1、問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？,問(wèn)題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境創(chuàng)設(shè),有 順 序,無(wú) 順 序,一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,排列與組合的概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？,概念講解,組合定義:,組合定義: 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,排列定義: 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m (mn)

2、個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列.,共同點(diǎn): 都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”,不同點(diǎn): 排列與元素的順序有關(guān)， 而組合則與元素的順序無(wú)關(guān).,概念講解,思考一:ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?,思考二:兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)?兩個(gè)相同的組合呢?,概念理解,構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個(gè)步驟.,思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?,判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題?,(1)設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?,(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?,有多

3、少種不同的火車票價(jià)？,組合問(wèn)題,排列問(wèn)題,(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組,共有多少種分法?,組合問(wèn)題,(4)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候,共需握手多少次?,組合問(wèn)題,(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)游覽,有多少種不同的方法?,組合問(wèn)題,(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?,排列問(wèn)題,組合問(wèn)題,組合是選擇的結(jié)果，排列 是選擇后再排序的結(jié)果.,1.從 a , b , c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是:,ab , ac , bc,2.已知4個(gè)元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.,a

4、b , ac , ad , bc , bd , cd,(3個(gè)),(6個(gè)),概念理解,從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示.,如:從 a , b , c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是:,如:已知4個(gè)元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個(gè) 元素的所有組合個(gè)數(shù)是：,概念講解,組合數(shù):,注意： 是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開(kāi)來(lái),1.寫出從a,b,c,d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,練一練,組合,排列,abc bac cab acb bca cba,

5、abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？,你發(fā)現(xiàn)了什么?,組合數(shù)公式,排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：,因此：,一般地，求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：,第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù) ,第2步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數(shù) ,這里 ，且 ，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式,概念講解,組合數(shù)公式:,從 n 個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù),概念講解,（2)列出所有冠亞軍的可能情況.,

6、（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例題分析,(4)求,例3,例1：一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人。問(wèn)： （1）這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？ （2）如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？,例4：在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),從100件產(chǎn)品中任意抽出3件。 (1)一共有多少種不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽

7、法有多少種? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? (4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種？,說(shuō)明：“至少”“至多”的問(wèn)題，通常用分類法或間接法求解。,變式練習(xí),按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？ （1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選； （2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選； （3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選； （4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選； （5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選； （6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；,例5、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5人參加支邊醫(yī)療隊(duì)，至少要有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？,例6：（1）平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，

8、其中4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，過(guò)這9個(gè)點(diǎn)可確定多少條直線？可以作多少個(gè)三角形？ （2）空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無(wú)任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？,例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語(yǔ)、4名僅通法語(yǔ)，還有2名英、法語(yǔ)皆通?，F(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語(yǔ)，另外4名譯法語(yǔ)，一共可列多少?gòu)埐煌拿麊危?例8、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況： （1）4只鞋子恰有兩雙； （2） 4只鞋子沒(méi)有成雙的； （3） 4只鞋子只有一雙。,課堂練習(xí)：,2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至

9、多有一個(gè)人參加，則有不同的選法種數(shù)為 。,3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（ ）,4、從7人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（ ）,1、把6個(gè)學(xué)生分到一個(gè)工廠的三個(gè)車間實(shí)習(xí)，每個(gè)車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有 種 。,9,9,C,D,5、在如圖7x4的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個(gè)矩形？ （2）其中有多少個(gè)正方形？,課堂練習(xí)：,排列,小結(jié),一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球 從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，

10、共有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？,解：（1）,性質(zhì)2,我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球，一類不含有黑球因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，上述等式成立,我們發(fā)現(xiàn)：,為什么呢,性質(zhì)2,注:1 公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù) 2 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用,例計(jì)算：,例2 求證:,一、等分組與不等分組問(wèn)題,例3、6本不同的書(shū)，按下列條件，各

11、有多少種不同的分法； （1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本； （2）分成三份，每份兩本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分給5個(gè)人，每人至少一本； （7）6本相同的書(shū)，分給甲乙丙三人，每人至少一本。,練習(xí)： (1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法? (2) 今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?,解: (1),(2),例4、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅

12、其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （A） 種（B） 種 （C） 種 （D） 種,二、不相鄰問(wèn)題插空法,三、混合問(wèn)題，先“組”后“排”,例5 對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？,解：由題意知前5次測(cè)試恰有4次測(cè)到次品，且第5次測(cè)試是次品。故有： 種可能。,練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有5個(gè)男生3個(gè)女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，則有不同參賽方法_種.,解：采用先組后排方法:,2、3 名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配

13、到 3 所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?,解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）,解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士.,四、分類組合,隔板處理,例6、 從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?,分析:問(wèn)題相當(dāng)于把個(gè)30相同球放入6個(gè)不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問(wèn)可用“隔板法”處理. 解:采用“隔板法” 得:,練習(xí)： 1、將8個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給5個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到1個(gè)名額，共有多少種不同的分配方法？,2、從一樓到二樓的樓梯有17級(jí)，上樓時(shí)可以一步走一級(jí)，也可以一步走兩級(jí)，若要求11步走完，則有多少種不同的走法？,課堂練習(xí)：,2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參加，則有不同的選法種數(shù)為 。,3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，如果其中