1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用1指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算疑點(diǎn)透析1如何理解n次方根的概念若一個(gè)數(shù)x的n次方等于a，那么x怎么用a來表示呢？是x嗎？這個(gè)回答是不完整的正確表示應(yīng)如下：x主要性質(zhì)有：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|a|2如何理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為個(gè)a相乘，它是根式的一種新的寫法規(guī)定(a0，m，nN*，且n1)，a(a0，m，nN*，且n1)，在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示相同意義的量，它們只是形式上的不同而已.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義，負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是否有意義，應(yīng)視m，n的具體數(shù)而定3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和整數(shù)指數(shù)冪有什么異同相同：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪都是有理數(shù)

2、指數(shù)冪，都可以利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算其運(yùn)算形式為atasats；(at)sats；(ab)tatbt，式中a0，b0，t、sQ，對(duì)于這三條性質(zhì)，不要求證明，但須記準(zhǔn)不同：整數(shù)指數(shù)冪表示的是相同因式的連乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，它表示的是根式4指數(shù)冪的運(yùn)算在這里要注意的是，對(duì)于計(jì)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)例1 化簡(jiǎn).解原式(aa)(aa)aa01.例2 求 的值解原式(3)333.例1、例2兩道例題都既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于計(jì)算.2解讀指數(shù)函數(shù)的四個(gè)難點(diǎn)在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)后，下面來分析突破指

3、數(shù)函數(shù)的幾大難點(diǎn)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)掌握難點(diǎn)之一：概念指數(shù)函數(shù)yax有三個(gè)特征：指數(shù)：指數(shù)只能是自變量x，而不能是x的函數(shù)；底數(shù)：底數(shù)為常數(shù)，大于0且不等于1；系數(shù)：系數(shù)只能是1.例1 給出五個(gè)函數(shù)：y26x；y(6)x；yx；yxx；y22x1.其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是_分析根據(jù)所給的函數(shù)對(duì)系數(shù)、底數(shù)、指數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行考察，是否滿足指數(shù)函數(shù)的定義解析對(duì)于，系數(shù)不是1；對(duì)于，底數(shù)小于0；對(duì)于，底數(shù)x不是常數(shù)；對(duì)于，指數(shù)是x的一次函數(shù)，故、都不是指數(shù)函數(shù)正確的是，只有符合指數(shù)函數(shù)的定義答案1難點(diǎn)之二：討論指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)，當(dāng)a1時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，是單調(diào)減函數(shù)例2 函數(shù)yax(a0

4、，且a1)在1,2上的最大值比最小值大，求a的值分析遇到底數(shù)是參數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先分類討論，此題應(yīng)先對(duì)a進(jìn)行分類討論，再列出方程并求出a.解當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)yax在1,2上的最大值是a2，最小值是a，依題意得a2a，即a2，所以a；當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)yax在1,2上的最大值是a，最小值是a2，依題意得aa2，即a2，所以a.綜上可知，a或a.難點(diǎn)之三：復(fù)合指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)等進(jìn)行復(fù)合時(shí)，特別是研究單調(diào)性時(shí)，應(yīng)掌握好“同增異減”法則例3 求函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間分析指數(shù)函數(shù)與指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的區(qū)別在于指數(shù)自變量是x還是x的函數(shù)此題先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的“

5、同增異減”法則求解解由x2x20知，函數(shù)的定義域是1,2令ux2x2(x)2，則y()，當(dāng)x1，時(shí)，隨x的增大，u增大，y減小，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為1，難點(diǎn)之四：圖象指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象特征是：當(dāng)a1時(shí)，在y軸的右側(cè)，a越大，圖象越往上排；在y軸左側(cè)，a越大，圖象越往下排當(dāng)0a1時(shí)恰好相反例4 利用指數(shù)函數(shù)的圖象比較0.70.3與0.40.3的大小分析可在同一坐標(biāo)系中作出y0.7x及y0.4x的圖象，從圖象中得出結(jié)果解如圖所示，作出y0.7x、y0.4x及x0.3的圖象，易知0.70.30.40.3.評(píng)注圖象應(yīng)記憶準(zhǔn)確，在第二象限中靠近y軸的函數(shù)應(yīng)是y0.4x，而不是y0.7x

6、，這一點(diǎn)應(yīng)注意.3對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)講解1對(duì)數(shù)的定義一般地，如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)解讀：(1)由對(duì)數(shù)定義可以知道，當(dāng)a0，且a1時(shí)，axNxlogaN，也就是說指數(shù)式與對(duì)數(shù)式實(shí)際上是表示a、N之間的同一種關(guān)系的兩種形式，因此可以互相轉(zhuǎn)化；(2)根據(jù)對(duì)數(shù)定義可以知道，alogaNN，即a的logaN次方等于N，對(duì)數(shù)恒等式也是化簡(jiǎn)或計(jì)算的重要公式2對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，所以axN(a0，且a1)中N總是正數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為0，由于任何非零實(shí)數(shù)的零次冪都等于1，

7、所以loga10；(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，由于a1a對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)都成立，所以logaa1.3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，即正數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的各個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)和；(2)logalogaMlogaN，即兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；(3)logaMnnlogaM，正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)這些性質(zhì)一般運(yùn)用于對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明中例1 將下列對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式、指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式(1)log33；(2)log2325；(3)63216；(4)1030.001.解(1)33.(2)2532.(3

8、)log62163.(4)log100.0013，也可寫成lg 0.0013.評(píng)注本題考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化解題所用知識(shí)都是依據(jù)對(duì)數(shù)的定義，要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)是指數(shù)的冪，對(duì)數(shù)的值是指數(shù)式中的指數(shù)例2 求下列各式的值(1)3log72log792log7；(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)原式log723log79log7()2log7log710.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(lg 52lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)22(lg 5lg 2)23.評(píng)注利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值和化簡(jiǎn)，是對(duì)數(shù)運(yùn)算常

9、見的題型，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的正向運(yùn)用可以把真數(shù)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算，體現(xiàn)了利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的優(yōu)越性.4換底公式的證明及其應(yīng)用換底公式是對(duì)數(shù)運(yùn)算、證明中重要的公式，但有些同學(xué)對(duì)其理解不深，應(yīng)用不好，故下面加以補(bǔ)充，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助一、換底公式及證明換底公式：logbN.證明設(shè)logbNx，則bxN.兩邊均取以a為底的對(duì)數(shù)，得logabxlogaN，xlogablogaN.x，即logbN.二、換底公式的應(yīng)用舉例1乘積型例1 (1)計(jì)算：log89log2732；(2)求證：logablogbclogcdlogad.分析先化為以10為底的常用

10、對(duì)數(shù)，通過約分即可解決解(1)換為常用對(duì)數(shù)，得log89log2732.(2)由換底公式，得logablogbclogcdlogad.評(píng)注此類型題通常換成以10為底的常用對(duì)數(shù)，再通過約分及逆用換底公式，即可解決2知值求值型例2 已知log1227a，求log616的值分析本題可選擇以3為底進(jìn)行求解解log1227a，解得log32.故log616.評(píng)注這類問題通常要選擇適當(dāng)?shù)牡讛?shù)，結(jié)合方程思想加以解決3綜合型例3 設(shè)A，B，試比較A與B的大小分析本題可選擇以19及為底進(jìn)行解題解A換成以19為底，B換成以為底，則有Alog1952log1933log192log193602，Blog2log5l

11、og10log22.故AB.評(píng)注一般也有倒數(shù)關(guān)系式成立，即logablogba1，logab.5精析對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)由對(duì)數(shù)的定義容易知道對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)是指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)在對(duì)數(shù)函數(shù)中自變量是對(duì)數(shù)式中的真數(shù)，函數(shù)值為對(duì)數(shù)，這一點(diǎn)在運(yùn)用對(duì)數(shù)時(shí)要謹(jǐn)記若對(duì)數(shù)式中的底數(shù)為自變量時(shí)，此函數(shù)不是對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的記憶與運(yùn)用的注意事項(xiàng)(1)數(shù)形結(jié)合利用圖象記憶性質(zhì)x1是“分水嶺”；(2)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)a大于1還是大于0小于1；(3)指數(shù)函

12、數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(其中a0，且a1)互為反函數(shù)，它們的概念、圖象、性質(zhì)，既有密切的聯(lián)系又有本質(zhì)的區(qū)別2對(duì)數(shù)函數(shù)圖象分布規(guī)律如圖所示，在同一坐標(biāo)系中多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的變化規(guī)律是：在直線x1的右邊區(qū)域，在x軸上方，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越大，且底數(shù)均大于1；在x軸下方，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越小，且底數(shù)均在(0,1)之間圖中的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d的大小關(guān)系是0ab1cd.在具體解題時(shí)，還可利用特殊值法例1 函數(shù)ylog(x1)(4x)的定義域是_解析由可得，所以函數(shù)的定義域是x|1x4，且x2答案x|1x4，且x2評(píng)注函數(shù)的定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量

13、x的集合，若出現(xiàn)對(duì)數(shù)，要使其真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.例2 函數(shù)ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的圖象如圖所示，則a、b、c、d與正整數(shù)1的大小順序是_解析作出直線y1，可知其與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別就是該對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a、b、c、d，于是cd1ab.答案cd1ab評(píng)注利用特殊值的辦法解決有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問題，可減輕記憶的負(fù)擔(dān)，使問題得到迅速地解決6巧解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題指數(shù)函數(shù)yax和對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們有共同的底數(shù)，且底數(shù)起了核心作用，其變化規(guī)律是：當(dāng)a1時(shí)，它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)

14、都是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是單調(diào)減函數(shù)，因此在解決指、對(duì)函數(shù)型問題時(shí)，以底數(shù)為突破口，往往能夠快速解題1共享底數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化，其底數(shù)一致，即logaNb，abN.利用它可以解決指、對(duì)數(shù)方程及互化等問題例1 方程log3(123x)2x1的解x_.解析將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，得32x112 3x，即3(3x)223x10，得3x，故x1.答案12亮出底數(shù)在有些指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問題，特別是圖象問題中，只要突出底數(shù)作用，即亮出底數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，就可解決例2 當(dāng)a1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，能表示函數(shù)yax與ylogax的圖象是_解析由a1，得01，則指數(shù)函數(shù)yax()x在R上

15、是單調(diào)減函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，故符合答案3變換底數(shù)對(duì)數(shù)或指數(shù)運(yùn)算最怕是不同底，這時(shí)可利用換底公式等手段變換底數(shù)例3 若loga2logb20，則下列各式成立的是_0ab1；0ba1；ab1；ba1.解析化為同底，有0，從而log2blog2a0，即log2blog2alog21.對(duì)數(shù)函數(shù)ylog2x在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，0ba1.答案4討論底數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)不定時(shí)，常分0a1與a1兩種情況進(jìn)行討論例4 函數(shù)yax在0,1上的最大值與最小值的差為5，則a_.解析由題意知，a0，且a1.當(dāng)a1時(shí)，有a1a05，即a6；當(dāng)0a1時(shí)，有a0a15，即a4(舍去)綜上知，a6.

16、答案65消去底數(shù)有時(shí)候指數(shù)及對(duì)數(shù)問題的底數(shù)存在，會(huì)給解題帶來一定的麻煩，我們還可利用轉(zhuǎn)化的思想(如用同底法、換底法等)消去底數(shù)，使問題簡(jiǎn)化例5 設(shè)0x1，a0且a1，試比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小解作商|log(1x)(1x)|，0x1，01x1,11x2,01x21，|log(1x)(1x)|log(1x)(1x)log(1x)log(1x)log(1x)(1x)1.|loga(1x)|loga(1x)|.7三種數(shù)學(xué)思想在冪函數(shù)中的應(yīng)用1分類討論的思想例1 若(a1)(32a)，試求a的取值范圍分析利用函數(shù)yx的圖象及單調(diào)性解題，注意根據(jù)a1,32a是否在同一單調(diào)區(qū)間

17、去分類解分類討論或或解得a1或a.評(píng)注考慮問題要全面，謹(jǐn)防考慮不周導(dǎo)致錯(cuò)誤，本題是根據(jù)a1,32a是否在同一單調(diào)區(qū)間去分類用分類討論的思想解題時(shí)應(yīng)做到標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏2數(shù)形結(jié)合的思想例2 當(dāng)0x時(shí)，4x1時(shí)，當(dāng)0x時(shí)，logax0，不合題意0a1時(shí)，只需4loga，即logaa2，又a(0,1)，a.答案評(píng)注數(shù)形結(jié)合是一類重要的數(shù)學(xué)思想方法，它把抽象的關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜的問題一目了然3轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想例3 指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并比較f()與f()的大小解因?yàn)閒(x)11(x2)2，所以其圖象可由冪函數(shù)yx2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，如圖所示所以f(x)在(

18、2，)上是單調(diào)減函數(shù)，在(，2)上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱又因?yàn)?()2，(2)2，所以2f()評(píng)注通過化簡(jiǎn)、變形等，可將復(fù)雜的、不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的函數(shù)形式，進(jìn)而運(yùn)用其性質(zhì)來解題.8函數(shù)的零點(diǎn)及應(yīng)用一、要點(diǎn)掃描1函數(shù)零點(diǎn)的理解：(1)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)有零點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)的判定常用方法：(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)解方程f(x)0.3曲線的交點(diǎn)問題：(1)曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，

19、從而轉(zhuǎn)化為方程的根；(2)求曲線yf(x)與yg(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)，即求方程f(x)g(x)0的根二、典型例題剖析1求函數(shù)的零點(diǎn)例1 求函數(shù)f(x)x33x2的零點(diǎn)解令f(x)x33x20，(x2)(x1)20.x2或x1，函數(shù)f(x)x33x2的零點(diǎn)為2,1.評(píng)注求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求f(x)0的根，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，或利用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題2判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2 已知函數(shù)f(x)ax(a1)，判斷函數(shù)f(x)0的根的個(gè)數(shù)解設(shè)f1(x)ax(a1)，f2(x)，則f(x)0的

20、解，即為f1(x)f2(x)的解，即為函數(shù)f1(x)與f2(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)f1(x)ax(a1)與f2(x)的圖象(如圖所示)所以方程f(x)0的根有一個(gè)評(píng)注利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，在同一坐標(biāo)系下作出f1(x)與f2(x)兩函數(shù)的圖象，從而觀察出兩函數(shù)的交點(diǎn)(即是原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù))3確定零點(diǎn)所在的區(qū)間例3 設(shè)函數(shù)yx3與y()x2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是下列中的_(填序號(hào))(0,1)；(1,2)；(2,3)；(3,4)解析yx3與y()x2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為x3()x2的根，即f(x)x3()x2的零點(diǎn)，f(1)1()110，f(

21、2)23()070，f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)答案評(píng)注本題考查函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)對(duì)運(yùn)算能力和理解能力的要求4利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)范圍例4 關(guān)于x的二次方程x2(m1)x10在0,2上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解設(shè)f(x)x2(m1)x1，x0,2，又f(0)10，由題意得或 解得3m1，解得m3.即m1.所以m的取值范圍為(，1評(píng)注本題實(shí)質(zhì)是對(duì)一元二次方程根的個(gè)數(shù)的討論，解題過程中利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、分類討論思想、方程與不等式的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力和分析問題的能力有很高的要求9零點(diǎn)問題考向探究函數(shù)零點(diǎn)就是方程的根，這為我們提供了一個(gè)通過函數(shù)性質(zhì)確定

22、方程根的途徑，是近幾年課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn)本節(jié)結(jié)合實(shí)例歸納有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問題的幾類熱點(diǎn)題型一、判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性例1已知函數(shù)f(x)2x34x23x1，那么在區(qū)間長(zhǎng)度為1的條件下，下列敘述不正確的是_(填序號(hào))函數(shù)在區(qū)間(1,0)內(nèi)有零點(diǎn)；函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)；函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)；函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)分析根據(jù)選項(xiàng)提供的區(qū)間來看，需要計(jì)算f(1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相鄰兩個(gè)函數(shù)之間的符號(hào)關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)零點(diǎn)的所在區(qū)間解析因?yàn)閒(1)20，f(1)40，f(2)50，所以f(1)f(0)0，f(0)f(1)0，f(2)f(3)1時(shí)，y 1，

23、ycos x1，所以兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程cos x0在0，)內(nèi)只有一個(gè)根，所以f(x)cos x在0，)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)答案評(píng)注函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)求方程f(x)g(x)的根或根的個(gè)數(shù)，即求函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)三、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間例3函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是下列中的_(填序號(hào))(2，1)；(1,0)；(0,1)；(1,2)解析因?yàn)閒(1)30，f(0)10，所以f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點(diǎn)答案評(píng)注若f(a)f(b)0，且f(x)在a，b上連續(xù)，則yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定有

24、零點(diǎn)，但要注意，若f(a)f(b)0，并不能證明f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn).10解讀二分法“二分法”主要用途在于求函數(shù)的零點(diǎn)、求方程的近似解以及求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等在學(xué)習(xí)的過程中，我們應(yīng)重視從本質(zhì)上理解和掌握“二分法”的實(shí)質(zhì)，合理準(zhǔn)確地使用“二分法”解題一、定義對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法二、適用條件若用“二分法”求函數(shù)yf(x)零點(diǎn)的近似值，必須具備兩個(gè)條件：函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上圖象要連續(xù)不斷例如函數(shù)y圖象不連續(xù)，要求它在0

25、,3上零點(diǎn)的近似值，區(qū)間的中點(diǎn)1.5根本就不在定義域內(nèi)，不能用“二分法”；必須滿足f(a)f(b)0，這說明yf(x)在區(qū)間(a，b)上一定有零點(diǎn)，否則若f(a)f(b)0，則yf(x)在區(qū)間(a，b)上有無零點(diǎn)不能保證，不能用“二分法”三、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般步驟給定精確到，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確到；2求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；3計(jì)算f(c)：(1)若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)4判斷

26、是否達(dá)到精確到：即若a，b精確到的值相等，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)步驟24.四、二分法的優(yōu)、缺點(diǎn)二分法的優(yōu)點(diǎn)在于其解題思想簡(jiǎn)單易懂，即為“取區(qū)間中點(diǎn)，層層逼近零點(diǎn)”的原則，其體現(xiàn)了過程的機(jī)械性和簡(jiǎn)單性缺點(diǎn)在于其求解過程中計(jì)算量較大，必要時(shí)要用到計(jì)算器，計(jì)算要求準(zhǔn)確性高，可謂是“一步走錯(cuò)則全盤皆輸”例 求方程x22x10的一個(gè)大于零的近似解(精確到0.1)分析先利用函數(shù)圖象直觀得到某根所在的區(qū)間解設(shè)f(x)x22x1，先畫出函數(shù)圖象的草圖，如圖所示f(2)10，f(3)20，在區(qū)間(2,3)上，方程x22x10有一解，記為x1，取2和3的平均數(shù)2.5，f(2.5)0.250，x1(2,2.5)

27、，再取2與2.5的平均數(shù)2.25，f(2.25)0.437 50，x1(2.25,2.5)，如此繼續(xù)下去，得f(2.375)0，f(2.437 5)0，則x1(2.375,2.437 5)，2.375與2.243 75精確到0.1的近似值都為2.4，方程的近似解為x12.4.評(píng)注運(yùn)用二分法的前提是先判斷某根所在的大概區(qū)間 11函數(shù)與方程，唇齒相依函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，

28、通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，對(duì)于函數(shù)yf(x)(如果yax2bxc可以寫成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系很重要，我們應(yīng)熟練掌握下面我們就具體看一下函數(shù)與方程的應(yīng)用舉例一、判斷方程解的存在性例1 已知函數(shù)f(x)3x32x21，判斷方程f(x)0在區(qū)間1,0內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？分析可通過研究函數(shù)f(x)在1,0上函數(shù)的變化情況判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，從而判定方程是否有解解因?yàn)閒(1)3(1)32(1)214

29、0，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1，得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0時(shí)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)，故g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)因此方程f(x)1僅有一個(gè)根答案1評(píng)注在區(qū)間a，b上單調(diào)且圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)，若f(a)f(b)0或k4.故k的取值范圍是(，4)(0，)評(píng)注本題是一個(gè)利用函數(shù)圖象解方程根的分布問題的典例一般的，關(guān)于根的分布問題，可引入函數(shù)，由函數(shù)圖象的特征聯(lián)想解決，使問題得到巧妙解決.12函數(shù)應(yīng)用問題“講”與“練”講解一求函數(shù)模型例1 某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對(duì)某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅已知這種電

30、子產(chǎn)品國(guó)內(nèi)市場(chǎng)零售價(jià)為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時(shí)，則每年銷售量將減少t(t0)萬件請(qǐng)將稅金收入表示為征收附加稅的函數(shù)解設(shè)每年銷售量為x萬件，則每年銷售收入為250x萬元，征收附加稅為y250xtx.依題意，知x40t0，即t25.故所求的函數(shù)關(guān)系式為yt4t2100t(0t25)評(píng)注在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一要注意自變量的取值范圍，二要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求練習(xí)1 將進(jìn)貨單價(jià)為70元的商品按100元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí)，其銷售量就減少15個(gè)，求利潤(rùn)y與每個(gè)商

31、品漲價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式答案y15x250x15 000講解二函數(shù)模型的選用例2 某蔬菜基地種植青瓜，由歷年市場(chǎng)行情得知，從4月1日起的300天內(nèi)，青瓜的種植成本Q(萬元)與上市時(shí)間t(天)的關(guān)系如下表所示：種植成本Q(萬元)150100上市時(shí)間t(天)50150模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)Qa(t150)2b(a，b為常數(shù)，且a0)，或一次函數(shù)Qktm(k，m為常數(shù)，且k0)已知種植成本Q112.5萬元時(shí)，上市時(shí)間t200天，則用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由分析根據(jù)題目給定的兩組Q，t的值，可分別求出模擬函數(shù)中的未知量a，b，k，m.解設(shè)f(t)a(t150)2b(其中a，b為常數(shù)

32、，a0)，g(t)ktm(k0)由已知，得所以解得所以f(t)(t150)2100，g(t)t175.因?yàn)閒(200)(200150)2100112.5，g(200)20017575，所以選用f(t)(t150)2100作為模擬函數(shù)較好評(píng)注本題不能憑空下結(jié)論，而要通過具體計(jì)算得到在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖、建立坐標(biāo)系等，以使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化練習(xí)2 現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：x123y1.53.517.5其中最能近似地表達(dá)這些數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)是_y2x1；yx21；y2x；yx3x1.答案講解三轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型例3 有A，B兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是M(萬元)和N(萬元)，它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：Mx，N，今有4萬元資金投入經(jīng)營(yíng)A，B兩種商品為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)分別對(duì)A，B兩種商品的資金投入多少萬元？解設(shè)對(duì)A種產(chǎn)品投資x萬元，則對(duì)B種產(chǎn)品投資(4x)萬元于是獲得總利潤(rùn)yx.由得0x4.令t(0x4)，則x4t2(0t2)所以y(4t2)t2(0t2)于是，當(dāng)t時(shí)，ymax(萬元)此時(shí)，x4t21.75(萬元)，4x2.25(萬元)故為了獲得最大利潤(rùn)，對(duì)A種商品的資金投