1、帶電粒子在圓形磁場中的運動,羅田縣第一中學(xué),羅田縣第一中學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座,結(jié)論1：對準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出。 例題：電視機的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖所示。磁場方向垂直于圓面。磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，此時磁場的磁感應(yīng)強度B應(yīng)為多少？,/2,O1,R,/2,例題：如圖，虛線所圍圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強磁場B。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場，經(jīng)過磁場區(qū)后，電子束運動的方向與原

2、入射方向成角。設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計電子之間的相互作用力及所受的重力。求： （1）電子在磁場中運動軌跡的半徑R； （2）電子在磁場中運動的時間t； （3）圓形磁場區(qū)域的半徑r。,解：（1）,（2）由幾何關(guān)系得：圓心角：, = ,（3）由如圖所示幾何關(guān)系可知，,所以：,例題：在圓形區(qū)域的勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，一群速率不同的質(zhì)子自A點沿半徑方向射入磁場區(qū)域，如圖所示，已知該質(zhì)子束中在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)的最大角度為1060，圓形磁場的區(qū)域的半徑為R，質(zhì)子的質(zhì)量為m，電量為e，不計重力，則該質(zhì)子束的速率范圍是多大？,O1,O2,O3,O4,結(jié)論2：對準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小

3、，運動時間越短。,例題：如圖虛線所示區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面的勻強磁場，一束速度大小各不相同的質(zhì)子正對該區(qū)域的圓心O射入這個磁場；結(jié)果，這些質(zhì)子在該磁場中運動的時間有的較長，有的較短，其中運動時間較長的粒子（ ） A射入時的速度一定較大 B在該磁場中運動的路程一定較長 C在該磁場中偏轉(zhuǎn)的角度一定較大 D從該磁場中飛出的速度一定較小,t,R,s,CD,結(jié)論3：運動速度v相同,方向不同，弧長越長對應(yīng)時間越長。(直徑對應(yīng)的弧最長),例題：如圖，半徑為 r=3102m的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強磁場B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點處射入磁場，該粒子荷質(zhì)比為q/m=108C/kg，不計重

4、力。若要使粒子飛離磁場時有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時粒子的方向應(yīng)如何（以v0與oa的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？,說明：半徑確定時，通過的弧越長，偏轉(zhuǎn)角度越大。而弧小于半個圓周時，弦越長則弧越長。,解析：R=mv/Bq=510-2mr,b, = 37，,sin = r/R,最大偏轉(zhuǎn)角為 2 = 74。,例題：如圖所示，在真空中半徑r3.0102 m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強度B0.2 T，方向如圖的勻強磁場，一批帶正電的粒子以初速度v01.0106 m/s，從磁場邊界上直徑ab的一端a沿著各個方向射入磁場，且初速度方向與磁場方向都垂直，該粒子的比荷為q/m1.0108 C/kg，不計粒子重力 (1)

5、粒子的軌跡半徑； (2)粒子在磁場中運動的最長時間； (3)若射入磁場的速度改為v03.0105 m/s，其他條件不變，試用斜線畫出該批粒子在磁場中可能出現(xiàn)的區(qū)域(sin370.6，cos370.8),V,V,V,例題：在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標(biāo)原點O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正向運動，試問符合該條件的磁場的最小面積為多大？（不考慮電子間的相互作用）,所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第象限的四分之一

6、圓周上，如圖所示。,電子由O點射入第象限做勻速圓周運動,解1:,即所有出射點均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場分布的最小面積應(yīng)是實線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得,由圖可知，a、b、c、d 等點就是各電子離開磁場的出射點，均應(yīng)滿足方程,x2 + (ry)2=r2。,解2:,設(shè)P(x，y)為磁場下邊界上的一點，經(jīng)過該點的電子初速度與x軸夾角為 ，則由圖可知：,x = rsin， y = rrcos ，,得: x2 + (yr)2 = r2。,所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場區(qū)域的下邊界。,磁場上邊界如圖線所示。,兩邊界之間圖形的面積即為所

7、求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：,平行會聚于一點,一點發(fā)散成平行,結(jié)論4：如果在圓形勻強磁場區(qū)域的邊界上某點向磁場發(fā)射速率相同的帶電粒子，且粒子在磁場中運動的軌道半徑與磁場區(qū)域半徑相同，那么粒子射出磁場時運動方向一定相同反之，粒子以相同速度平行射人這樣的磁場，粒子就能會聚于磁場邊界上的某點。,磁會聚,平行飛入，定點會聚,磁擴聚,定點發(fā)射，平行飛出,例題：（2009年浙江卷）如圖，在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束

8、帶電微粒分布在0y2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。 （1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強度和磁感應(yīng)強度的大小與方向。 （2）請指出這束帶電微粒與x軸相 交的區(qū)域，并說明理由。 （3）在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?2v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在 哪里？并說明理由。,A,解析：（1）由mg=qE得E=mg/q；由qvB=mv2/r，r=R得B=mv/qR，方向垂直于紙面向外 （2）這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點。 方法一：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，其圓心位于其正下方的Q點，這束帶電微粒進入磁場

9、后的圓心軌跡是如圖的虛線半圓，此圓圓心是坐標(biāo)原點O。 方法二：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動。P點與O點的連線與y軸的夾角為，其圓心Q的坐標(biāo)為（-Rsin，Rcos）,圓周運動軌跡方程 解得：x=0 y=0（原點O）和x=-Rsin y=R(1+cos)（P點）,當(dāng)速度變?yōu)?V的帶電粒子，不具備“磁會聚”的條件，因此不會都通過O點。但此題可采用極端分析法，帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為r=2R的圓弧運動后，將在y軸的右方(x0)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運動，如圖所示?？拷隙它c發(fā)射出來的帶電微粒在突出磁場后會射向x同正方向的無窮遠(yuǎn)處；靠近下端點發(fā)射出來的帶電

10、微粒會在靠近原點之處穿出磁場。所以，這束帶電微粒與x同相交的區(qū)域范圍是x0.,例題：如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為L水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計一勻強磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強度可以是(其中 ，A、C、D選項中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項中曲線為半徑是L/2的圓)(),A,例題：如圖，環(huán)狀勻強磁場圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運動的帶電粒子，但由于環(huán)狀磁場的束縛，只要速度不很大，都不會穿出磁場的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑為 R2=1.0m，磁

11、場的磁感應(yīng)強度 B=1.0T，若被縛的帶電粒子的荷質(zhì)比為 q/m=4107C/kg，中空區(qū)域中帶電粒子具有各個方向的速度。試計算： （1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向 射入磁場，不能穿越磁場的最 大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁 場的最大速度。,答案：（1）1.5107m/s， （2）1.0107m/s。,圓形磁場臨界問題,例題：如圖，帶電質(zhì)點質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox 軸的速度v 從y 軸上的a 點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從 x 軸上的 b 點以垂直于 Ox 軸的速度v 射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于 xy平面、磁感應(yīng)強度為 B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，

12、試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。,解 ：質(zhì)點在磁場中圓周運動半徑為r=mv/Bq。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是1/4 圓周，如圖中M、N兩點間的圓弧。,在通過M、N兩點的不同的圓中，最小的一個是以MN 連線為直徑的圓周。,圓形磁場區(qū)域的最小半徑R=MN/2= mv/qB,圓形磁場最小面積問題,例題：如圖，質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從O點沿y 軸正方向射入磁感應(yīng)強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與 x 軸正方向的夾角為30，同時進入場強為E、方向沿與與x軸負(fù)方向成60角斜向下的勻強電場中，通過了b點正下方的C點。不計重

13、力，試求： （1）圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積； （2）C點到b點的距離h。,解：(1) 反向延長vb交y 軸于O2 點，作bO2 O的角平分線交x 軸于O1 ， O1即為圓形軌道的圓心，半徑為R = OO1 =mv/qB，畫出圓形軌跡交b O2于A點，如圖虛線所示。最小的圓形磁場區(qū)域是以O(shè)A為直徑的圓，,Smin = r2,OA = 2r,hsin 30=vt,(2) b到C 受電場力作用，做類平拋運動,t=2mv/qEtan 30,例題：平行金屬板M、N間距離為d。其上有一內(nèi)壁光滑的半徑為R的絕緣圓筒與N板相切，切點處有一小孔S。圓筒內(nèi)有垂直圓筒截面方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。電子與孔S及圓心O在同一直線上。M板內(nèi)側(cè)中點處有一質(zhì)量為m，電荷量為e的靜止電子，經(jīng)過M、N間電壓為U的電場加速后射入圓筒，在圓筒壁上碰撞n次后，恰好沿原