1、第五章 解三角形與平面向量正弦定理和余弦定理導學目標： 1.利用正弦定理、余弦定理進行邊角轉化，進而進行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題自主梳理1三角形的有關性質(zhì)(1)在ABC中，ABC_；(2)ab_c，abbsin A_sin BA_B；(4)三角形面積公式：SABCahabsin Cacsin B_；(5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB或_三角形為等腰或直角三角形；sin(AB)sin C，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容_2Ra2_，b2_，c2_.變形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B

2、_，sin C_；abc_；cos A_；cos B_；cos C_.解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.自我檢測1(2010上海)若ABC的三個內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C51113，則ABC()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2(2010天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，則A等于 ()A30B60C120D1503(2011煙臺模擬)在ABC中

3、，A60，b1，ABC的面積為，則邊a的值為()A2B.C.D34(2010山東)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_5(2010北京)在ABC中，若b1，c，C，則a_.探究點一正弦定理的應用例1(1)在ABC中，a，b，B45，求角A、C和邊c；(2)在ABC中，a8，B60，C75，求邊b和c.變式遷移1(1)在ABC中，若tan A，C150，BC1，則AB_；(2)在ABC中，若a50，b25，A45，則B_.探究點二余弦定理的應用例2(2011咸寧月考)已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對邊，且a2c2b2ac

4、.(1)求角B的大?。?2)若c3a，求tan A的值變式遷移2在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，B，b，ac4，求a.探究點三正、余弦定理的綜合應用例3在ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷該三角形的形狀變式遷移3(2010天津)在ABC中，.(1)證明：BC；(2)若cos A，求sin的值1解斜三角形可以看成是三角變換的延續(xù)和應用，用到三角變換的基本方法，同時它是對正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應用2在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，

5、有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應結合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍3在解三角形中的三角變換問題時，要注意兩點：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法“化繁為簡”“化異為同”是解此類問題的突破口 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010湖北)在ABC中，a15，b10，A60，則cos B等于 ()AB.CD.2.在ABC中AB3，AC=2，BC=，則等于 ()ABC.D.3在ABC中，sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等

6、腰三角形4(2011聊城模擬)在ABC中，若A60，BC4，AC4，則角B的大小為()A30B45C135D45或1355(2010湖南)在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C120，ca，則 ()AabBa(3)(4)bcsin A(5)AB2.b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C2Rsin A2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C自我檢測1C2.A3.C4.5.1課堂活動區(qū)例1解題導引已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對解的情況進行判斷，這類問題往往有一解、兩解、無解三種情況具體

7、判斷方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A為銳角，當ab時，有一解；當absin A時，有一解；當bsin Aab時，有兩解；當ab時，有一解；當ab時，無解解(1)由正弦定理得，sin A.ab，AB，A60或A120.當A60時，C180456075，c；當A120時，C1804512015，c.綜上，A60，C75，c，或A120，C15，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.變式遷移1(1)(2)60或120解析(1)在ABC中，tan A，C150，A為銳角，sin A.又BC1.根據(jù)正弦定理得AB.(2)由ba，得BA，由，得sin B

8、，0B180B60或B120.例2解(1)a2c2b2ac，cos B.0B，B.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0Aa，BA，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.變式遷移2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，聯(lián)立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解題導引利用正

9、弦定理或余弦定理進行邊角互化，轉化為邊邊關系或角角關系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由02A2，02B2，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2bb2a，a2(b2c2

10、a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形為等腰三角形或直角三角形變式遷移3解題導引在正弦定理2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)證明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.因為BC，從而BC0.所以BC.(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A.又02B，于是sin 2B.從而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B.所以sinsin 4Bcos cos 4Bsi

11、n .課后練習區(qū)1D2.D3.B4.B5.A6等邊三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60，ABC為等邊三角形71解析由AC2B及ABC180知，B60.由正弦定理知，即sin A.由ab知，AB，A30，C180AB180306090，sin Csin 901.8.解析設BAD，DAC，則tan ，tan ，tanBACtan()1.BAC為銳角，BAC的大小為.9解(1)因為cos，所以cos A2cos21，sin A.(4分)又由3得bccos A3，所以bc5，因此SABCbcsin A2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2bc20，所以a2.(12分)10解