1、系統(tǒng)分析方法:層次分析法,層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導(dǎo)致了社會結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費(fèi)者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價(jià)格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項(xiàng)目的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值的大小、項(xiàng)目的可行性、項(xiàng)目的資助情況及周

2、期長短等選擇最合適的研究課題。當(dāng)我們面對這類決策問題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時(shí)，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？,Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（Analytic Hiearchy Process，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服

3、力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實(shí)用的決策方法，而且也提供了一個(gè)在處理機(jī)理比較模糊的問題時(shí)，如何通過科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。,一、層次分析的基本步驟,層次分析過程可分為四個(gè)基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。,下面通過一個(gè)簡單的實(shí)例來說明各步驟中所做的工作。,例1 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎(jiǎng)金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比

4、例來使用這筆資金較為合理。,步1 建立層次結(jié)構(gòu)模型,在用層次分析法研究問題時(shí)，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個(gè)層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動(dòng)企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，

5、（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。,根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如下圖所示。,圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。,對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時(shí)，如以質(zhì)量、外觀、價(jià)格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時(shí)又可分出若干個(gè)不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。,建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。,步2 構(gòu)造判斷矩陣,層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如上圖中目

6、標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。,在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動(dòng)職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提

7、出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。,設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X = x1,xn對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)nn表示，稱A為ZX之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比 為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為 。,定義 1 若矩陣A=(aij)nn滿足,（i）aij 0，,（ii） （i, j = 1,2,n）， 則稱之為正互反矩陣（易見aii =1, i = 1, , n）。,關(guān)于

8、如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時(shí)，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值2、4、6、8。,從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用19標(biāo)度最為合適。,如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用19及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，

9、再比較每一類中的元素。,步3 層次單排序及一致性檢驗(yàn),上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：,i、j、k = 1,2,n,定義2 滿足上面關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。,如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對比較判斷矩陣應(yīng) 當(dāng)是一個(gè)一致矩陣。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣A共計(jì)要作 次比較（設(shè)有n個(gè)因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶

10、有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了19標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。,定理1 正互反矩陣A的最大特征根max必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于max。（證明從略）,現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，看將單位重量的大石塊剖分成重量為 1, n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)

11、果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為,容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：,定理2 若A為一致矩陣，則,（1）A必為正互反矩陣。,（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。,（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。,（4）A的最大特征根max=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。,（5）若A的最大特征根max對應(yīng)的特征向量為W=（w1, wn）I，則aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。,定理3 n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根 max=n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時(shí)，必有maxn。,根據(jù)定理3，我

12、們可以由max是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，max對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X=x1,xn在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。,為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：,（1）求出 ，稱CI為A的一致性指標(biāo)。,容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，CI = 0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個(gè)特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除max以外其

13、余n1個(gè)特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n1個(gè)特征根均為零，故CI=0；否則，CI0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對應(yīng)地，max稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。,（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣用從19及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值 ， 并定義,稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。,對n =1,11,，Saaty給出了RI的值，如表

14、2所示。,表2,（3）將CI與RI作比較，定義,稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR0.10時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根max及max對應(yīng)的特征向量W=（w1, wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化， 使得 。 再對A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算 ， 查表得到對應(yīng)于n的RI值，求 ， 若CR0.1，則一致性較為滿意，以 i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時(shí)，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。,現(xiàn)對本節(jié)例1（即合理利用利潤問題的例

15、子）進(jìn)行層次單排序。,為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造OC層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣,A=,于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得RI = 0.58，故CR = 0.033。因CR0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于max的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。,類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在 C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：,max=2，CI = CR = 0 W = (0.75, 0.25)T,max=2，CI =

16、 CR = 0 W = (0.167, 0.833)T,max=2，CI = CR = 0 W = (0.66, 0.333)T,經(jīng)層次單排序，得到下圖,設(shè)上一層次（A層）包含A1,Am共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素B1,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時(shí)，bij = 0）?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排 序權(quán)值b1,bn，計(jì)算按下表所示方式進(jìn)行,即 ，i =1,n。,步4 層次總排序及一致性檢驗(yàn),最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于

17、總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。,例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如下表所示。,對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。,設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j =1,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j) (CI(j)、RI(j)已在層次單排序時(shí)求得)，則B層總排序隨機(jī)一

18、致性比率為,CR =,當(dāng)CR0.10 時(shí)， 認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。,對于表8.11中的P層總排序，由于CP層間的三個(gè)判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機(jī)一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎(jiǎng)金，21.8%用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。,二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計(jì)算法,眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時(shí)是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就

19、是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計(jì)算特征根和特征向量時(shí)，沒有必要化費(fèi)太多的時(shí)間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實(shí)上，在應(yīng)用層次分析法決策時(shí)，這些量的計(jì)算通常采用較為簡便的近似方法。,1、方根法,在應(yīng)用小型計(jì)算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時(shí)可采用方根法。其計(jì)算步驟如下：,（1）求判斷矩陣每行元素的乘積,，i =1,2,n,（2）求Mi的n次方根,（3）對 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，求特征向量各分量的近似值 。,（4）求A的最大特征根的近似值,從上式中不難看出，當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當(dāng)A的非一致性不太嚴(yán)重時(shí)，方根法求得的W

20、i（i = 1,n）可近似用于層次單排序的權(quán)值。,對前面例子中的OC判斷陣，有,求 ，得,2、冪法,計(jì)算步驟：,（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求0，k=0。,（步2）迭代計(jì)算 ，k = 0,1,。,若 ，i = 1,n， 則取W= 為A的對應(yīng)于max的特征向量的近似， 否則轉(zhuǎn)步2。,（步3） 將 標(biāo)準(zhǔn)化，即求 其中 為 的第i個(gè)分量。,（步4）求max的近似值,對前面例子中的OC判斷矩陣， 若取 ， =0.001，利用冪法求近似特征向量如下：,（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)T

21、,（第二次迭代） (2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)T,（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.02，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)T,（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)T,因 ，取W = W(4)。進(jìn)而，可求得 。,3、和積法,（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令, i, j =1, ,n,令 。,（步2）將 中元素按行相加

22、得到向量 ，其分量 ，i = 1, , n。,（步4）求最大特征根近似值 。,仍以前面例子中的OC判斷矩陣為例：,，,以上近似方法計(jì)算都很簡單，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時(shí)兩者完全相同。,三、層次分析法應(yīng)用舉例,在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因

23、素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。 在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。,例2 招聘工作人員,某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖8.9所示。,該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外

24、銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立AB層成對比較判斷矩陣,求得max =3，CR = 0。,類似建立BC層之間的三個(gè)成對比較矩陣:,W = ( , , )T,經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024,招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項(xiàng)指標(biāo)作19級評分。設(shè)其得分為X= (x1,x9)T，用公式,y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 ) + 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9,計(jì)算總得分，以y作為應(yīng)試者的綜合指標(biāo)，按高到低順序錄用。,例3 （挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。,該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：,由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。,（方案層）,(層次總排序)如下表所示。,根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。（說明：本例省略了一致性檢驗(yàn)）,例4 作品評比。,電影或文學(xué)作品評獎(jiǎng)時(shí)，根據(jù)有關(guān)部門規(guī)