1、1,第五章 不等概率抽樣,第一節(jié) 不等概率抽樣概述 第二節(jié) 放回不等概率抽樣 第三節(jié) 不放回不等概率抽樣,2,第一節(jié) 不等概率抽樣概述,一、不等概率抽樣的必要性 在簡單隨機(jī)抽樣中，總體(或?qū)?中的每個單元入樣的概率都相等。如果總體中的每個單元在該總體中的地位(或重要性)相差不多，則這種基于等概率的抽樣是理所當(dāng)然的選擇。等概率抽樣不僅實(shí)施簡單，而且相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理公式也簡單。但是在許多實(shí)際問題中，我們還需要使用不等概率抽樣(sampling with unequal probabilities)。,3,一種情況是調(diào)查的總體單元與抽樣總體的單元可能不一致。 另一種需要用到不等概率抽樣的情況是，抽樣單

2、元在總體中所占的地位不一致。 最重要的一種不等概率抽樣乃是使每個單元入樣的概率與該單元的大小成比例的抽樣(sampling with probabilities proportional to sizes，簡稱PPS抽樣)。,4,第三種需用不等概率抽樣的情況是為了改善估計(jì)量的特性。每個可能的樣本若被抽中的概率與樣本中單元的輔助變量之和成正比的話，則按此進(jìn)行不等概率抽樣所得到的樣本，用通常的比估計(jì)方法所得的估計(jì)量是無偏的。,5,總之，在實(shí)際工作中需要我們經(jīng)常采用不等概率抽樣。另外，從上面列舉的情況也可看到，凡需使用不等概率抽樣的場合，必須提供總體單元的某種輔助信息，例如每個單元的“大小”度量Mi

3、或輔助變量Xi等。,6,二、不等概率抽樣的主要分類,不等概率抽樣可按多種原則進(jìn)行分類。鑒于不等概率抽樣同時(shí)會帶來目標(biāo)量估計(jì)及其方差估計(jì)的復(fù)雜性，可分為 放回抽樣：每次在總體(或?qū)?中按一定概率抽取一個單元，抽取后放回總體，再進(jìn)行下一次抽樣，每次抽樣都是獨(dú)立的。 不放回抽樣。其代價(jià)是：由于喪失了獨(dú)立性，無論是抽樣方法還是方差估計(jì)，都要比放回抽樣繁復(fù)得多。,7,另一種分類是：視每次抽樣概率(放回抽樣的情形)或每個單元的入樣概率(不放回抽樣的情形)是否嚴(yán)格地與單元的大小成比例。另外，看樣本量n是固定的還是隨機(jī)的。最重要的情形乃是當(dāng)n固定，且上述概率與單元大小嚴(yán)格成比例的不等概率抽樣。以后我們將這種情

4、形的放回抽樣稱為PPS抽樣，稱相應(yīng)的不放回抽樣為PS抽樣。,8,對于不放回抽樣，按其樣本單元抽取方式的不同又可分為以下幾種方法： 1.逐個抽取法。每次從尚未入樣的單元中以一定概率抽取一個單元，這個概率通常與已經(jīng)入樣的單元有關(guān)， 2.重抽法。以一定概率逐個進(jìn)行放回抽樣，若一旦抽到重復(fù)單元，則放棄所有已抽到的單元而重新抽取，直到抽到規(guī)定單元數(shù)且所有入樣單元都不同為止。,Back,9,3.系統(tǒng)抽取法。將總體單元按某種順序排列，且將規(guī)定的單元入樣（或其倍數(shù)）累計(jì)起來，并確定抽樣間隔，在這個范圍內(nèi)產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)以確定初始入樣單元，然后按上述抽樣間隔確定其余的樣本單元。 4.全樣本方法。對每個可能樣本規(guī)定

5、一個被抽中的概率，按這個概率一次抽取整個樣本。,Back,10,三、不等概率抽樣的特點(diǎn),不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是由于使用了輔助信息，提高了抽樣策略的統(tǒng)計(jì)效率，與簡單隨機(jī)抽樣甚至與分層抽樣相比，能顯著地減少抽樣誤差。,11,不等概率抽樣有以下的缺點(diǎn)：,抽樣框中的所有單元，都要有高質(zhì)量的、能用作大小度量的輔助信息； 抽樣框的創(chuàng)建比簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣成本高，更復(fù)雜，因?yàn)樾枰攘亢痛鎯傮w中每一個單元的大小； 并非在任何情況下都能使用，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€總體都有穩(wěn)定且與主要調(diào)查變量相關(guān)的有關(guān)大小或規(guī)模的度量； 抽樣及估計(jì)（特別對不放回抽樣）相當(dāng)復(fù)雜； 當(dāng)單元大小度量不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定時(shí)不適用，此時(shí)更好的

6、辦法是將單元按大小分組并使用分層抽樣。,Back,12,第二節(jié) 放回不等概率抽樣,一、多項(xiàng)抽樣 多項(xiàng)抽樣是一種最簡單的不等概率抽樣。它是從容量為N的總體中有放回地進(jìn)行獨(dú)立抽樣，每次抽樣中，使抽到第i個單元的概率為Zi，i=1，2，N， ，連續(xù)抽n次，從而抽到n個單元。,13,若記 為總體中第i個單元在n次抽樣中被抽到的次數(shù)，顯然對每個i都有： ， 且 。作為隨機(jī)變量（ ， ， ）， 它的聯(lián)合分布即是以下的多項(xiàng)分布： 這就是多項(xiàng)抽樣這個術(shù)語的來源。,14,根據(jù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，有 當(dāng)每個單元具有一個說明其大小或規(guī)模 的度量時(shí)，每個單元在每次抽樣中的入樣概率與單元大小成比例，稱這種特殊的多項(xiàng)抽樣為放

7、回的與大小成比例的概率抽樣，簡稱PPS抽樣。,15,二、PPS抽樣 PPS抽樣是與大小（或規(guī)模）成比例的概率抽樣，是一種使用輔助信息從而使入樣概率不相等的抽樣技術(shù)。 如果總體單元的大小或規(guī)模變化很大，且這些大小是已知的，這樣的信息就可以用在抽樣中，以提高統(tǒng)計(jì)效率。如果單元大小的度量是準(zhǔn)確的，而且所研究的變量與單元的大小相關(guān)，PPS抽樣能極大地提高精度。但如果大小的度量不大準(zhǔn)確，最好按大小分組并使用分層抽樣。,16,PPS抽樣的入樣概率。如上所述，PPS抽樣時(shí)可取 為第i個單元的入樣概率，其中 是總體中所有單元的“大小”之和， 為第i個單元的大小。,17,有時(shí)，關(guān)于單元的大小 只是約略知道或這個

8、“大小”并不是用單元所含的次級單元數(shù)來表示的，而是用其它有關(guān)尺度來計(jì)量。此時(shí)，設(shè)第i單元大小的計(jì)量尺度為 ，則有： 這時(shí)的PPS抽樣也稱作PPZ抽樣。,18,三、多項(xiàng)抽樣的實(shí)施方法 如何抽取一個不等概率樣本呢？有三種主要方法：代碼法、系統(tǒng)法及隨機(jī)系統(tǒng)法。以下的討論以PPS抽樣為例，并假定單元大小皆為整數(shù)。,19,（1）代碼法(累計(jì)和法，隨機(jī)法或漢森赫維茨法) 設(shè)N不太大，且 （或 ）為第i單元大小的度量，且為整數(shù)，對總體中的每個單元計(jì)算累計(jì)大小，得到總體所有單元代碼的累計(jì)和 ，對總體中每個單元確定與它相對應(yīng)的代碼范圍；在1到總的累計(jì)大小 范圍內(nèi)抽取一個隨機(jī)數(shù)，該隨機(jī)數(shù)相應(yīng)的代碼范圍中的單元即為

9、入樣單元。重復(fù)上述步驟，直到抽得n個單元為止。,20,PPS抽樣時(shí)，單元的代碼如下表：,21,（2）拉希里法（二次抽樣法） 代碼法要將 累計(jì)，在N不太大時(shí)是適用的，但當(dāng)N很大時(shí)，就很不方便。此時(shí)可用Lahiri（拉希里）1951年提出的方法。 令 每次抽取一個范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù) 及 范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)m，若 ，則第 單元入樣；否則,重抽 。此時(shí)，第i個單元的入樣概率與 成正比，從而 。重復(fù)這一過程，直到抽夠所需的 個單元。,22,（3）系統(tǒng)PPS抽樣方法 對總體中的每個單元，計(jì)算累計(jì)大??； 對總體中每個單元確定與它相對應(yīng)的代碼范圍； 確定抽樣間隔k=總累計(jì)大小/n； 在1和k的范圍內(nèi)確定一個隨機(jī)起點(diǎn)r

10、； 與代碼r，r+k，r+2k，r+（n-1）k所在范圍相對應(yīng)的單元入樣。 注意，當(dāng)r+（n-1）k超過總累計(jì)大小時(shí)，應(yīng)使用圓形系統(tǒng)抽樣中的模余數(shù)法。,23,（4）隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法 在這種方法中，名錄在系統(tǒng)抽樣前要進(jìn)行隨機(jī)排序。如果完全按原來的排序，會把一些可能的樣本排除在外。在上面介紹的系統(tǒng)抽樣的例子中，不可能把單元3和4同時(shí)抽入同一個樣本。把名錄重新隨機(jī)排列后會增加潛在的可能抽到的樣本數(shù)量。 實(shí)際上這些方法都有些問題。例如，對系統(tǒng)抽樣法或隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法，一個大小大于抽樣間隔的單元，就有重復(fù)被抽中的可能。只有把這些大單元放入單獨(dú)的一個層，并獨(dú)立地對它們進(jìn)行抽樣，才能克服這個問題。另一個問題是估

11、計(jì)值的抽樣方差估計(jì)比較困難。,24,四、估計(jì)量 對于多項(xiàng)抽樣，由于抽樣是不等概率的，每個樣本單元的觀測值就不再是“平等的”，因此對于總體參數(shù)的估計(jì)與等概率抽樣不同。漢森赫維茨提出，如果 是按 為入樣概率的多項(xiàng)抽樣抽得的樣本指標(biāo)值，相應(yīng)的 為 ，則總體總和Y的無偏估計(jì)量如下：,25,且 若n1，則 的無偏估計(jì)量為,26,對于PPS抽樣， ，所以有 其中 是第i個樣本單元的觀測值，例如商店的年銷售額，而 是該單元的大小，例如商店的員工人數(shù)，則 即是第i個商店人均年銷售額。對n個 取平均即是樣本商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)人均年銷售額的平均，將此數(shù)乘以 ，即該地所有商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的員工總數(shù)，即可獲得該地商業(yè)銷售總額的估計(jì)。,

12、27,舉例： 下表是某系統(tǒng)全部N=36個單位上一年職工人數(shù) 及當(dāng)年職工人數(shù) 的數(shù)據(jù)，以 為單位大小 的度量，對單位進(jìn)行PPS抽樣，n=6，估計(jì)全系統(tǒng)當(dāng)年職工總?cè)藬?shù)Y，并與簡單隨機(jī)抽樣做精度比較。,某系統(tǒng)各單位上一年與當(dāng)年職工人數(shù),某系統(tǒng)各單位上一年與當(dāng)年職工人數(shù),某系統(tǒng)各單位上一年與當(dāng)年職工人數(shù),某系統(tǒng)各單位上一年與當(dāng)年職工人數(shù),某系統(tǒng)各單位上一年與當(dāng)年職工人數(shù),解： 對單位進(jìn)行PPS抽樣：根據(jù)公式，Y的漢森-赫維茨估計(jì) 的理論方差為：,五.按與群大小Mi成比例的PPS抽樣抽取群：,例：某公司分8個部門，共有職工12950人，各部門職工 數(shù)如下： 按與職工數(shù)成比例的概率抽3個部門。,（1）隨機(jī)

13、數(shù)為2011、7972、10281，問抽中哪幾個部 門？ （2）若三個部門的職工病假天數(shù)依次為4320、4160、 5790。估計(jì)該公司每個職工平均病假天數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。 解：,六 多階段有放回不等概抽樣 對初級單元進(jìn)行放回不等概率抽樣時(shí),總體總和Y的估計(jì) 第一階抽樣按放回不等概率抽樣(多項(xiàng)抽樣)抽取初級元， 第二階抽樣并沒有作出特別的規(guī)定,只要初級單元指標(biāo)Yi的估計(jì) 是無偏的.,自加權(quán)情形： 第一階抽樣按放回不等概率抽樣抽取初級單元， 第二階抽樣都抽取m個。,自加權(quán)情形： 第一階抽樣按PPS抽樣抽取初級單元， 第二階抽樣按簡單隨機(jī)抽樣抽取次級單元，都抽取m個。,實(shí)際工作中，對于各級單元大小不相等

14、時(shí)多階抽樣，自加權(quán)通常的做法是： 除了最后一階采用等概率抽樣(放回的或不放回的均可)，前幾階均采用PPS抽樣，并且自第二階開始，每一階的樣本量都相同(即mi=m，kj=k,)，則樣本是自加權(quán)的，其估計(jì)量的形式非常簡單。 總體總和的估計(jì)為 的方差估計(jì)為,七、各級單元大小不相等時(shí)，多階抽樣的總樣本量及最 優(yōu)樣本量的配置 二階自加權(quán)情形： 第一階抽樣按PPS抽樣抽取初級單元， 第二階抽樣按簡單隨機(jī)抽樣抽取次級單元，都抽取m個。,實(shí)際工作中，對于各級單元大小不相等時(shí)多階抽樣，自加權(quán)通常的做法是： 除了最后一階采用等概率抽樣(放回的或不放回的均可)，前幾階均采用PPS抽樣，并且自第二階開始，每一階的樣本

15、量都相同(即mi=m，kj=k,)，則樣本是自加權(quán)的，其估計(jì)量的形式非常簡單。 總體總和的估計(jì)為 的方差估計(jì)為,這時(shí)，多階抽樣的總樣本量可以這樣確定： 1.根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣時(shí)應(yīng)抽樣本量 2.再乘以設(shè)計(jì)效應(yīng)deff獲得。 多階抽樣與簡單隨機(jī)抽樣相比其效率比較低，deff 應(yīng)該大于1。實(shí)際工作中，可取deff的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。不同項(xiàng) 目的deff不同。,例: 某調(diào)查公司接受了一項(xiàng)關(guān)于全國城市成年居民人均奶制品消費(fèi)支出及每天至少喝一杯鮮奶的人數(shù)的比例情況的調(diào)查。確定抽樣范圍為全國地級及以上城市中的成年居民。成年居民指年滿18周歲以上的居民。 第一步：確定抽樣方法。 調(diào)查公司決定采用多階抽樣方法進(jìn)行方案設(shè)計(jì)

16、，調(diào)查的最小單元為成年居民。確定調(diào)查的各個階為城市、街道、居委會、居民戶，在居民戶中利用二維隨機(jī)表(Kish隨機(jī)表的簡化)抽取成年居民。 第二步：確定樣本量及各階樣本量的配置。 按簡單隨機(jī)抽樣時(shí)，在95置信度下，絕對誤差為5，取使方差達(dá)到最大時(shí)的消費(fèi)奶制品的居民比例為50，則全國樣本量應(yīng)為：,根據(jù)以往調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)回答率b=80，因此調(diào)整樣 本量為： 多階抽樣的效率比簡單隨機(jī)抽樣的效率低，這里取設(shè)計(jì) 效應(yīng)deff=3.2，則在全國范圍內(nèi)應(yīng)調(diào)查的樣本居民為： 各階的樣本量配置為： 初級單元：20個城市； 二級單元：每個樣本市內(nèi)抽4個街道，共80個街道； 三級單元：每個樣本街道內(nèi)抽2個居委會，共

17、160個居委會； 四級單元：每個樣本居委會內(nèi)抽10個居民戶，1600個居戶。 在樣本居民戶內(nèi)，利用二維隨機(jī)表抽1名成年居民。,第三步：確定抽樣方法。 第一階，在全國城市中按與人口數(shù)成比例的放回的不等 概抽樣，即PPS抽樣。 第二階和第三階分別按與人口數(shù)成比例的不等概等距抽 樣。 以第二階為例，在某個被抽中的樣本城市中，將其所屬 的街道編號，搜集各街道的人口數(shù)，賦予每個街道與其人口 相同的代碼數(shù)；根據(jù)該市總?cè)丝跀?shù)除以樣本量4，確定抽樣間 距；然后對代碼進(jìn)行隨機(jī)起點(diǎn)的等距抽樣，則被抽中代碼所 在的街道為樣本街道。 第四階，分別在每個樣本居委會中，按等距抽樣抽出10個 民戶。 即根據(jù)居委會擁有的居民

18、戶數(shù)除以樣本量10得到抽樣距， 然后隨機(jī)起點(diǎn)等距抽樣。,在每個樣本居民戶中，調(diào)查員按二維隨機(jī)表抽取1名成年居民。二維隨機(jī)表的使用方法如下。 (1)隨機(jī)號的確定。應(yīng)事先在隨機(jī)表的第一行數(shù)字上，選好一個數(shù)字，并劃上一個圈，被圈好的這個數(shù)字就是這份問卷的隨機(jī)號。隨機(jī)號的選擇一般由小到大或循環(huán)給出?？梢愿鶕?jù)便于操作又保證實(shí)現(xiàn)隨機(jī)的原則，選擇確定隨機(jī)號的適當(dāng)方法。 (2)選出被訪者。將所有符合基本要求的家庭成員按年齡從大到小的順序列入隨機(jī)表中，以事先做好的隨機(jī)號為縱坐標(biāo)、以最小家庭成員為橫坐標(biāo)，交叉處對應(yīng)的數(shù)字即為被訪者的序號。例如，某受訪戶的隨機(jī)號確定為4，該戶中家庭成員符合本次調(diào)查要求的共有4人。將

19、這4人的基本情況按年齡從大到小的順序填入下面的二維隨機(jī)表中。,序號 姓名 性別 年齡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 肖明 男 53 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 汪紅 女 52 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 肖曉波 男 23 3 2 1 1 3 2 2 1 3 1 2 3 4 肖曉玲 女 21 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 4 1 5 5 4 1 2 3 4 1 2 3 5 4 2 6 7 8 9 10 11 12 表中，序號為4的列與年齡最小的家庭成員肖曉玲所在的 第4行交叉的數(shù)字是2。因此，第2號家庭成員汪紅

20、為被訪 者。,第四步：推算方法。 記各樣本城市的80位樣本居民中，奶制品消費(fèi) 總支出為yi，則各樣本城市人均奶制品消費(fèi)支出為: 全國1600名居民組成的樣本中，奶制品消費(fèi)總支 出為 ，則成年居民人均奶制品消費(fèi)支出為: 的方差的估計(jì)為:,我國勞動力調(diào)查 約調(diào)查60萬人,其中城鎮(zhèn)40萬,農(nóng)村20萬。 以全國為總體,各省市區(qū)獨(dú)立實(shí)施抽樣?？刹捎茫悍謱觾呻A整群抽樣、分層三階整群抽樣、分層四階整群抽樣。 1、 分層四階整群抽樣 （1）對縣級單元（縣、縣級市或市轄區(qū)）按照人口和勞動力等特征分層；在第一階段采用PPS在每一層抽取縣級單位； （2）對抽中的縣級單位，采用PPS抽取鄉(xiāng)級單位（街道、鎮(zhèn)或鄉(xiāng)） ；

21、（3）對抽中的鄉(xiāng)級單位 ，采用PPS抽取村級單位（居委會或村委會） ； （4）對抽中的村級單位，系統(tǒng)抽樣抽取調(diào)查小區(qū)（由30個最相鄰的住址組成）。 抽中的小區(qū)調(diào)查其全部住戶及家庭成員。,2、分層三階整群抽樣 （1）對鄉(xiāng)級單元按照城鄉(xiāng)及人口和勞動力等特征分層； 在第一階段采用PPS在每一層抽取鄉(xiāng)級單位； （2）對抽中的鄉(xiāng)級單位，采用PPS抽取村級單位； （3）對抽中的村級單位，系統(tǒng)抽樣抽取調(diào)查小區(qū)。 抽中的小區(qū)調(diào)查其全部住戶及家庭成員。 3、分層兩階整群抽樣 （1）對村級單元按照城鄉(xiāng)及人口和勞動力等特征分層；在第一階段采用PPS在每一層抽取村級單位； （2）對抽中的村級單位，采用系統(tǒng)抽樣抽取調(diào)查

22、小區(qū)。 抽中的小區(qū)調(diào)查其全部住戶及家庭成員。,57,第三節(jié) 不放回不等概率抽樣,一、包含概率與PS抽樣 放回不等概率抽樣實(shí)施簡單，數(shù)據(jù)處理也不復(fù)雜，在不等概率抽樣中占有一定的地位。但是由于放回抽樣有可能重復(fù)抽到同一單元，特別是個別大單元被重復(fù)抽到的可能性比較大，這就在一定程度上影響了樣本的代表性，降低了抽樣效率，也不易被實(shí)際工作者所接受。即使在相同樣本量下，放回抽樣的精度比不放回抽樣的差。因此，我們?nèi)杂斜匾芯坎环呕夭坏雀怕食闃印?事實(shí)上，由于不放回抽樣的樣本不是獨(dú)立的，因此無論是實(shí)施還是數(shù)據(jù)處理，特別是方差估計(jì)，都要比放回的多項(xiàng)抽樣復(fù)雜得多。,58,在放回的不等概率抽樣中，每個單元的入樣概率

23、起著關(guān)鍵作用。在不放回抽樣中，每個單元被包含到樣本的概率也即入樣概率及任意兩個單元都包含到樣本的概率都起著十分重要的作用，它們通稱為包含概率。,對于固定的n包含概率滿足以下性質(zhì)： （1） （2） （3）,其中性質(zhì)1是顯然的。性質(zhì)2是對每個已在樣本中的單元而言的，固定了這個特定單元，總體中其它N-1個單元在樣本中只可能有n-1個單元，因此 其中最后一個等式利用了性質(zhì)1。性質(zhì)3則直接利用性質(zhì)2：,與放回的PPS抽樣類似，對于不放回不等概率抽樣，我們最感興趣的是 與單元大小 成比例的情形。 若仍記 ，則由性質(zhì)1有： 以后我們將這種不放回的與單元大小成比例的概率抽樣稱為PS抽樣。,嚴(yán)格的PS抽樣實(shí)施起

24、來非常復(fù)雜。事實(shí)上，只有當(dāng)n=2時(shí)，才有一些簡單且實(shí)用的方法。在不放回抽樣的情形，如果抽選的單元多于一個，要使入樣概率與單元大小成正比以及對調(diào)查估計(jì)值的誤差進(jìn)行估計(jì)都比較復(fù)雜。在用不放回PS抽樣抽取多于兩個單元時(shí)，情況就更加復(fù)雜。實(shí)際上，這仍是一個需要進(jìn)行認(rèn)真研究的問題。除了實(shí)施方面的原因外，當(dāng)n大時(shí)， 的計(jì)算也極其困難，而這對于方差估計(jì)是不可少的。,二、霍維茨湯普森估計(jì)量及其性質(zhì) 對不放回的不等概率抽樣，總體總和Y的估計(jì)采用霍維茨（Horvitz）與湯普森（Thompson）提出的以下估計(jì)量： 注意這個估計(jì)量與多項(xiàng)抽樣的漢森赫維茨估計(jì)量 非常相似。事實(shí)上，對于PS抽樣，由于 ， 與相應(yīng)PPS抽樣的 完全一致。,霍維茨湯普森估計(jì)量具有如下性質(zhì)： （1）若 ，則 是Y的無偏估計(jì)，且它的方差為： 當(dāng)n固定時(shí)，又有,（2）若 ，則 是 的無偏估計(jì)。 又當(dāng)n固定時(shí)，以下的耶茨（Yates）格倫迪（Grundy）森（Sen）估計(jì)量 也是 的無偏估計(jì)：,66,三、n=2的嚴(yán)格PS抽樣 對于PS抽樣，由于作為總體總和的霍維茨湯普森估計(jì)量的形式相當(dāng)簡單，因此就應(yīng)用角度來說，是否便利主要在于它的實(shí)施方法以及 的計(jì)算。當(dāng)n=2時(shí)，有幾種比較實(shí)用的方法（但在具體應(yīng)用中，n=2并不是一個十分嚴(yán)重的限制）。這些方法常用在對總體分層，在每層中抽取兩個樣本單元的情況。,