1、第四章 根軌跡法,Chapter 4 ROOT LOCUS,4.2 繪制根軌跡的基本法則,根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性 根軌跡分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 根軌跡的漸近線 根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn) 根軌跡的起始角和終止角 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 閉環(huán)特征方程根之和與根之積,規(guī)則1 根軌跡的對(duì)稱(chēng)性,實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)以及閉環(huán)零極點(diǎn)總是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)。它們往往在s平面上的分布是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的。因此根軌跡也是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的。利用對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，只需繪制實(shí)軸上半平面的根軌跡就可以了。,規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn),一般來(lái)說(shuō)，由于nm，所以特征方程是n次的。當(dāng)K取任何數(shù)值時(shí)，它總有n個(gè)根，由此便知根軌跡

2、共有n條分支。,根軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)目大者。,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。若 n m，還有n-m 條根軌跡終止于s平面無(wú)窮遠(yuǎn)處。,根軌跡的起點(diǎn)是指當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡的位置。由上式 可知，當(dāng)K=0時(shí)，該方程便蛻化為開(kāi)環(huán)特征方程，即,上式表明了根軌跡的起點(diǎn) 就是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,根軌跡的終點(diǎn)是指當(dāng)根軌跡增益 時(shí)根軌跡的位置。,當(dāng) 時(shí)，它將蛻化成為m次方程，而mn。,通常m n , 還有n-m 條根軌跡終止在什么地方？,將兩端同乘以 ，便得,當(dāng) 時(shí)，它化為,這仍是n次方程，它有n個(gè)根：,可見(jiàn)方程(4-13

3、)在時(shí)n個(gè)根應(yīng)是,我們?cè)谏鲜街凶鲋脫Q，令,實(shí)軸上的根軌跡只能是其右側(cè)開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的線段。共軛復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)確定實(shí)軸上的根軌跡無(wú)影響。,規(guī)則3 根軌跡在實(shí)軸上的分布,每對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為360；,s1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0。,s1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180；,？,規(guī)則4 根軌跡的漸近線,若m n ,當(dāng) k 時(shí)有 n-m 條根軌跡沿著 n-m 條漸近線趨于s平面無(wú)窮遠(yuǎn)處。,1. 漸近線的傾角,2. 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),規(guī)則5 根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn),分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：根軌跡在S平面某一點(diǎn)相遇后 又立即分開(kāi)

4、。,分離點(diǎn)必然是為D(s)某一數(shù)值時(shí)的重根點(diǎn)。,1、d坐標(biāo)值由分式方程解出,解析法,試湊法,坐標(biāo)值d由分式方程解出,根軌跡在S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有,或,兩式相除,或,即得,解出s1，即為分離點(diǎn)d,2、由重根法求解d,由代數(shù)方程式解的性質(zhì)可知，特征方程式出現(xiàn) 重根的條件是s值必須滿足下列方程，即,3、由 極值點(diǎn)求解d,規(guī)則6 根軌跡的出射角和入射角,出射角 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角,入射角 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角,根據(jù)相角條件確定 出射角和入射角,出射角的一般表達(dá)式為,計(jì)算入射角的表達(dá)式,式中， 為待

5、求開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) 的出射角； 為除去 外的其余開(kāi)環(huán)極點(diǎn)指向極點(diǎn) 的矢量的相角； 為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)指向極點(diǎn) 矢量的相角。,規(guī)則7 根軌跡與虛軸的交點(diǎn),根軌跡與虛軸相交閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。,1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值K*， 由K*值求出相應(yīng)的值,2）代數(shù)法,代入特征方程,聯(lián)立求解， 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)值和相應(yīng)的 臨界K*值。,規(guī)則8 特征方程式根之和與根之積。,1）(n-m)2時(shí)，根之和與根軌跡增益K*無(wú)關(guān)，是個(gè)常數(shù)， 且有,2）根之和不變K*增大，一些根軌跡分支向左移動(dòng)，則 一定會(huì)相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動(dòng)。,根之積,根之和,例4-2 已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,確定實(shí)軸上的根軌跡。 確定根軌跡的漸近線及與實(shí)軸交點(diǎn)。 確定分離點(diǎn)。 確定出射角。 確定根軌跡與