1、層次分析法、AHP、首屆層次分析法、1.1引言和引用例、層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP )是美國運(yùn)輸學(xué)家T. L. Saaty教授在上世紀(jì)70年代初期提出的簡(jiǎn)便靈活實(shí)用的一種社會(huì)性、 在經(jīng)濟(jì)和科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，人們所面臨的系統(tǒng)總是由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的多個(gè)要素組成的復(fù)雜且定量的數(shù)據(jù)不足。 在這樣的系統(tǒng)中，人們感興趣的問題之一是，對(duì)于n個(gè)不同的事物共有的某性質(zhì)，如何對(duì)某事物的給定性質(zhì)表現(xiàn)的程度(排序權(quán)重)分配值，這些數(shù)值能夠客觀地反映不同事物間的其性質(zhì)上的差異將復(fù)雜的問題分解為構(gòu)成要素，根據(jù)支配關(guān)系形成階層構(gòu)造，通過兩種比較的方法決定決策

2、方案的相對(duì)重要性。 層次分析法廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、科技、文化、軍事、環(huán)境乃至社會(huì)發(fā)展等方面的管理決策。 常用于解決綜合評(píng)價(jià)、決策方案選擇、報(bào)價(jià)和預(yù)測(cè)、投入量分配等問題。 引用實(shí)例1.1.1 :綜合評(píng)價(jià)，擬由一家公司招聘工作人員，從能力、知識(shí)和儀容儀表三個(gè)方面做評(píng)估應(yīng)聘者的綜合表現(xiàn)。 因此，確立了x1=創(chuàng)作水平，x2=外語程度，x3=宣傳能力，x4=國內(nèi)外的政治經(jīng)濟(jì)時(shí)事，x5=計(jì)算機(jī)操作知識(shí)，x6=容貌和風(fēng)格，x7=體型矮瘦，x8的評(píng)價(jià)指標(biāo)的層次構(gòu)造。 如果知道下位指標(biāo)x1、x8相對(duì)于最上位層的加權(quán)系數(shù)w1、w8及各最下位層的指標(biāo)的得分，則能夠根據(jù)下面的評(píng)價(jià)式對(duì)申請(qǐng)者進(jìn)行評(píng)價(jià)、排序。 引用實(shí)例1.1

3、.2 :綜合決策需要決定是否建設(shè)橋梁或隧道來代替現(xiàn)有輪渡，以便在某些地方改善河道過河的運(yùn)輸條件。 這個(gè)問題中過河方式的決定取決于過河的利益和成本(成本)。 通常使用成本效益比(利潤/成本)作為選擇方案的基準(zhǔn)。 為此分別給出了2個(gè)層次結(jié)構(gòu)(圖1.1.2和圖1.1.3 )。 考慮到影響過河效益和代價(jià)的因素，這些個(gè)因素可以分為經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和環(huán)境三類。 決策制定涉及根據(jù)兩個(gè)這些個(gè)層級(jí)結(jié)構(gòu)所決定的方案的利益權(quán)重與成本權(quán)重之比，即針對(duì)最下層方案di (I=1，2，3 )的最上層aj (j=1，2 )的權(quán)重系數(shù)wij (I=1，2， 3 )即可，引用例1.1.3 :在體育競(jìng)技中預(yù)測(cè)國家隊(duì)的成績(jī)，有三種可能的前

4、景： x1=第一x2=掌門人第八位(不包括第一位) x3=落孫山的評(píng)價(jià)指標(biāo)是競(jìng)技實(shí)力、自信心三個(gè)，因此，最上位層的加權(quán)系數(shù)w1j、w2j、w3j 如果能夠得知下位指標(biāo)x1、x2、x3，則加上各前景的權(quán)重系數(shù)后，按照如下的預(yù)測(cè)式，對(duì)各前景x1，引用例1.1.4 :投入量的分配，在該問題中被賦予投入量，并將它們分配給幾個(gè)部門。 如果能知道各部門對(duì)投入量的需求權(quán)重，可以把權(quán)重系數(shù)看作分配的百分比。 1.2使用層次分析法的基本原理和步驟、層次分析法來解決問題，可以大致分為4個(gè)步驟：1.構(gòu)成問題的層次結(jié)構(gòu)2.2構(gòu)成比較判定矩陣3 .從判定矩陣中修正被比較元素的相對(duì)權(quán)重4 .修正各層次元素的組合權(quán)重。 1

5、.2.1建立層級(jí)子結(jié)構(gòu)建立層級(jí)子結(jié)構(gòu)是層次分析法的第一步。 首先，將復(fù)雜的問題分解成被稱為要素的各個(gè)構(gòu)成要素，將這些要素按照屬性分成幾組，形成不同的階層。相對(duì)于同一級(jí)別的元素，控制下一級(jí)別的某些元素，同時(shí)控制上一級(jí)別的元素。 這種自上而下的統(tǒng)治關(guān)系形成了一個(gè)層次。 最高層通常只有一個(gè)元素。 通常是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果。 中間水平一般是基準(zhǔn)、副基準(zhǔn)。 最低級(jí)別包括決策方案。 階層間元素的支配關(guān)系不一定完整。 也就是說，并不是支配下一層的所有要素。 的雙曲馀弦值。 典型的水平可以用下圖表示。 其次，貝爾數(shù)與問題的復(fù)雜性和需要分析的詳細(xì)程度有關(guān)。 各階層的要素通常在9個(gè)以下。 因?yàn)槿绻粋€(gè)層

6、次包含過多的要素，兩個(gè)比較判斷會(huì)變得困難。 第三，好的層次對(duì)解決問題非常重要。 層次建構(gòu)是在對(duì)決策人面臨的問題有全面深入認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)成的，最好對(duì)層次劃分與確定層次之間的支配關(guān)系再分析問題，明確問題各部分的相互關(guān)系，切實(shí)建構(gòu)合理的層次結(jié)構(gòu)。 一個(gè)分層子結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有(1)從上到下有支配關(guān)系并且用直線段表示的特征。 除第一級(jí)外，每個(gè)元素由至少一個(gè)上一級(jí)元素控制，而除最后一級(jí)外，每個(gè)元素至少控制一個(gè)下一級(jí)元素。 上下要素的連接比同一層的要素的連接強(qiáng)得多，所以認(rèn)為同一層和不相鄰的要素之間沒有支配關(guān)系。 (2)結(jié)構(gòu)整體中層次數(shù)不限。 (3)最上層只有一個(gè)要素，各要素支配的要素通常在9個(gè)以下，要素多的情況

7、下可以進(jìn)一步分組。 (4)在具有一部分子級(jí)別的結(jié)構(gòu)中導(dǎo)入虛設(shè)要素，可以成為分層子結(jié)構(gòu)。 1.2.2建構(gòu)兩比較判定矩陣，建構(gòu)階層構(gòu)造后，確定了上下階層間的要素的所屬關(guān)系。 以高等級(jí)的要素Ck為基準(zhǔn)，假定低等級(jí)的要素A1，An具有支配關(guān)系，并在基準(zhǔn)Ck下根據(jù)它們的相對(duì)重要性對(duì)A1，An加權(quán)。 對(duì)于許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題，特別是對(duì)人的判斷起著重要作用的問題，直接得到這些個(gè)要素的權(quán)重并不容易，大多需要以適當(dāng)?shù)姆椒▽?dǎo)出它們的權(quán)重。 層次分析法使用了兩種比較的方法。 第一，在兩個(gè)比較過程中，決策者必須反復(fù)回答問題：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Ck，兩個(gè)要素Ai還是Aj更重要，有多重要。 對(duì)重要性水平的多少需要給予一定的數(shù)值。 這里

8、使用19的比例尺，它們的意義如表1.3.1所示。 表1.3.1尺度的意義，如標(biāo)準(zhǔn)為社會(huì)經(jīng)濟(jì)利益，次標(biāo)準(zhǔn)可分為經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和環(huán)境利益。 如果認(rèn)為經(jīng)濟(jì)效應(yīng)明顯重于社會(huì)效應(yīng)，那么它們的比例尺為5，而社會(huì)效應(yīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的比例尺為1/5。 19的尺度方法是量化思維判斷的好方法。 首先，在區(qū)別事物差異時(shí)，人們總是使用相同、強(qiáng)、強(qiáng)、極強(qiáng)的語言。 進(jìn)一步細(xì)分化，由于能夠在鄰接的兩個(gè)階段中插入折衷的萃取法，所以19個(gè)階段的定標(biāo)應(yīng)用于許多決策決定。 接下來，心理學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在59級(jí)和19級(jí)之間，大多數(shù)人在不同事物之間具有同等屬性差異的極限分辨率反映了很多人的判斷能力。 此外，如果要比較的元素的屬性在不同的訂單上，則

9、通常需要進(jìn)一步分解訂單更高的元素。 第二，對(duì)于n個(gè)元素A1，An，這兩個(gè)比較確保了在A: A=(aij)nn中，判定矩陣為(1)aij 0； (2)aij=1/aji (3)aii=1。 我們稱a為正的互逆矩陣。根據(jù)性質(zhì)(2)和(3)，實(shí)際上，對(duì)于n次判定矩陣，判定其上(下)的三角元素的合并n(n-1)/2個(gè)即可。 1.2.3按單一標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算元素的相對(duì)權(quán)重。 此步驟是解決基準(zhǔn)Ck下的n個(gè)元素A1， An排序權(quán)重的校正算法問題。 對(duì)于n個(gè)要素A1、An，將通過2個(gè)比較而獲得的判定矩陣a、將對(duì)特征根問題Aw=maxw進(jìn)行求解所獲得的w進(jìn)行歸一化而作為要素A1、An在基準(zhǔn)Ck下的排序權(quán)重的方法稱為校正

10、排序向量的特征根法。 特征根方法的理論根據(jù)是如下的正矩陣的Perron定理，保證了得到的順序向量的正值性和唯一性：如果將定理n次方陣A 0，max作為a的模型最大的特征根，則(1) max是正的特征根，與此相對(duì)應(yīng)的特征向量是正的向量() (3)因?yàn)閙ax是a的單一特征根，所以除去1個(gè)常數(shù)因子，與其對(duì)應(yīng)的特征向量是唯一的。 另外，可以通過Matlab軟件直接校正特征根方法中的最大特征根max和特征向量w。 的雙曲馀弦值。 例如，校正矩陣、的最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。 對(duì)應(yīng)的Matlab計(jì)程儀定程序?yàn)閍=1、1、1、4、1、1/2。 一，一，二，四，一，二分之一。 一，二分之一，一，五，三，二分

11、之一。 1/4，1/4，1/5，1，1/3，1/3。 一，一，三分之一，三，一，三分之一。 二，二，三，三，一。 x，y=eig(A )； 伊根值=診斷(y )； lamda=eigen value (1) y _ lamda=x (:1 )，y是特征值，按照從大到小的順序排列。 x是特征向量矩陣，各列是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。 輸出結(jié)果： lamda=6. 3516 y _ lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604、1.2.4判斷，即，滿足等式的Aij Ajk=aik是例如在ai和Aj的比較中的在上式對(duì)矩陣a的所有要素成立時(shí)，將判定矩陣a

12、稱為一致矩陣。 一般來說，我們不要求判斷具有這種傳達(dá)性和一致性，這取決于客觀事物的復(fù)雜性和人類認(rèn)識(shí)的多樣性。 然而，在建構(gòu)兩個(gè)判定矩陣時(shí)，應(yīng)需要判定為大致一致。 甲比乙極為重要，乙比丙極為重要，丙比甲極為重要的判斷，一般違反常識(shí)。 混亂的無法推敲的判定矩陣，有可能導(dǎo)致決定的錯(cuò)誤，另外，在判定矩陣過于偏離整合性的情況下，將通過上述各種方法修正的排序權(quán)重作為決定的依據(jù)，其信任度也值得懷疑。 因此，必須驗(yàn)證判定矩陣的一致性。 判定矩陣的一致性檢驗(yàn)步驟如下： (1)匹配性指標(biāo)C.I.其中，n是判定矩陣的次數(shù)，(2)平均隨機(jī)一致指標(biāo)R.I.平均隨機(jī)一致指標(biāo)是將隨機(jī)判定矩陣的特征根的校正運(yùn)算反復(fù)多次(50

13、0次以上)后取算術(shù)平均數(shù)而得的指標(biāo)。 岡森、許樹柏在1986年得到的115次判定矩陣的重復(fù)修正運(yùn)算1000次的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)如下： (3)一致性比例C.R.C.R. 0.1修正后，判定矩陣的一致性被認(rèn)為是可以容許的。 否則，請(qǐng)適當(dāng)修改判斷矩陣。1.2.5為了校正各層要素的組合權(quán)重，獲得層級(jí)結(jié)構(gòu)中各層級(jí)的所有要素相對(duì)于總目標(biāo)的相對(duì)權(quán)重，有必要適當(dāng)?shù)亟M合1.2.3中的校正運(yùn)算結(jié)果，進(jìn)行綜合的一致性檢驗(yàn)。 這一步是從上到下分階段進(jìn)行的。 從最終的修正結(jié)果可以得到最低等級(jí)的要素、即決定案的優(yōu)先順序的相對(duì)權(quán)重和層次模型整體的判斷一致性檢驗(yàn)。 假定分層結(jié)構(gòu)共享m個(gè)層，并且第k層具有n-k個(gè)元素(k=1

14、，2，2，m )。然后：權(quán)向量w(k1)=(w1(k1 )、w2(k1 )、wnk1(k1) )T，以及第k層的nnk對(duì)第k層的nk1個(gè)要素A1、A2、總目標(biāo)的組合進(jìn)行修正的nk1 )的單排序權(quán)向量pi(k)=(p1j(k1 )、p2j(k1 )，以及設(shè)2，nk中不受Aj支配的元素nk nk 1次矩陣P(k)=(p1(k )，p2(k )，pnk 1(k ) )，則第k層的nk個(gè)元素B1，B2對(duì)于總目的的組合秩權(quán)向量為w(k )，對(duì)于階躍層次模型的判定一致性檢查也是如此第k1階層的補(bǔ)正結(jié)果分別得到C.I.k1、R.I.k1和C.R.k1后，第k階層的相應(yīng)指標(biāo)為1.3殘奧工時(shí)，工作選擇：雙方暢談，表示將錄用已有3個(gè)學(xué)分的畢業(yè)生。 該學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有信息建構(gòu)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示，仔細(xì)考慮，該學(xué)生將基準(zhǔn)層和方案層分別各比較2個(gè)，2個(gè)比較判定矩陣將矩陣a和Bj(j=1，6 )分別求最大特征值