奇函數(shù)，f(0)0， 又0x1時(shí)，f(x)4x，,f( ) 2，,題型分類深度剖析,題型一判斷函數(shù)的奇偶性,例1(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是,答案,解析,選項(xiàng)a中的函數(shù)是偶函數(shù)； 選項(xiàng)b中的函數(shù)是奇函數(shù)； 選項(xiàng)c中的函數(shù)是偶函數(shù)； 選

6、項(xiàng)d中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).,(2)判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性.,解答,當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x). 對(duì)于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x). 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,思維升華,(1)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：,(2)分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn)，判斷f(x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖像作判斷.,跟蹤訓(xùn)練1(1)(2016北京海淀區(qū)模擬)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 a.y b.ylg|x| c.y(x1)2 d.y2x,答案,解析,選項(xiàng)b中，

7、函數(shù)ylg|x|的定義域?yàn)閤|x0且lg|x|lg|x|， 函數(shù)ylg|x|是偶函數(shù).,(2)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于 a.4 b.3 c.2 d.1,答案,解析,f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)， f(1)g(1)2，f(1)g(1)4， f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，得g(1)3.,題型二函數(shù)的周期性,例2(1)(2016寶雞模擬)已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，g(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 017)f(2 019)的值為 a.1 b.1 c.0 d.無法計(jì)算,答案,解析,

8、由題意，得g(x)f(x1)， 又f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，g(x)是定義在r上的奇函數(shù)， g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)， f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4， f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)， 又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.,(2)已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，并且f(x2) ，當(dāng)2x3時(shí)，f(x)x，則f(105.5)_.,答案,解析,2.5,由已知，可得f(x4)f (x2)2,故函數(shù)的周期為4. f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5). 22.

9、53，由題意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5.,引申探究,本例(2)中，若將f(x2) 改為f(x2)f(x)，其他條件不變，求f(105.5)的值.,解答,f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 函數(shù)的周期為4(下同例題).,思維升華,函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì).對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值.,跟蹤訓(xùn)練2定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.,答案,解析,339,f(x6)f(x)，t6. 當(dāng)3x1時(shí)，f(x)

10、(x2)2； 當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0， f(5)f(1)1，f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6)1，,又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2， f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.,題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,命題點(diǎn)1解不等式問題,例3(1)(2016沈陽模擬)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是增加的，則滿足f(2x1)f( )的x的取值范圍是,答案,解析,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱， 又f(x)在0，)上是增加的，,f(2x1)f( )，,幾何畫板展示,(2)已知f(x)

11、是定義在r上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5) ， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 a.(1,4) b.(2,0)c.(1,0) d.(1,2),答案,解析,f(x)是定義在r上的周期為3的偶函數(shù)， f(5)f(56)f(1)f(1)，,解得1a4，故選a.,命題點(diǎn)2求參數(shù)問題,例4(1)(2016北京西城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)lg(a )為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.,答案,解析,1,根據(jù)題意得，使得函數(shù)有意義的條件為a 0且1x0，,由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)0. 所以lg(a2)0，即a1， 經(jīng)檢驗(yàn)a1滿足函數(shù)的定義域.,答案,解析,10,因?yàn)閒(x)是定義在r上且周期為2的函數(shù)，,即3a2b2.

12、 ,即b2a. 由得a2，b4，從而a3b10.,思維升華,(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題. (2)掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便： f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|).若奇函數(shù)在x0處有意義，則f(0)0.,跟蹤訓(xùn)練3(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_.,答案,解析,函數(shù)f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，故f(x)f(x)， 即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，,整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，,(2)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞.若f(x2)為偶函數(shù)，

13、且f(1)1，則f(8)f(9)等于 a.2 b.1 c.0 d.1,答案,解析,由f(x2)是偶函數(shù)可得f(x2)f(x2)， 又由f(x)是奇函數(shù)得f(x2)f(x2)， 所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)， 故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，所以f(9)f(81)f(1)1， 又因?yàn)閒(x)是定義在r上的奇函數(shù)， 所以f(0)0，所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1，故選d.,抽象函數(shù)問題,高頻小考點(diǎn)2,抽象函數(shù)問題在高考中也時(shí)常遇到，常常涉及求函數(shù)的定義域，由函數(shù)的周期性求函數(shù)值或判斷函數(shù)的奇偶性等.一般以選擇題或填空題來呈現(xiàn)，有時(shí)在解答題中也有所

14、體現(xiàn).此類題目較為抽象，易失分，應(yīng)引起足夠重視.,考點(diǎn)分析,一、抽象函數(shù)的定義域 典例1已知函數(shù)yf(x)的定義域是0,8，則函數(shù)g(x) 的定義域?yàn)開.,答案,解析,要使函數(shù)有意義，,解得1x3，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,3).,1,3),二、抽象函數(shù)的函數(shù)值,典例2若定義在實(shí)數(shù)集r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)0，f(x2) ，對(duì)任意xr恒成立，則f(2 019)等于 a.4 b.3 c.2 d.1,答案,解析,即函數(shù)f(x)的周期是4， 所以f(2 019)f(50541)f(1). 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)， 所以f(2 019)f(1)f(1).,即f(1)1，所以f(2 019

15、)f(1)1.,三、抽象函數(shù)的單調(diào)性與不等式 典例3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)f(x)f(y).若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,規(guī)范解答,解 因?yàn)閒(xy)f(x)f(y)且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9). 又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9). 再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f9(a1)， 因?yàn)閒(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，,課時(shí)作業(yè),1.(2016石家莊質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上是遞增的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答

16、案,解析,對(duì)于c，ylg x的定義域?yàn)?0，)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016蘭州模擬)已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是,答案,解析,依題意得f(x)f(x)， b0，又a12a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知f(x)在r上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 019)等于 a.2 b.2 c.98 d.98,答案,解析,由f(x4)f(x)知，f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(2 019)f(50443)f(3)， 又f(x4)f

17、(x)，f(3)f(1)， 由1(2,0)得f(1)2， f(2 019)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x) (k為常數(shù))在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，則k的值為 a.1 b.1 c.1 d.0,答案,解析,整理得k21，k1，故選c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x) 則f(f(16)等于,答案,解析,由題意f(16)f(16)log2164，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016江西臨川一中期中)設(shè)定義在r上

18、的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)x24(x0)，則f(x2)0的解集為 a.x|42b.x|04 c.x|x4d.x|4x4,答案,解析,令tx2，則f(t)t240(t0)的解集為(2，). 因?yàn)閒(x)是定義在r上的奇函數(shù)， 所以f(t)0的解集為t|22， 即22，解得04， 即f(x2)0的解集為x|04，故選b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016濟(jì)南模擬)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則f( )_.,答案,解析,因?yàn)閒(x)是周期為2的

19、奇函數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.函數(shù)f(x)在r上為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x) 1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.若函數(shù)f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是單調(diào)遞增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t滿足f(ln t)f(ln )2f(1)，那么t的取值范圍是_.,答案,解析,由于函數(shù)f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，所以f(ln t)f(ln )， 由f(ln t)f(ln )2f(1)，得f(ln t)f(1). 又函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)， 所以|ln t|1，即1l

20、n t1，故 te.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知函數(shù)f(x) 是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值；,解答,設(shè)x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x). 于是x0時(shí)，f(x)x2mxx22x， 所以m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上是增加的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解答,要使f(x)在1，a2上是增加的，,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x. (1)求f()的值；,解答,由f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， f(x)是以4為周期的周期函數(shù). f()f(14)f(4)f(4)(4)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13