1、2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值2014高考會這樣考1.以選擇或填空題的形式考查函數(shù)的單調(diào)性；2.考查求函數(shù)最值的幾種常用方法；3.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍復(fù)習(xí)備考要這樣做1.從數(shù)、形兩種角度理解函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；3.含參函數(shù)的最值，對參數(shù)進行討論1 函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是

2、下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間2 函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)對于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M為最大值M為最小值難點正本疑點清源1 函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某個子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的特征在某個區(qū)間上單調(diào)，在整個定義域上不一定單調(diào)2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定

3、義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域?qū)τ诨境醯群瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3 單調(diào)區(qū)間的表示單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)1 (2012安徽)若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a_.答案6解析f(x)|2xa|作出函數(shù)圖象，由圖象知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，3，a6.2 (2011江蘇)函數(shù)f(x)

4、log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_答案3 (課本改編題)函數(shù)f(x)在1,2的最大值和最小值分別是_答案，1解析f(x)2在1,2上是增函數(shù)，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.4 已知函數(shù)yf(x)在R上是減函數(shù)，A(0，2)、B(3,2)在其圖象上，則不等式2f(x) BaCa0 Da0答案D解析當(dāng)a0時，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x，因為f(x)在(，4)上單調(diào)遞增，所以aa.綜合上述a0.題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷例1試討論函數(shù)f(x) (a0)在(1,1)上的單調(diào)性思維啟迪：可利用定義或?qū)?shù)法討論函

5、數(shù)的單調(diào)性解設(shè)1x1x20時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當(dāng)a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，函數(shù)f(x)x (x0)，證明函數(shù)f(x)在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間解(1)設(shè)x1，x2是任意兩個正數(shù)，且0x1x2，則f(x1)f(x2)(x1x2a)當(dāng)0x1x2時，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0，上是減函數(shù)；當(dāng)x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在，)上是增函數(shù)(2)令ux2x6，y可以看作有y與u

6、x2x6的復(fù)合函數(shù)由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)，而y在(0，)上是增函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間為(，3，單調(diào)增區(qū)間為2，)題型二利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例2若函數(shù)f(x)在(，1)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍思維啟迪：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題思路為視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參解f(x)a，設(shè)x1x20，由于x1x21，所以x1x20，x110，x210，所以a10，即a1.故a的取值范圍是(，1)探究提高已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍，可以通過解不等式或轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解

7、；需注意的是，若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的 (1)若函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為_(2)函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案(1)(2)C解析(1)因為函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，所以2a10，解得a0時，f(x)x2，則x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又當(dāng)x0時，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又當(dāng)x0時，f(x)0，

8、f(x1x2)0，即f(x1)1時，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當(dāng)x1時，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0，得x3，即函數(shù)的定義域為(，0)(3，)2分函數(shù)t的對稱軸為直線x，故t在(，0)上單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增6分而函數(shù)ylogt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，)10分溫馨提醒函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函

9、數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由于思維定勢的原因，容易忽視定義域，導(dǎo)致錯誤2.函數(shù)的單調(diào)性與最值典例：(12分)(2012太原模擬)函數(shù)f(x)對任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0時，恒有f(x)1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.審題視角(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)f(x1)并與0比較大小(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運用單調(diào)性“去掉”是本小題的切入點要構(gòu)造出f(M)f(N)的形式規(guī)范解答(1)證明設(shè)x10，當(dāng)x0時，

10、f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上為增函數(shù)6分(2)解m，nR，不妨設(shè)mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上為增函數(shù)，a2a513a2，即a(3,2)12分解函數(shù)不等式的問題一般步驟：第一步：確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)0時，f(x)1.構(gòu)造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1

11、的形式，找不到問題的突破口第二個關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f(M)f(N)的形式解決此類問題的易錯點：忽視M、N的取值范圍，即忽視f(x)所在的單調(diào)區(qū)間的約束.方法與技巧1 可以根據(jù)定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是其定義域的子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用方法：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)3 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對于復(fù)合函數(shù)yfg(x)，若tg(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且yf(t)在區(qū)間(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是單調(diào)函數(shù)，若tg(x)與yf(t)的單調(diào)性相同(同時為

12、增或減)，則yfg(x)為增函數(shù)；若tg(x)與yf(t)的單調(diào)性相反，則yfg(x)為減函數(shù)簡稱：同增異減失誤與防范1 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間要分開寫，即使在兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示2 兩函數(shù)f(x)、g(x)在x(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)也為增(減)函數(shù)，但f(x)g(x)，等的單調(diào)性與其正負有關(guān)，切不可盲目類比.(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 下列函數(shù)中，在(，0)上為增函數(shù)的是 ()Ay1x2 Byx22xCy Dy答案A解析y1x2的對稱軸為x0，且開口向下，

13、(，0)為其單調(diào)遞增區(qū)間2 (2012徐州模擬)已知函數(shù)f(x)2ax24(a3)x5在區(qū)間(，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是 ()A. B.C. D.答案D解析當(dāng)a0時，f(x)12x5，在(，3)上是減函數(shù)；當(dāng)a0時，由，得0a.綜上，a的取值范圍是0a.3 已知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為 ()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案B解析因為f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得解得4a1，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.7 若函數(shù)f(x)a|xb|2在0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)a、b的取值范圍是_答案a0且b0解析要使f(x)在0，)上為增函數(shù)，則a0

14、且xb0恒成立，即bx，b0.三、解答題(共25分)8 (12分)已知函數(shù)f(x) (a0，x0)，(1)求證：f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值(1)證明設(shè)x2x10，則x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)解f(x)在上的值域是，又f(x)在上單調(diào)遞增，f，f(2)2.易得a.9 (13分)已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時，f(x)x2(x0)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時，f(x)f

15、(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)設(shè)x2x12，則f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20.要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需f(x1)f(x2)0恒成立，則a16.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知函數(shù)f(x)x22axa，在區(qū)間(，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1，)上一定 ()A有最小值 B有最大值C是減函數(shù) D是增函數(shù)答案D解析由題意知a1，g(x)x2a，當(dāng)a0時，g(x)在，)上是增函數(shù)，故在(1，)上為增函數(shù)，g(x)在(1，)上一定是增函數(shù)2 已知定義

16、在R上的增函數(shù)f(x)，滿足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，則f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0 B一定小于0C等于0 D正負都有可能答案A解析f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.3 已知函數(shù)f(x)若f(2a2)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析由題意知f(x)在R上是增函數(shù)，由題意得2a2a，解得2a1.二、填空題(每小題4分，共12分)4 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是_答案1，)解析f(x)a，其對稱中心為(2a，a)a1.5 已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足ff(1)的實數(shù)x的取值范圍是_答案(1,0)(0,1)解析由f1，1或1，0x1或1x0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明它；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1對