1、, 1.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,水若長流能成河，山以積石方為高,2012年3月19日 數(shù)學組,實際問題,從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？,要回答這個問題，就要用到計數(shù)的兩個基本原理 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,導入新課,問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？,因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：325（種）, 1.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,能,3種

2、2種,2類,從甲地到乙地,3+2=5種,完成這件事情共有多少種不同的方法,每類方案中分別有幾種不同的方法,每類方案中的任一種方法能否獨立完成這件事情,完成這個事情的方法有幾類方案,要做的一件事情是什么,問題剖析,對問題1的分析：,1、分類計數(shù)原理,定義,（加法原理）,做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種 不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法， 在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn 種不同的方法。,有60種取法。,因此取法種數(shù)共有,40+60=100（種）,例1： 兩個袋子里分別裝有40個紅球，60個白球， 從中任取一個球，有多少

3、種求法？,解：取一個球的方法可以分成兩類：,有40種取法；,40個,60個,問題2：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?,解： 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3種方法, 第二步, 由B村去C村有3種方法, 所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 3 2 = 6 種不同的方法。,從A村經(jīng)B村去C村,2步,不能,3種 2種,32=6種,對問題2的分析：,2、分步計數(shù)原理,定義：,做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有 N=

4、m1m2mn 種不同的方法。,（乘法原理）,例2： 兩個袋子里分別裝有40個紅球與60個白球， 從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？,60個,40個,解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步 來完成：,有60種取法；,因此取一個白球和一個紅球的方法共有,60 40=2400（種）,有40種取法。,分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理有什么不同？,分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題，它們的區(qū)別在于： 分類計數(shù)原理與“分類”有關，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事； 分步計數(shù)原理與“分步”有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成,分類加法

5、與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：,例3： 某班級有男三好學生5人,女三好學生4人。 (1)從中任選一人去領獎, 有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？,解: (1) 完成從三好學生中任選一人去領獎這件事,共有2類辦法, 第一類辦法, 從男三好學生中任選一人, 共有 m1 = 5 種 不同的方法; 第二類辦法, 從女三好學生中任選一人, 共有 m2 = 4 種不 同的方法; 所以, 根據(jù)加法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 + 4 = 9 種。,例3： 某班級有男三好學生5人,女三好學生4人。 (1)從中任選一人去領獎, 有多少種不同

6、的選法？ (2) 從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？,解:,(2) 完成從三好學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事, 需分2步完成, 第一步, 選一名男三好學生,有 m1 = 5 種方法; 第二步, 選一名女三好學生,有 m2 = 4 種方法; 所以, 不同選法種數(shù)共有 N = 5 4 = 20 種。,點評: 解題的關鍵是從總體上看這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”，“分類完成”用“加法原理”，“分步完成”用“乘法原理”。,1、書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同 的文藝書，第3層放有2本不同的體育書 （1）從書架上任取1本書，有多少種不

7、同的取法？ （2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？,4+3+2=9（種）,4 3 2=24（種）,2、由數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成多少個四位數(shù)？ （各位上的數(shù)字不重復）,6 5 4 3=360（個）,3、一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個 數(shù)字， 這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？,練習1,有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運用一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”， 綜合應用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理請看下面的例題：,注意,例4： 某城市電話號碼由8位組成，其中從左邊算起的第1

8、位只用 6或8，其余7位可以從前10個自然數(shù)0，1，2，,9中任意 選取，允許數(shù)字重復。試問：該城市最多可裝電話多少門？,1,2,3,4,5,6,7,8,第1類,6,解：裝一門電話需要指定一個 電話號碼，由題意電話號碼可以 分成兩類：,第1類電話號碼第1位用6，,確定其余7位號碼可以分7步完成。,10,10,10,10,10,10,10,因此第一類電話號碼共有,1,2,3,4,5,6,7,8,第2類,8,實際問題,從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路， 問：從甲地到丁地有多少種走法？,1有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本從其

9、中取出不是同一國文字的書2本，問有多少種不同的取法？ 2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 從A,B 中各取1個元素作為點P(x,y) 的坐標 （1）可以得到多少個不同的點？ （2）這些點中，位于第一象限的有幾個？ 3某中學的一幢5層教學樓共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？ 4.集合A=1,2,3,4,B=5,6,7, 從A到B的映射有多少個？,講講練練,979575143,344324,22228,333381,333381,小結(jié),請同學們回答下面的問題 :,1. 本節(jié)課學習了那些主要內(nèi)容？,答: 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理。,2. 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的共同點是什么？不同點什么？,答: 共同點是, 它們都是研究完成一件