1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 20092009 年年 第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、填空題（每小題 5 分，共 20 分） y (x y)ln(1) x dxdy ，其中區(qū)域D由直線x y 1與兩坐標(biāo)軸1計算 D1 x y 所圍成三角形區(qū)域. 2設(shè) f (x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足f (x) 3x 2 2 0 f (x)dx 2，則f (x) . x2 3曲面 z y22平行平面2x 2y z 0 的切平面方程是. 2 4 設(shè)函數(shù) y y(x)由方程xef (y) eyln 29確定，

2、其中f 具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 d2y f 1，則 2 . dx e ex e2x enx x() ，其中n是給定的正整數(shù).二、 （5 分）求極限lim x0 n 1 f (x) 三、 （15 分）設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù)，g(x) 0 f (xt)dt ，且lim A，A為 x0 x 常數(shù)，求 g(x)并討論g(x) 在x 0處的連續(xù)性. 四、 （15 分）已知平面區(qū)域 D (x, y) | 0 x , 0 y ，L為D的 正向邊界，試證： （1）xesin ydy yesinxdx xesin ydy yesinxdx； LL （2） xesin ydy yesin ydx 5 2. L 2 五

3、、 （10 分）已知 y 1 xex e2x，y 2 xex ex，y 3 xex e2x ex是某 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程. 六、 （10 分） 設(shè)拋物線 y ax2 bx 2lnc過原點(diǎn).當(dāng)0 x 1時，y 0， 又已知該拋物線與 x軸及直線x 1所圍圖形的面積為 1 .試確定 3 a,b,c，使此圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小. 七、 （15 分）已知u n (x)滿足u n (x) u n (x) xn1exn 1,2,L ，且u n(1) e ，求 n 函數(shù)項級數(shù)u n (x)之和. n1 / 14 八、 （10 分）求x 1時，與 xn

4、等價的無窮大量. 2 n0 20102010 年年 第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、 （25 分，每小題 5 分） （1）設(shè)x n (1a)(1a )L (1a )，其中|a|1,求limx n. n 22n 1 ex 1 .（2）求lim x x x2 （3）設(shè)s 0，求I n 0 （4）設(shè)函數(shù) 2g2g 2 . 2xy esxxndx(n 1,2,L ). 1 f (t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，r x2 y2,g(x, y) f ，求 r x y 0 （5）求直線l 1 : 與直線l 2 : x2 y 1 z 3 的距離. 421 z

5、0 二、 （15 分）設(shè)函數(shù) f (x) 在(,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且 f (x) 0， x lim f (x) 0， lim f (x) 0，且存在一點(diǎn)x0，使得f (x0) 0. 證明：方程f (x) 0在 x (,)恰有兩個實根. 三、（15 x 2t t2(t 1)所確定，且 分）設(shè)函數(shù)y f (x)由參數(shù)方程 y (t) d2y3 ， 2dx4(1t) 其中 (t)具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線y (t)與y 1 求函數(shù) (t). / 14 t2 eudu 2 3 在t 1出相切， 2e 四、 （15 分）設(shè)a n 0,S n a k ，證明： k1 n （1）當(dāng) 1時，級數(shù) a n n1 S

6、n 收斂； a n n1 S n （2）當(dāng) 1且s n (n )時，級數(shù) 發(fā)散. 五、 （15 分）設(shè)l是過原點(diǎn)、方向為(,)， （其中2 221)的 直線，均勻橢球 x2y2z2 1（其中0 c b a，密度為 a2b2c2 1）繞l旋轉(zhuǎn). （1）求其轉(zhuǎn)動慣量； （2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向(,)的最大值和最小值. 六、(15 分)設(shè)函數(shù)(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑 的簡單閉曲線C上，曲線積分 L 2xydx(x)dy 0的值為常數(shù). x4 y2 2xydx(x)dy 0； 42x y （1）設(shè) L 為正向閉曲線(x2)2 y21，證明 L （2）求函數(shù)(x)； （3）設(shè)C是圍繞

7、原點(diǎn)的光滑簡單正向閉曲線，求 C / 14 2xydx(x)dy x4 y2 . / 14 20112011 年年 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、計算下列各題（本題共 3 小題，每小題各 5 分，共 15 分） sinx （1）求 lim x0 x （2）.求 lim n 1 1cosx； 111 . ； n1n2nn 2t x ln1e （3）已知 t y t arctane d2y ，求 2dx . 二、 （本題 10 分）求方程2x y 4dxx y 1dy 0的通解. 三、 （本題 15 分）設(shè)函數(shù) f (x)在x 0 的

8、某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo) 數(shù)，且 f0 , f 0 , f 0均不為 0，證明：存在唯一一組實數(shù)k ,k ,k ， 123 使得 lim k 1 fhk 2 f2hk 3 f3h f0 0. h0 h2 四、 （本題 17 x2y2z2 分）設(shè) 1 : 2 2 2 1，其中a bc 0， 2 :z2 x2 y2 ， abc 為 1 與 2 的交線，求橢球面 1 在 上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的 最大值和最小值. 五、 （本題 16 x 23y21 分） 已知 S 是空間曲線 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)形成的橢 z 0 球面的上半部分 （ z 0） （取上側(cè)） ， 是 S 在 P(x,y,z) 點(diǎn)處的切平面，

9、(x,y,z) 是原點(diǎn)到切平面 的距離， , 表示 S 的正法向的方向余 弦. 計算： （1） S z （2） zx 3y zdSdS； x,y,z S f (x) mf (x) ，六、 （本題 12 分）設(shè) f (x)是在(,)內(nèi)的可微函數(shù)，且 / 14 其中 0 m1，任取實數(shù)a ，定義 a n ln f (a n1),n 1,2,. ，證明： (a n a n1)0 n1 絕對收斂. 七、 （本題 15 分）是否存在區(qū)間0,2上的連續(xù)可微函數(shù) f (x) ，滿 足 f (0) f (2) 1，f (x) 1， 2 0 f (x)dx 1?請說明理由. 20122012 年年 第四屆全國大

10、學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、 （本大題共 5 小題， 每小題 6 分， 共 30 分） 解答下列各題 （要 求寫出重要步驟）. （1）求極限lim(n!). n （2）求通過直線 l : 2x y 3z 2 0 的兩個互相垂直的平面 1 和 2 ， 5x 5y 4z 3 0 1 n2 使其中一個平面過點(diǎn) (4 , 3,1) . （3）已知函數(shù) z u(x , y)eaxby 2u 0. 確定常數(shù)a和b ，使函數(shù)，且 xy 2zzz z 0.z z(x , y) 滿足方程 xyxy / 14 （4）設(shè)函數(shù) u u(x) 連續(xù)可微， u(2)

11、1，且 L (x2y)udx(xu3)udy 在右 半平面與路徑無關(guān)，求 u(x, y) . 3 （5）求極限 x limx x x1 sint dt . t cost 0 二、 （本題 10 分）計算 e2xsin x dx . 三、 （本題 10 分）求方程 x2sin 1 2x501的近似解，精確到 0.001. x 四、（本題12分） 設(shè)函數(shù) y f (x)二階可導(dǎo)， 且f (x) 0，f (0) 0，f (0) 0， x3f (u) 求 lim ，其中 u是曲線y f (x)上點(diǎn)P(x , f (x) 處的切線在 x 軸上 x0 f (x)sin3u 的截距. 五、 （本題 12 分

12、）求最小實數(shù)C，使得滿足 f (x) 都有 f ( x)dx C . 0 1 1 0 f (x) dx 1的連續(xù)函數(shù) 六、 （本題 12 分）設(shè) f (x) 為連續(xù)函數(shù)， t 0. 區(qū)域 是由拋物面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2t2(z 0) 所 圍 起 來 的 部 分 .定 義 三 重 積 分 F(t) f (x2 y2 z2)dv ， 求 F(t)的導(dǎo)數(shù)F(t) . 七、 （本題 14 分）設(shè) a n 與 b n 為正項級數(shù)，證明： n1n1 a n 1 （1）若lim 0，則級數(shù)a n 收斂； n abb n1 n1 nn1 a n 1 （2）若lim 0，且級數(shù)b n 發(fā)散，

13、則級數(shù) a n 發(fā)散. n abb n1n1 n1 nn1 20132013 年年 第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、解答下列各題（每小題6 分，共24 分，要求寫出重要步驟） / 14 1.求極限 lim1sin n 1 4n2 . n 2.證明廣義積分 0 sinx dx 不是絕對收斂的. x 3.設(shè)函數(shù) y y(x)由x33x2y 2y3 2確定，求y(x) 的極值. 4.過曲線 y 3x(x 0)上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x 軸所圍 成的平面圖形的面積為 3，求點(diǎn) A的坐標(biāo). 4 二、 （滿分 12 分）計算定積分 I

14、xsinxarctanex dx. 1cos2x x fx 三、（滿分 12 分） 設(shè) fx在x 0處存在二階導(dǎo)數(shù)f (0)， 且lim 0. x0 證明：級數(shù) n1 1 f n 收斂. f (x) , f (x) m 0(a x b)，證明 四、 （滿分 12 分）設(shè) sin f (x)dx m . a b 2 五、 （滿分 14 分）設(shè)是一個光滑封閉曲面，方向朝外.給定第 二型的曲面積分 I x 3 xdydz 2y3 ydzdx 3z3 zdxdy .試確定曲面 ，使積分I的值最小，并求該最小值. 六、 （滿分 14 分）設(shè) I a (r) C yd 2 x x 2 dy ，其中 a為常

15、數(shù)，曲線C 為橢 a(x y ) 圓 x2 xy y2 r2 ，取正向.求極限 r lim I a (r). 七、 （滿分 14 和. / 14 11 1L n的斂散性，若收斂，求其分）判斷級數(shù)2 n1 n1n2 20142014 年年 第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、填空題（共有 5 小題，每題 6 分，共 30 分） 1.已知 y 1 ex 和 y 1 xex是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該 方程是 . 2.設(shè)有曲面 S :z x2 2y2 和平面 L:2x 2y z 0. 則與L平行的S 的 切平面方程是 . 3. 設(shè)

16、函 數(shù) dy dx x0 y y(x) 由 方 程 x yx 1 t sin2 dt 4 所 確 定 . 求 . k ，則 n limx n . (k 1)! k1 n 4.設(shè) x n 5.已知 lim1 x x0 f (x) f (x) 3，則lim . e x0 x2x 1 2n 1 x 二、 （本題 12 分）設(shè)n為正整數(shù)，計算 I e d 1 cosln dx. dx x 三、 （本題 14 分） 設(shè)函數(shù) f (x)在0,1上有二階導(dǎo)數(shù)， 且有正常數(shù)A,B 使得 f (x) A，| f (x)| B . 證明：對任意x0,1，有| f (x)| 2A B . 2 四、 （本題 14 分

17、） （1）設(shè)一球缺高為h，所在球半徑為 R . 證明 / 14 該球缺體積為 (3R h)h2 ，球冠面積為 2Rh ； （2）設(shè)球體 3 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)212被平面P: x y z 6所截的小球缺為 ， 記球缺上的球冠為，方向指向球外，求第二型曲面積分 I xdydz ydzdx zdxdy . 五、 （本題 15 分）設(shè) f 在a,b上非負(fù)連續(xù)，嚴(yán)格單增，且存在 xna,b，使得 f (x n )n 1 b n f (x) dx.求limx n . an b a nnn L n21n222n2n2 六、 （本題 15 分）設(shè) A n limn ，求 n A n .

18、4 20152015 年年 第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、填空題（每小題 6 分，共 5 小題，滿分 30 分） 2 sinsin sin n 2 n 2 n L 2 （1）極限 lim . n n 1n 2n n （2） 設(shè)函數(shù)z zx, y由方程F x z , y z 0所決定， 其中Fu,v具 yx / 14 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且xF u yF v 0則x z y z . xy （3） 曲面z x2 y21在點(diǎn)M1,1,3的切平面與曲面所圍區(qū)域的體 積是 . （4）函數(shù) fx 是 . （5） 設(shè)區(qū)間0,上的函數(shù)ux定義域為ux

19、0 初等函數(shù)表達(dá)式是 . 二、 （12 分） 設(shè)M是以三個正半軸為母線的半圓錐面， 求其方程. 三、 （12 分）設(shè) fx在a,b內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在常數(shù), ，使得對 于xa,b，有 f xfxfx，則fx在a,b內(nèi)無窮次可導(dǎo). 四、 （14 n32 n分）求冪級數(shù)x1的收斂域及其和函數(shù). n0 n1! 11 3,x5,0 0,x0,5 在5,5的傅立葉級數(shù)在x 0收斂的 extdt， 則ux的 2 五、 （16 分）設(shè)函數(shù) fx在0,1上連續(xù)，且 0 fxdx 0, 0 xfxdx 1. 試證： （1）x 0 0,1使fx 0 4； （2）x 1 0,1使fx 1 4. 五、 （16 分）設(shè)

20、fx, y在x2 y21上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且 222f xx 2f xy f yy M. 若 f0,00, f x 0,0 f y 0,00，證明： x2y21 fx, ydxdy M 4 . / 14 20162016 年年 第八屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第八屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、填空題（每小題 5 分，滿分 30 分） 1、若 fx在點(diǎn)x a 可導(dǎo)，且 f a 0，則lim n 1 f a n . fa n 2、若 f1 0， f 1存在，求極限I lim x0 f sin2 xcosxtan3x ex21 sin x . 3、設(shè) fx有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

21、且f 1 2，記z fexy2，若 z z，求f x在 x x 0的表達(dá)式. 4、設(shè) fx exsin2x，求0 an 2 ， f 0. 4 x2 5、求曲面 z y2平行于平面2x2y z 0 的切平面方程. 2 二、 （14 分）設(shè) fx在0,1上可導(dǎo)，f0 0 ，且當(dāng) x0,1，0 f x1， 試證當(dāng) a0,1， 0 fxdx a 2 f3xdx . 0 a 三、（14 分）某物體所在的空間區(qū)域為 :x2 y2 2z2 x y 2z ，密 度函數(shù)為 x2 y2 z2，求質(zhì)量M x 2 y2 z2dxdydz. 四、 （14 分）設(shè)函數(shù) fx在閉區(qū)間0,1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f0 0， f11

22、， 1 1n nfxdx f 證明： lim n n k1 0 1 k 2 n . 1五、（14 分）設(shè)函數(shù) fx在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，且I 0 fxdx 0， 證明：在0,1內(nèi)存在不同的兩點(diǎn) x 1,x2 ，使得 112 . fx 1 fx 2 I 六、（14 分）設(shè) fx在,可導(dǎo)，且fx fx2 f x 數(shù)理論證明 fx為常數(shù). / 14 3.用級 20172017 年年 第九屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第九屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類） 一、1. 已知可導(dǎo)函數(shù) sin2 2 求 n lim 滿足 cosxf (x) 2 0 f (t)sintdt x 1，則f (x) . x n2 n . 3. 設(shè)w f (u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且u=xcy， v=x+cy，其中c 為非零常數(shù). 則w xx 1 w yy . 2c 4. . 設(shè) f(x)有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f (0) f (0)0, f (0)6，則 f (sin2x) lim