1、一、常用公式法 直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法常用的數(shù)列求和公式有： 等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式: 二、錯(cuò)位相減法可以求形如 的數(shù)列的和，其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列.例1：求和： .設(shè) ，其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列，公比為 ，利用錯(cuò)位相減法求和.解： ，兩端同乘以 ，得，兩式相減得 于是 .說(shuō)明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.三、裂項(xiàng)相消法適用于 其中 是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等例2 求數(shù)列1/()的前n項(xiàng)和解：1/()(n1n1) 分母有理化1/()1/()1/()11說(shuō)明：對(duì)于分母是兩二次根式的和

2、，且被開(kāi)方數(shù)是等差數(shù)列，利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從而Sn又因中間項(xiàng)相消而可求。四、分組轉(zhuǎn)化法 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，能分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，則對(duì)拆開(kāi)后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和例3 已知集合Aa|a2n9n4，nN且a2000，求A中元素的個(gè)數(shù)，以及這些元素的和解：由 2101024，2112048知 21091042000 21191042000 A中有10個(gè)元素,記這些元素的和為S10，則(首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列)S102222321091890410(首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列) 2(21

3、01)995402501 說(shuō)明：本題中A是一個(gè)集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒(méi)有順序，所以集合與數(shù)列是不同的，但在求和時(shí)與10個(gè)元素的順序無(wú)關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法求和。五、配對(duì)求和法 對(duì)一些特殊的數(shù)列，若將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，則在數(shù)列求和時(shí)，可考慮把這些項(xiàng)放在一起先配對(duì)求和，然后再求例4, 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式： （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列。（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求。（3）對(duì)（2）中的數(shù)列求和：。（1997年上海高考試題）解:1）略；（2），（提示：）（3） （提示：配對(duì)求和 ）六、數(shù)學(xué)歸納法第一數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題成立； （2）若命題成立

4、； 由（1）（2）可知命題都成立。 簡(jiǎn)單實(shí)例：證明；第二數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題成立； （2）若； 由（1）（2）命題都成立。 應(yīng)用的注意點(diǎn)：（1）兩步缺一不可（2）第二步證明是必須利用歸納假設(shè)； 例5用數(shù)學(xué)歸納法證明： 。 證明：i) 當(dāng)n=2時(shí)，左式=， 右式=， ， ， 即n=2時(shí)，原不等式成立。 ii)假設(shè)n=k(k2, kZ)時(shí)，不等式成立，即 , 則n=k+1時(shí)，左邊= 右邊=，要證左邊右邊， 只要證， 只要證， 只要證 4k2+8k+44k2+8k+3 只要證43。 而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時(shí)，左式右式。 由i), ii)可知，原不等式對(duì)n2，nN均成立。七 .倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和， 可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。例6. 求和解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，將倒序?qū)憺橐陨蟽墒较嗉拥茫喊? 待定系數(shù)法類似等差數(shù)列，如果是關(guān)于的次式，那么它的前項(xiàng)和是關(guān)于