1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的 一些問題,樂經(jīng)良 上海交通大學(xué) ,提綱 極限 需要充分的講解極限的概念 無窮小分析的思想貫串整個教學(xué) 微分學(xué) 線性近似 求導(dǎo)的鏈法則 中值定理 對函數(shù)的多項式近似, 輔助函數(shù)的構(gòu)造 積分 典型例子：由密度求質(zhì)量，貫串積分教學(xué) 講好微元法 級數(shù) 還是無窮小分析 微分方程 聯(lián)系數(shù)學(xué)模型 適當(dāng)定性分析,高等數(shù)學(xué) 主要內(nèi)容為微積分 關(guān)于連續(xù)變量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 內(nèi)容經(jīng)典、變化不大 蘇俄教學(xué)體系痕跡深刻 似乎簡單，實則“很深” 你能講清楚這個概念或命題嗎？ 你能讓學(xué)生聽明白這個概念或命題嗎？ 語言 幾何(或其它背景) 思路 應(yīng)用,極限要講N 嗎 需要比較充分地介紹極限概念 區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的概

2、念 函數(shù)變化的定量趨勢 簡潔確切的數(shù)學(xué)語言 定義的形成反映數(shù)學(xué)的發(fā)展 概念的介紹 例子 描敘性語言 數(shù)學(xué)語言表達 幾何解釋, A R, 0 , N N+ ：當(dāng)n N 時，, 用有限表達無限 與N 的關(guān)系, nN 是使,成立的一個充分條件, 極限是一個局部性概念,無窮小 求極限的一個重要方法 等價無窮小替換,那么, 幾個重要的等價無窮小 在x 0 時，,更一般地 若在x 0 時，0,例題, 為什么當(dāng)無窮小是代數(shù)和中一項時， 一般不能用等價無窮小等換?,另一例子, 在主部相同時,相減被抵消,高階無窮小起 作用, 在主部相同時相減，替換就需要Taylor公式了, 在主部不發(fā)生抵消時，可以替換, 注意

3、在教學(xué)的各部分提及和應(yīng)用無窮小分析 導(dǎo)數(shù)與微分 積分中的微元法 級數(shù)的斂散性判別,導(dǎo)數(shù)與微分 微分學(xué)的基本思想 局部線性化，略去高階無窮小 微分（Leibniz）,y 的線性主部,主部 ydy = o (x), dy 在x0時是無窮小，是y 的等價無窮小, 導(dǎo)數(shù)（Newton）,在y 中略去了高階無窮小, 幾何意義 注意 等式 (增量公式),給出了y與其線性主部間的定性關(guān)系,在x =0時無意義 (考慮到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法), 微分到底是什么樣的量，是否為0？, 微分dy 由表達式,確定是一個普通的函數(shù),它是自變量x 的線性函數(shù) 在x 定義范圍內(nèi)任何值時，它有確定的值與之對應(yīng), ydy = o (x

4、) 并非表明這個差總比 x 小，但在x 小到某程度這個差會遠比 x 小, 微分dy 在x0時是無窮小，是y 的等價無窮小, 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的鏈法則, 求導(dǎo)的過程反映了函數(shù)復(fù)合的鏈結(jié)構(gòu), 多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，鏈法則依然關(guān)鍵, 關(guān)鍵是弄清復(fù)合函數(shù)z 作為 x,y 的函數(shù)的復(fù)合過程，“鏈” 反映了這個復(fù)合過程,1）設(shè)函數(shù) u = f(x,y,z)可微，而 x=x(t),y=y(t),z=z(t) 均可導(dǎo)，試求復(fù)合函數(shù)u=f (x(t),y(t),z(t)的導(dǎo)數(shù), 例子,2）設(shè)函數(shù) z=f (x,y,u,v), 而 u=u(x,y),v=v(x,y)有一階 偏導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)z=f(x,y,u(x,y),v

5、(x,y)對x,y的偏導(dǎo) 數(shù),3）設(shè),，求, 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù) 多數(shù)教材這部分內(nèi)容值得商榷 學(xué)生可能不了解定理說什么，更不了解為什么 利用鏈法則可以解決求導(dǎo)的問題 Thomas 微積分的處理可以借鑒, 在任何一種求導(dǎo)過程中，鏈法則都是重要的，首 先需要明確 變量中哪些是自變量，哪些是函數(shù) 對某一自變量求偏導(dǎo)數(shù)，其他自變量視為常量,1） 設(shè)z=z(x,y)是由方程,2） 設(shè)函數(shù) u=u(x,y),v=v(x,y) 由方程組,確定，試求ux, uy, vx, vy, 注意 在需要求出問題中函數(shù)的所有一階偏導(dǎo)數(shù)時，利用一階微分形式不變性往往是有效的,所確定的隱函數(shù), 求zx, zy,微分中值定理

6、 對函數(shù)改變量的無窮小分析, Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理 由特殊到一般, Taylor 公式，更好的近似 由局部到區(qū)間，討論函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),右端是否一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點 的值?, 輔助函數(shù)的構(gòu)造, Lagrange 定理的輔助函數(shù) 幾何分析 形式分析, Cauchy定理的輔助函數(shù),形式分析,（為什么不移項） 右端是否一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點 的值?, Taylor 定理輔助函數(shù)的構(gòu)造 Peano余項 改變結(jié)論形式,結(jié)論,改變形式,其中, 構(gòu)造輔助函數(shù)的例子, Lhospital 法則 在求極限時重要且使用廣泛的方法 使用時結(jié)合等價無窮小替換極其必要,積分 定積分的概念 例子

7、 以由密度求質(zhì)量作為貫串積分教學(xué)的例子 分割、求和、求極限 微元法 求在區(qū)間a, b上的不均勻分布的量 積分的技巧 應(yīng)適當(dāng)?shù)? 關(guān)于微元法 某個量分布在區(qū)間a,b上，如果有,問題是：我們怎樣得到 f (x) ?, 分析在小區(qū)間 x, x+dx 分布的部分量 F的線性主部 來得到 dF =f(x)dx, F與dF的差是高階無窮小o (x), 例子, 曲邊梯形面積 在小區(qū)間 x, x+dx上視為矩形,分析這是否 dA,看一看誤差是多少?,(只要f 有界),考慮,+d上的面積 視為扇形, 極坐標下曲邊扇形面積,(只要r 有界),能否不作這樣的無窮小分析？, 已知截面積的幾何體體積,考慮x,x+dx

8、上的體積 視為柱體,考慮當(dāng)x0時，誤差的那一圈狀體積相比于x的情況, 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,考慮x,x+dx上所對應(yīng)的側(cè)面積,能不能看成圓柱側(cè)面？,并非線性主部,能否看成圓臺側(cè)面？事實上這關(guān)系這側(cè)面積的定義,級數(shù) 收斂級數(shù)的一般項 un0, 是無窮小量，因此正項級數(shù)斂散性判別事實上是一種無窮小分析 比值判別法, N N+ ：當(dāng)n N 時，,類等比級數(shù),立刻導(dǎo)出l1.l1斂散性的結(jié)論， 而對于l =1,可舉例說明無法斷定 根值判別法是類似的 比較判別法的極限形式 需要與一個已知斂散性的級數(shù)比較，與誰比較？ P 級數(shù),若以,作為“標準”無窮小，判別,是否收斂就是,要分析un 的階,例子 討論級數(shù)的斂散性, 進一步的討論, 比值(根值)判別法不如比較判別法精細,指數(shù)階an的無窮小比任何冪函數(shù)(1/n)p的無窮小更高階, 那么p 級數(shù)當(dāng)p =1時是否一個分界線呢？ 是否一般項un比(1/n)高階的級數(shù)就收斂？,回答這個問題就可以采用積分判別法了,微分方程 與數(shù)學(xué)建模有密切聯(lián)系 其本身的發(fā)展與物理等應(yīng)用鄰域相關(guān) 至今仍然有眾多來自實際的生動模型 對微分方程的定性分析在教學(xué)中欠缺 了解研究對象的發(fā)展趨勢 在方程無法求解的情況下獲知信息 選擇適當(dāng)?shù)睦? 人口增長模型 從Malthus模型到Logistic模型 假畫的鑒定問題 核廢料