1、 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示自主梳理1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，_一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a_.其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_.1不共線(xiàn)有且只有1e12e2基底2夾角（1）已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的_(2)向量夾角的范圍是_，a與b同向時(shí)，夾角_；a與b反向時(shí)，夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_，我們說(shuō)a與b垂直，記作_2.(1)夾角(2)0，0(3)ab3平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_的向量，叫做把向量正交分解3.互相垂直4平面向量的坐標(biāo)表示：在平面

2、直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使axiyj，我們把有序數(shù)對(duì)_叫做向量a的_，記作a_，其中x叫a在_上的坐標(biāo)，y叫a在_上的坐標(biāo)4.(x，y)坐標(biāo)(x，y)x軸y軸設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是_的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，反之亦成立.(O是坐標(biāo)原點(diǎn))終點(diǎn)A(x，y)注意：要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和實(shí)數(shù)，

3、那么ab_，ab_，a_.|a|_.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1) （2）向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).已知A（），B（），則(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的_的坐標(biāo)減去_的坐標(biāo)|_. (2)終點(diǎn)始點(diǎn) 6若a(x1，y1)，b(x2，y2) (b0)，則ab的充要條件是_x1y2x2y10注意：.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.同時(shí)，ab的充要條件也不能錯(cuò)記為x1x2y1y20，

4、x1y1x2y20等.7(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_(kāi)7.(1) (2)點(diǎn)評(píng)：1.基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線(xiàn)，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線(xiàn)性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)

5、.當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化.基礎(chǔ)檢測(cè)1.設(shè)平面向量a(3,5)，b(2,1)，則a2b_.(7,3)2.在ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi).(3，5)3.已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab與b平行，則k_.04.在平面坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0).給出下面的結(jié)論：直線(xiàn)OC與直線(xiàn)BA平行；2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 (C)A.1 B.2 C.3 D.45.若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c等于 (B)A.3ab B.3ab C.a

6、3b D.a3b6若向量a(x,3)(xR)，則“x4”是“|a|5”的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件A由x4知|a|5；由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要條件7設(shè)a，b，且ab，則銳角為 ()A30B45C60D75Bab，sin cos 0，sin 21,290，45.8.已知向量a=(6，-4)，b（0，2），cab，若C點(diǎn)在函數(shù)ysin x的圖象上，則實(shí)數(shù)等于 ()A. B. C DAcab(6，42)，代入ysin x得，42sin 1，解得.9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，則

7、m_.解析ab(1，m1)，由(ab)c，得12(m1)(1)0，所以m1.10.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)，若xy，其中x，yR，則xy的最大值是_. 解析建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A(1,0)，B(cos 120，sin 120)，即B(，)設(shè),則 (cos ，sin )xy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30)0120，3030150.xy有最大值2，當(dāng)60時(shí)取最大值探究點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示，.解方法一

8、設(shè)a，b，則ad，bc.將代入得adadc(2dc)，代入得bc(2dc)(2cd).(2dc)，(2cd).方法二設(shè)a，b.因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd).變式訓(xùn)練1 （1）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(、R)，則的值為_(kāi)解析 如右圖， 在OCD中，COD30，OCDCOB90，可求|4，同理可求|2，4，2，6.（2）在ABC中，DEBC，與邊AC相交于點(diǎn)E，ABC的中線(xiàn)AM與DE相交于點(diǎn)N，如圖，設(shè)a，b，試用a和b表示.解，DEBC，M為BC中點(diǎn)，(ba).探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知

9、A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2) 求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).變式訓(xùn)練2 （1） 已知點(diǎn)A（1，-2），若向量|與a(2,3)同向，|2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)解析向量與a同向，設(shè)(2t,3t) (t0)由|2，4t29t2413.t24.t

10、0，t2.(4,6)設(shè)B為(x，y)，(5,4)（2）已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解如圖所示，設(shè)A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)， D(x，y).(1)若四邊形ABCD1為平行四邊形，則，而(x1，y)，(2，5).由，得D1(3，5).(2)若四邊形ACD2B為平行四邊形，則2.而(4,0)，2(x1，y5).D2(5，5).(3)若四邊形ACBD3為平行四邊形，則3.而3(x1，y)，(2,5)，D3(1,5).綜上所述，平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，5)或(5，5)或(1,5).探究點(diǎn)三在向量平行下求參數(shù)問(wèn)題例3已

11、知平面內(nèi)三個(gè)向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m、n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.(3)若d滿(mǎn)足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)2(5)(2k)0，k.(3)設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)， ab(2,4)，由題意得，解得或，d(3，1)或d(5,3).變式訓(xùn)練3（1）已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.解析ac(3,1)(k,7)

12、(3k，6)，且(ac)b，k5.（2）已知a(1,0)，b(2,1).求|a3b|；當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？解 因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，|a3b|. kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時(shí)kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時(shí)向量a3b與kab方向相反.（3）已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4，5)，t1t2，求點(diǎn)P在第二象限的充要條件.證明：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)；試求當(dāng)t1，t2滿(mǎn)足什么條件時(shí)，O，A，B，P

13、能組成一個(gè)平行四邊形.解t1(1,2)t2(3,3)(t13t2,2t13t2)，P在第二象限的充要條件是有解.t2t13t2且t20. 證明當(dāng)t11時(shí)，有t2，t2，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn).解由(t13t2,2t13t2)，得點(diǎn)P(t13t2,2t13t2)，O，A，B，P能組成一個(gè)平行四邊形有三種情況.當(dāng)，有；當(dāng)，有；當(dāng)，有.點(diǎn)評(píng)：1在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理地選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便在解有關(guān)三角形的問(wèn)題時(shí)，可以不去特意選擇兩個(gè)基本向量，而可以用三邊所在的三個(gè)向量，最后可以根據(jù)需要任意留下兩個(gè)即可，這樣思考問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多2.平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被a所

14、唯一確定，此時(shí)a的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)都是(x，y)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)，相等的向量坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同，也不能認(rèn)為向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo)，如A(1,2)，B(3,4)，則(2,2) 一、選擇題1.已知a,b是不共線(xiàn)的向量，若1ab，a2b， (1，2R)，則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件為 ()A121B121C1210D12101CA、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)與共線(xiàn)k1210.2.若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(chēng)(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2，2)，則a

15、在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為(D)A.(2,0) B.(0，2) C.(2,0) D.(0,2)3設(shè)兩個(gè)向量a(2，2cos2)和b，其中、m、為實(shí)數(shù)若a2b，則的取值范圍是 ()A6,1B4,8 C(，1D1,63A2b(2m，m2sin )，22m，2cos2m2sin ，(2m2)2mcos22sin ，即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2，24m29m42，解得m2，4.又2m2， 2，621.4.設(shè)02時(shí)，已知兩個(gè)向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，則向量長(zhǎng)度的最大值是 ()A. B.C3D25.在平行四邊形ABCD中

16、，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若(2,4)，(1,3)，則等于()A(2，4)B(3，5) C(3,5)D(2,4)二、填空題6.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_(kāi)62解析方法一若M與B重合，N與C重合，則mn2.方法二 2mn，.O、M、N共線(xiàn)，1. mn2.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)(0，2)解析設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，D(0，2)8.在四邊形ABCD中，(1,1)

17、，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)S|sin 60.三、解答題9.（12分）已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且，.求證：.9證明設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則依題意，得(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x2，y2)(x1，y1).又(4，1)，4(1)0，.10在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知向量m(a，b)，向量n(cos A，cos B)，向量p(2sin，2sin A)，若mn，p29，求證：ABC

18、為等邊三角形證明mn，acos Bbcos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.A、B為三角形的內(nèi)角，AB.AB. p29，8sin24sin2A9.41cos(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cos A10，解得cos A.又0A0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則的最小值是_8_.三、解答題11.a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b).0，kab與a3b反向.12.如圖所示，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足230，設(shè)Q為CP延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，令p，試用p表示.解設(shè)a，b，由已知條件32，即3pa2b，(