1、第四講基本初等函數(shù)（II）一、基礎知識整合（一）三角函數(shù)的概念1任意角(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置_到另一個位置所成的圖形我們規(guī)定：按_方向旋轉形成的角叫做正角，按_方向旋轉形成的角叫做負角如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個_(2)象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的_重合角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角是第一象限角可表示為；是第二象限角可表示為；是第三象限角可表示為；是第四象限角可表示為(3)非象限角如果角的終邊在_上，就認為這個角不屬于任何一個象限終邊在x軸非負半軸上的角的集合可記作|2k，kZ；終邊在x軸非正半軸上的角的集合可記作

2、_；終邊在y軸非負半軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸非正半軸上的角的集合可記作_；終邊在x軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸上的角的集合可記作_；終邊在坐標軸上的角的集合可記作_(4)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一個集合S_.2弧度制(1)把長度等于_的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度_，l是半徑為r的圓的圓心角所對弧的長(2)弧度與角度的換算：360_rad，180_rad，1_rad0.01745rad， 反過來1rad_57.305718.(3)若圓心角用弧度制表示，則弧長公式l_；扇形面積公式S扇_3任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函

3、數(shù)的定義 設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r0)，則sin_，cos_， tan_ (x0)cot(y0)，sec(x0)，csc(y0)三角函數(shù)定義域sincostan(3)三角函數(shù)值在各象限的符號 4三角函數(shù)線如圖，角的終邊與單位圓交于點P.過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1，0)作單位圓的切線，設它與的終邊(當為第一、四象限角時)或其反向延長線(當為第二、三象限角時)相交于點T.根據(jù)三角函數(shù)的定義，有OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單位圓有關的有向線段MP，OM，AT，分別叫做角的、，統(tǒng)稱

4、為三角函數(shù)線5特殊角的三角函數(shù)值角030456090120135150180270360角的弧度數(shù)sincostansin15，sin75，tan152，tan752，由余角公式易求15，75的余弦值和余切值（二）三角函數(shù)同角關系與誘導公式1同角三角函數(shù)的基本關系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個等式：_；(2)同角三角函數(shù)的關系式的基本用途：根據(jù)一個角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡同角的三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2三角函數(shù)的誘導公式(1)誘導公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanxsincostancotcot2(2)誘導公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導公式

5、可概括為：奇變偶不變，符號看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱_“符號看象限”是把當成_時，原三角函數(shù)式中的角所在_原三角函數(shù)值的符號注意：把當成銳角是指不一定是銳角，如sin(360120)sin120，sin(270120)cos120，此時把120當成了銳角來處理“原三角函數(shù)”是指等號左邊的函數(shù)(3)誘導公式的作用：誘導公式可以將任意角的三角函數(shù)轉化為_三角函數(shù)，因此常用于化簡和求值，其一般步驟是：3sincos，sincos，sincos三者之間的關系(sincos)2_；

6、(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_.（三）三角函數(shù)圖象和性質1“五點法”作圖(1)在確定正弦函數(shù)ysinx在0，2上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是，(2)在確定余弦函數(shù)ycosx在0，2上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是，2周期函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有_，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的_3三角函數(shù)的圖象和性質函數(shù)性質ysinxycosxytanx

7、定義域_圖象值域_R對稱性對稱軸：_；對稱中心：_對稱軸：_；對稱中心：_無對稱軸；對稱中心：_最小正周期_單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間_；單調(diào)減區(qū)間_單調(diào)增區(qū)間_；單調(diào)減區(qū)間_單調(diào)增區(qū)間_奇偶性_（四）三角函數(shù)圖象變換1用五點法畫yAsin(x)在一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫yAsin(x)在一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點，如下表所示.xxyAsin(x)0A0A02.圖象變換(0) 路徑：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意義簡諧運動的圖象所對應的函數(shù)解析式y(tǒng)Asin(x)，x0，)，其中A0，0.在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關：A就是這個

8、簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是T，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式f給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù)；x稱為相位；x_時的相位稱為初相【答案】（一）三角函數(shù)的概念1(1)旋轉逆時針順時針零角(2)非負半軸或|2k0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“x(0)”視為一個“整體”；A0(A0)時，所列不等式的方向與ysin x(xR)，ycos x(xR)的單調(diào)區(qū)間對應的不等式方向相同(反)四、強化訓練提高1.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數(shù)

9、是() A. B. C. D. 【答案】A【解析】將表的分針撥慢10分鐘，則分針逆時針轉過60，即分針轉過的角的弧度數(shù)是.2.( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】.故選：C3.若，則（）A B C D【答案】B【解析】由得，則，故選B.4若， 是第三象限的角，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意，因為是第三象限的角，所以，因此5.已知,則（ ） A B C D【答案】A【解析】由題設,則,故,所以 ,與聯(lián)立解之可得,故,應選A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）A BC D【答案】D【解析】由圖象得，所以由 得，故選D.7為了得到函數(shù)，的圖象，只需把函數(shù)

10、，的圖象上所有點 的（ ）A.橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 B.縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變 C.橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變 D.縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變【答案】C【解析】函數(shù)，的圖象橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變得到函數(shù) ，的圖象，選C.8.已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且， 則的值為 （ ） A. B. C. 1 D. 0【答案】C【解析】由題意得， ，則，又，即， 解得，所以，令，即， ， 解得該函數(shù)的對稱軸為，則，即， 所以，故選C.9.先將函數(shù)的圖像縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來一半，再將得到的圖像向左平移個單位， 則所得圖像的對稱軸可以為（ ） A B C

11、D【答案】D【解析】將函數(shù)的圖像縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來一半得，再向左平移個 單位得，令，即， 當時，故選D10.將函數(shù)圖象上的點向左平移（） 個單位長度得到點，若位于函數(shù) 的圖象上，則（ ） A.，的最小值為 B. ，的最小值為 C.，的最小值為 D.，的最小值為【答案】A【解析】由題意得，故此時所對應的點為，此時向左平移個 單位，故選A.11.已知函數(shù)的最小正周期是，將函數(shù)圖象向左平移個單 位長度后所得的函數(shù)圖象過點，則函數(shù)（）（A）在區(qū)間上單調(diào)遞減 （B）在區(qū)間上單調(diào)遞增（C）在區(qū)間上單調(diào)遞減 （D）在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】依題, ，平移后得到的函數(shù)是，其圖象過（0，1），

12、因為，故選B12已知函數(shù)的圖象關于直線對稱且，如果存在實數(shù)， 使得對任意的都有，則的最小值是（ ） A4 B6 C8 D12【答案】C【解析】由題設可知,或,由此可得或,解之得或,故應選B13.函數(shù)的值域是_.【答案】【解析】當在第一象限時， :當在第二象限時， :當在第三象限時， :當在第四象限時， :函數(shù)的值域是.14.已知A是角終邊上一點，且點的坐標為，則_ 【答案】 【解析】由題意，因此15.函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則_，_【答案】，.【解析】由題意得，又， 故填：，.16.函數(shù) 的最大值是_【答案】1【解析】，令， ，此時對稱軸為 的最大值是故答案為：117.已知函數(shù)的圖像與（為常

13、數(shù)）的圖像相交的相鄰兩交點間的距離為，則_【答案】【解析】由題意得18.已知函數(shù)，若存在滿足，且 （， ），則的最小值為_【答案】【解析】 對任意 ，都有 ， 要使 取得最小值，盡可能多讓 取得最高點，考慮 ， ，按下圖取值可滿足條件， 最小值為 ，故答案為 .19.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1），即， 則原式.（2），即， 原式.20.設函數(shù)的最小正周期為，且（1）求和的值；（2）給定坐標系中作出函數(shù)在上的圖像，并結合圖像寫出函數(shù)的單調(diào)遞減 區(qū)間（直接寫出結果即可，不需要敘述過程）；（3）若，求的取值范圍【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)【

14、解析】試題分析：(1)由三角函數(shù)的性質結合題意可得，；(2)結合(1)中函數(shù)的解析式繪制函數(shù)的圖象即可；(3)求解三角不等式可得的取值范圍是試題解析：(1)由已知條件可知故又由得即(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(3)由(1)知令得即得即21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）如何由函數(shù)的通過適當圖象的變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換過程;（3）若，求的值.【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】分析：（1）直接由函數(shù)圖象求得和周期，再由周期公式求得，由五點作圖的第三點求；（2）由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案；（3）由求出，然后把轉化為余弦利用倍角公式得答案試題

15、解析:（1）.（2）法1：先將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的倍，所得圖象即為的圖象.法2：先將的圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，所得圖象即為的圖象.（3）由,得：，而.22.某景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計每 個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）若入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關系可用函數(shù)（，）近似描述，求該函數(shù)解析式；（2）請問哪