1、61垂直關系的判定學習目標1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2.掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3.會應用兩定義及兩定理證明有關的垂直問題知識點一直線與平面垂直的定義思考 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在移動，在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？梳理線面垂直的概念定義如果一條直線和一個平面內的_直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直記法有關概念直線l叫作平面的_，平面叫作直線l的_，它們唯一的公共點P叫作_圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定

2、定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)觀察折痕AD與桌面的位置關系思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？思考2當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？梳理判定定理文字語言如果一條直線和一個平面內的_都垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言la，lb，a，b，abAl圖形語言知識點三二面角思考1觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀數(shù)學上，用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？思考2平時，我們常說“把門開大一點”，在這里指的是哪個角大一點？梳理(1)定義：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形

3、(2)相關概念：這條直線叫作二面角的_兩個半平面叫作二面角的_(3)二面角的記法以直線AB為棱，半平面，為面的二面角，記作二面角AB.(4) 二面角的平面角：若有O_l；OA_，OB_；OA_l，OB_l，則二面角l的平面角是_知識點四平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關系？此時鉛錘線與地面什么關系？梳理(1)平面與平面垂直的概念定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直畫法：記法：_.(2)判定定理文字語言如果一個平面經(jīng)過另一個平面

4、的一條_，那么這兩個平面互相垂直圖形語言符號語言l，_類型一線面垂直的判定例1如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，求證：BC平面PAC.引申探究若本例中其他條件不變，作AEPC交PC于點E，求證：AE平面PBC.反思與感悟(1)使用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義線面垂直的判定定理如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面跟蹤訓練1如圖，已知PA垂直于O所

5、在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，過點A作AEPC于點E，作AFPB于點F，求證：PB平面AEF.類型二面面垂直的判定例2如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC平面ABCD，E為SA的中點求證：平面EBD平面ABCD.反思與感悟(1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個平面互相垂直，關鍵是證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線(2)證明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角跟蹤訓練2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中點證明：平面BDC1平面BDC.類型三與二面角有關的計算例3如圖，在

6、正方體ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值反思與感悟(1)求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角證明計算(2)為了能在適當位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰三角形等跟蹤訓練3如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上的一點，且PAAC，求二面角PBCA的大小1如果一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是()三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊A BC D2已知PA矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直

7、的平面有()A1對 B2對C3對 D5對3如圖，l，點A，C，點B，且BA，BC，那么直線l與直線AC的關系是()A異面 B平行C垂直 D不確定4三棱錐PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，則二面角PACB的大小為_5. 如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點求證：平面EFC平面BCD.1.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個結論：若ab，a，則b；若，a，則a.2證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂

8、線，那么這兩個平面互相垂直3證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的答案精析問題導學知識點一思考不變，90.梳理任何一條l垂線垂面垂足知識點二思考1不一定思考2當ADBD且ADCD時，折痕AD與桌面垂直梳理兩條相交直線知識點三思考1二面角思考2二面角的平面角梳理(1)兩個半平面(2)棱面(4)AOB知識點四思考都是垂直梳理(1)直二面角(2)垂線l題型探究例1證明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直徑，BCAC.而PAACA，BC平面P

9、AC.引申探究證明由例1知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.跟蹤訓練1證明由引申探究知AE平面PBC.PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，PB平面AEF.例2證明連接AC，與BD交于O點，連接OE.O為AC的中點，E為SA的中點，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.跟蹤訓練2證明由題設知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面

10、BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.例3解取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1OA1C1，又BA1BC1，O為A1C1的中點，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因為BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.設正方體的棱長為a，則OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值為.跟蹤訓練3解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直徑，且點C在圓周上，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.而PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.當堂訓練1A2.D3.C460解析由題意易得點P在平面ABC上的射影O是AB的中點取AC的中點Q，連接OQ，則OQBC.由