1、1,總復(fù)習(xí) 無(wú)窮級(jí)數(shù),主要內(nèi)容有,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂,冪級(jí)數(shù)求收斂域、和函數(shù)及函數(shù)的冪級(jí)數(shù) 展開(kāi),2,一、基本題型,3,4,例1 選擇題,1. 設(shè)常數(shù) k 0 , 則級(jí)數(shù),(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對(duì)收斂 ; (C) 條件收斂 ; (D) 收斂與發(fā)散與 k 有關(guān) .,提示:,絕對(duì)收斂,條件收斂,C,5,2. 設(shè) a 是常數(shù) , 則級(jí)數(shù),(A) 絕對(duì)收斂; (B) 條件收斂 ; (C) 發(fā)散 ; (D) 收斂性與 a 的取值有關(guān) .,提示:,而,發(fā)散 ,故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,C,絕對(duì)收斂,6,( 常數(shù) a 0 ) ( ),3. 級(jí)數(shù),(A) 發(fā)散; (B) 條件收斂 ; (C) 絕對(duì)收斂; (D) 收

2、斂性與 a 的有關(guān) .,提示:,因,收斂 ,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 , 所以應(yīng)選 ( C ),C,7,4. 設(shè) 常數(shù),(A) 發(fā)散; (B) 條件收斂 ; (C) 絕對(duì)收斂; (D) 收斂性與 有關(guān) .,提示:,而,和,都收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,C,收斂 , 則級(jí)數(shù),且級(jí)數(shù),8,且,5. 設(shè),提示: 正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,收斂,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,A,則級(jí)數(shù),收斂 , 常數(shù),(A) 絕對(duì)收斂 ; (B) 條件收斂 ; (C) 發(fā)散 ; (D) 斂散性與 有關(guān) .,9,肯定收斂的是（ ),6. 設(shè),則下列級(jí)數(shù)中,提示:,D,收斂,絕對(duì)收斂,10,7. 冪級(jí)數(shù),的收斂半徑 R = .,提示:,當(dāng),時(shí)級(jí)數(shù)收斂,

3、11,的收斂域?yàn)?則 a 應(yīng)滿足 .,提示:,當(dāng)且僅當(dāng)0 a 1 時(shí),0 a 1,8. 若冪級(jí)數(shù),12,9. 設(shè),的傅立葉級(jí)數(shù)為,則系數(shù), 級(jí)數(shù)在,處收斂于,提示:,13,判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,例2,14,15,16,原級(jí)數(shù)為條件收斂。,17,解,原級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)發(fā)散,解,原級(jí)數(shù)發(fā)散。,18,10、,解,又,則原級(jí)數(shù)為條件收斂。,發(fā)散,19,解,原級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)發(fā)散。,20,21,22,解:,收斂,14,23,15.,解:,所以當(dāng),即,時(shí),收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,即,時(shí)原級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)為條件收斂。,或,時(shí),發(fā)散，,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散。,當(dāng),時(shí)原級(jí)數(shù),發(fā)散。,當(dāng),且,24,例3. 給定級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)收斂 , 當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 .,當(dāng) 時(shí),提示:,故,時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 ;,時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,時(shí),故原級(jí)數(shù)也發(fā)散,25,例4. 設(shè)冪級(jí)數(shù),必定在區(qū)間 內(nèi)收斂.,的收斂半徑為 3 , 則冪級(jí)數(shù),提示: 令,則,收斂半徑均為 3 ,(2 , 4),故,必在,這里關(guān)鍵用到冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)后收斂半徑不變,即,內(nèi)收斂 .,與,26,例5. 求冪級(jí)數(shù),的收斂區(qū)間.,解: 令,則,又,時(shí)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于 0 ,因此收斂區(qū)間為,27,解,例6,28,29,解: 原式=,求和函數(shù)：,例7,30,原式,顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也