1、第三章 簡單隨機(jī)抽樣,2,本章要點(diǎn),簡單隨機(jī)抽樣是抽樣中最基本、最成熟、也 是最簡單的抽樣設(shè)計(jì)方式，是所有概率抽樣方法 發(fā)展、比較的基礎(chǔ)。 要求通過學(xué)習(xí)熟練掌握簡單隨機(jī)抽樣的抽 樣方式和樣本抽選方法； 熟知總體均值、總體總值和總體比例的簡 單估計(jì)； 掌握樣本量的確定；了解子總體的估計(jì)。,3,第一節(jié) 抽樣方式,4,簡單隨機(jī)抽樣也稱純隨機(jī)抽樣。對于大小為的總 體，抽取樣本量為的樣本，若全部可能的樣本被抽中 的概率都相等，則稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。根 據(jù)抽樣單位是否放回可分為放回簡單隨機(jī)抽樣和不放 回簡單隨機(jī)抽樣。,（一）放回簡單隨機(jī)抽樣,（二）不放回簡單隨機(jī)抽樣,（三）不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣

2、的比較,一、什么是簡單隨機(jī)抽樣,5,（一）放回簡單隨機(jī)抽樣,如果抽樣是有放回的，那么每次抽取都都是從 個(gè) 總體單位中抽取，這時(shí)可能的樣本為 個(gè)（考慮樣本 單位的順序）或 個(gè)（不考慮樣本單位的順序）， 每個(gè)樣本被抽中的概率為 或 ，這種抽樣方式 就是放回簡單隨機(jī)抽樣，所得的樣本稱為放回的簡單 隨機(jī)樣本?？紤]與不考慮樣本單位順序的放回簡單隨 機(jī)抽樣，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即同一個(gè)單位有可能在 同一個(gè)樣本中重復(fù)出現(xiàn)。但是他們也有明顯的區(qū)別： 一是可能的樣本數(shù)不同；二是樣本的概率分布不同， 由此會導(dǎo)致估計(jì)量的概率分布不同。,6,可以證明，不考慮順序的放回簡單隨機(jī)抽 樣的估計(jì)量的方差大于等于考慮順序的放回簡

3、 單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量的方差，因此在抽樣實(shí)踐 中，若用到放回簡單隨機(jī)抽樣這種方式，也只 討論和使用考慮順序的情形。,7,（二）不放回簡單隨機(jī)抽樣,如果抽樣是無放回的，即同一個(gè)單位不能 在樣本中重復(fù)出現(xiàn)，那么，若考慮樣本單位的 順序，則可能的樣本為 個(gè)，每個(gè)樣本被抽 中的概率為 ；若不考慮樣本單位的順序， 則可能的樣本為 個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率 為 。這樣的抽樣方式就是不放回簡單隨機(jī) 抽樣，所得的樣本稱為不放回簡單隨機(jī)樣本。,8,考慮樣本單位順序與不考慮樣本單位順序的不放回 簡單隨機(jī)抽樣，除了單位不可能在同一個(gè)樣本中重復(fù) 出現(xiàn)這一共同特點(diǎn)外，還有一個(gè)共同點(diǎn)，即雖然他們 的可能樣本數(shù)不同，考慮順序

4、是不考慮順序的 倍， 但是它們的樣本卻有相同的概率分布。由此會導(dǎo)致依 據(jù)樣本構(gòu)造的估計(jì)量的概率分布也是相同的。 由于這一共同點(diǎn)的存在，加之不考慮順序的放回簡 單隨機(jī)抽樣的工作量更小，所以抽樣實(shí)踐中對于不放 回簡單隨機(jī)抽樣，只討論和使用不考慮順序不放回簡 單隨機(jī)抽樣這種方式。,9,(三)不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣的比較,1、每次抽取樣本單位面對的總體結(jié)構(gòu)不同。這是二者的主要不同之處。這一點(diǎn)使得前者的數(shù)學(xué)處理相對簡單。 2、樣本提供的信息量不同。顯然，在樣本量一定的條件下，由于后者提供的信息量大于前者，其抽樣效率更高。 在實(shí)踐中，一般多采用不考慮順序的不放回簡單隨機(jī)抽樣，所以以下討論如無特別說明，都

5、指這一類簡單隨機(jī)抽樣。,10,二、簡單隨機(jī)樣本的抽選方法,簡單隨機(jī)樣本的抽選，首先要將總體 個(gè)單位從1到 編號，每個(gè)單位對應(yīng)一個(gè)號；然后從所編的號中抽號，如果抽到某個(gè)號，則對應(yīng)的那個(gè)單位入樣，直到抽夠 個(gè)單位為止。 （一）抽簽法 （二）隨機(jī)數(shù)法,11,（一）抽簽法,當(dāng)總體不大時(shí)，可分別采用兩種方法抽取。一種是全樣本抽選法，另一種是逐個(gè)抽選法，按這兩種方法抽到的 個(gè)單位的樣本是等價(jià)的，每個(gè)被抽到的樣本的概率都等于 。,12,（二）隨機(jī)數(shù)法,當(dāng)總體較大時(shí)，抽簽法實(shí)施起來比較困難，這時(shí)可以利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子、搖獎機(jī)、計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣。,1、利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽選。 隨機(jī)數(shù)表是一張由0

6、，1，2，9這十個(gè)數(shù)字組成的，一般常用的是五位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字表，10個(gè)數(shù)字在表中出現(xiàn)的順序是隨機(jī)的，每個(gè)數(shù)字都有同樣的機(jī)會被抽中。,13,用隨機(jī)數(shù)表抽選簡單隨機(jī)樣本時(shí)，一般可根據(jù)總體大小 的位數(shù)決定在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取幾列，比如 =768,要從中抽取 =10的簡單隨機(jī)樣本，則在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取相鄰的3列，順序往下（或往上），選出前10個(gè)001到768之間的互不相同的數(shù)，如果這3列隨機(jī)數(shù)字不夠，可另選其他3列繼續(xù)，直到抽夠個(gè) 單位為止。,14,用此種方法，當(dāng) 的最高位數(shù)較小，比如小于5，且不小 時(shí)，由于讀到的隨機(jī)數(shù)被舍棄不用的比例較大，抽選效率較差。此時(shí)采用下面的方法。在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取3列，

7、順序往下，如果得到的隨機(jī)數(shù)大于247，小于989（因?yàn)?47的4倍為988，因此000及989到999的數(shù)字應(yīng)舍棄），則用這個(gè)數(shù)除以247，得到的余數(shù)入樣，顯然這種方法效率要高得多。隨機(jī)數(shù)表的起始頁和起始點(diǎn)都應(yīng)用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生。,15,3、利用搖獎機(jī)進(jìn)行抽選。 4、利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽選。通常產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)有循環(huán)周期。因此在有條件的情況下，一般不建議使用此種方法。,2、利用隨機(jī)數(shù)骰子進(jìn)行抽選。,16,（一）簡單隨機(jī)抽樣在抽樣理論中的地位 它是抽樣中最容易掌握的技術(shù)、也是發(fā)展最成熟的技術(shù)，建立了最完備的理論。簡單隨機(jī)抽樣也是比較其他抽樣設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣的基礎(chǔ)。其他抽樣方法技術(shù)都是在它的理論技術(shù)

8、基礎(chǔ)上，針對它的局限發(fā)展起來的。,三、簡單隨機(jī)抽樣在抽樣理論中的地位 與局限性,17,若總體單位數(shù) 很大時(shí)，編制抽樣框困難；抽樣框中即使有輔助信息也不加利用，使得估計(jì)的統(tǒng)計(jì)效率較其他利用輔助信息的抽樣設(shè)計(jì)方法低；由于樣本在總體中的地理分布范圍較廣，如果采取面訪，則費(fèi)時(shí)、費(fèi)錢、費(fèi)力，困難較大；可能得到一個(gè)“差”的簡單隨機(jī)樣本；若不用計(jì)算機(jī)，而用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)骰子抽取一個(gè)大樣本，比較勞神單調(diào)。,（二）簡單隨機(jī)抽樣的局限性,18,四、有關(guān)指標(biāo)與符號,19,第二節(jié) 總體均值與總體總值 的簡單估計(jì),20,（一）簡單估計(jì)量的定義,（三）簡單估計(jì)量 的方差,（四）簡單估計(jì)量 的方差的無偏估計(jì),（二）簡單估

9、計(jì)量 的無偏性,（五）放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì),（六）設(shè)計(jì)效應(yīng),（七）影響估計(jì)量精度的因素,一、總體均值的簡單估計(jì),21,（一）簡單估計(jì)量的定義,對于簡單隨機(jī)抽樣，最簡單的估計(jì)是利用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，即總體均值的簡單估計(jì)量為：,也就是說，樣本均值是總體均值的簡單估計(jì)量。,22,（二）簡單估計(jì)量 的無偏性,對于簡單隨機(jī)抽樣， 是 的無偏估計(jì)，即有,證明：,這就是對稱性論證法。由于總體中每一個(gè)單位的入樣概率都相等，所以不放回簡單隨機(jī)抽樣是一種等概率抽樣。,23,(三)簡單估計(jì)量 的方差,式中， 抽樣比； 為有限總體校正系數(shù)。,證明：,根據(jù)對稱性論證法，有,24,因此有,25,(四)簡單

10、估計(jì)量 的方差的無偏估計(jì),的無偏估計(jì)是：,式中 為樣本方差。,證明：,26,根據(jù)對稱性論證法及 的表達(dá)式，有,由此可得：,27,（五）放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì),現(xiàn)實(shí)中有許多情況下，抽樣必須是放回的， 即從總體中抽中的單位每次都要放回總體中去。 例如在城市中對行人、車輛的調(diào)查，對超市顧 客、影劇院觀眾的調(diào)查等抽樣都是有放回的， 從而，有可能重復(fù)抽中某些單位。,對于每次抽到的結(jié)果(視為隨機(jī)變量) 都有,28,由此可以證明：,注意到,29,因此樣本方差,是無限總體方差 的無偏估計(jì)量。,方差 的一個(gè)無偏估計(jì)是：,考慮樣本單位順序的放回簡單隨機(jī)抽樣也是 等概率抽樣。,30,這說明除非 =1，否則在相同

11、的樣本量下，放回簡單隨機(jī)抽樣的方差總是大于不放回的方差，即它的抽樣效率一般比不放回簡單隨機(jī)抽樣的低。,根據(jù)抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)定義：,放回簡單隨機(jī)抽樣的 為：,31,【例3-3】為調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的電信消費(fèi)水平，在全校=15230名學(xué)生中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽得一個(gè)=36的樣本。對每個(gè)抽中的學(xué)生調(diào)查其上個(gè)月的電信支出金額（如表3-6所示）。試以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的平均支出額。,32,， ， ， ， ， 。 因此，對該校大學(xué)生某月的電信消費(fèi)的人均支出額的估計(jì)為53.64（元），由于置信度95%對應(yīng)的 =1.96，所以，可以以95%的把握 說該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在

12、53.641.966.1355，即41.6165.67元之間。 若采取放回簡單隨機(jī)抽樣，則： ， ， ，以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在53.641.966.1428，即41.6065.68元之間。 計(jì)算結(jié)果說明，不放回比放回簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)的置信區(qū)間略小一些。由于總體較大而抽樣比較小，所以兩者之間相差很小。,解：依據(jù)題意和表中數(shù)據(jù)，可計(jì)算得：,33,總體總值為總體均值的 倍，即,（一）簡單估計(jì)量的定義 N倍的樣本均值是總體總值的簡單估計(jì)量， 即,二、總體總值的簡單估計(jì),只要我們有了總體均值的估計(jì)結(jié)果，就可以很容易地推出總體總值的估計(jì)結(jié)果。,34,由于總體總值是總體

13、均值的N倍，其簡單估計(jì)量也是總體均值估計(jì)量的N倍，而N是固定常數(shù)，所以總體總值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)由總體均值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)來決定。,容易證明,的無偏估計(jì)為,（二）簡單估計(jì)量的性質(zhì),35,【例3.4】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額。 解：依題意，N=15230，根據(jù)例3.3計(jì)算的結(jié)果，可估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為 （元）。在不放回簡單隨機(jī)抽樣下， =1523037.6444 =1523037.6444=8731 727 749（元）， （元）， 以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為： 816 937.21.9693 443.71元即

14、在633 787.531 000 086.87元之間。 若為放回簡單隨機(jī)抽樣，則可得： 1523037.7336 =8752417947（元）， （元），以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為816 937.21.9693 554.36元，即在633 570.651 000 303.75元之間。,36,第三節(jié) 總體比例的簡單估計(jì),37,規(guī)定,設(shè)總體中有 個(gè)單位，具有某種屬性的單位數(shù)為 ；不具有該種屬性的單位數(shù)為 。,具有某種屬性的單位比例為：,不具有該種屬性的單位的比例為：,因此對總體比例的估計(jì)就是對總體均值的估計(jì)， 對總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù) 的估計(jì)是 對總體總值估計(jì)的一

15、個(gè)特例。,一、問題的提法,38,（一）簡單估計(jì)量的定義,二、總體比例的簡單估計(jì)量及其性質(zhì),根據(jù)調(diào)查要求，利用簡單隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取 個(gè)單位組成樣本，其中 個(gè)具有某種屬性，則樣本比例 （樣本均值） 就是總體比例 的簡單估計(jì)量； 就是總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù) 的簡單估計(jì)量。,39,（二）估計(jì)量的性質(zhì),1、 是 的無偏估計(jì)。即有：,2、 的方差為：,3、 的無偏估計(jì)量是 ，即,40,當(dāng) 都比較大時(shí)，我們以正態(tài)分布給出 及 的近似置信區(qū)間（置信度為 ）為：,修正后的 與 的置信區(qū)間分別為：,41,【例3.5】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消 費(fèi)支出超出80元的人數(shù)及其比例

16、。 解：根據(jù)例3.3所給的資料可知， =15230， =36， 7， =1.96。由此可計(jì)算得： 于是 的95%的置信區(qū)間為 的95%的置信區(qū)間為（0.0496 ，0.3392 ）=(755，5166)。,=（0.0496，0.3392）,42,第四節(jié) 樣本量的確定,43,在抽樣調(diào)查的理論方法研究中，樣本量的確定既有重要的理論意義，又有現(xiàn)實(shí)的實(shí)用價(jià)值。樣本量過大，不符合抽樣調(diào)查的宗旨；過小，則抽樣誤差偏大，無法保證估計(jì)精度的要求。樣本量的確定主要受兩個(gè)方面因素的影響和制約： 一是對抽樣估計(jì)量精度的要求。對于一個(gè)確定的抽樣設(shè)計(jì)，估計(jì)量的精度要求高意味著要求的抽樣誤差小，而要想抽樣誤差小，就必須樣

17、本量大。而總體單位調(diào)查標(biāo)志的變異程度、總體的大小、樣本設(shè)計(jì)和所使用的估計(jì)量、回答率等都是影響估計(jì)精度的因素，從而也是影響樣本量的因素。,一、確定樣本量主要考慮的因素,44,二是實(shí)際調(diào)查運(yùn)作的限制。調(diào)查的經(jīng)費(fèi)能支持多大的樣本？允許調(diào)查持續(xù)的時(shí)間有多長？需要多少調(diào)查人員？雖然有些限制因素在樣本量的計(jì)算公式中還無法體現(xiàn)，但是在確定最終所需的樣本量時(shí)必須加以考慮。實(shí)踐中樣本量的確定是在多種約束條件下進(jìn)行的折衷過程。 由于大部分限制約束條件不便于量化，確定樣本量的計(jì)算公式時(shí)往往只在抽樣精度與調(diào)查費(fèi)用兩者之間權(quán)衡。采用兩種不同的方式來確定：一種是在總費(fèi)用一定的條件下使精度最高；另一種是在滿足一定精度要求的

18、條件下使費(fèi)用最小。,45,給定絕對誤差限 、相對誤差限 和變異系數(shù) 的允許上限的樣本量確定公式，即分別有：,二、估計(jì)總體均值（總值）的樣本確定,46,由于總體方差 和總體均值 未知，因此在利用上述公式時(shí)，必須事先對它們做出估計(jì)。實(shí)際工作中，可以通過以往對同類問題調(diào)查積累的經(jīng)驗(yàn)來估計(jì)，也可以通過預(yù)調(diào)查來估計(jì)，或通過其他調(diào)查方法和定性分析方法獲得。 對于復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法，由于確定樣本量的公式比較復(fù)雜，常常難于計(jì)算。在同樣精度要求的條件下，簡單隨機(jī)抽樣的樣本量 相對容易獲得，這時(shí)可以利用（3.21）式先計(jì)算復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng) ，然后再間接推算復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法所需要的樣本量 ，即有：,47,【例3

19、.6】在例3.3中，如果要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月人均電信消費(fèi)支出的絕對允許誤差不超過5元，樣本量應(yīng)確定為多少？ 解：依據(jù)所給條件： =15230， =5，置信度95%對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的上側(cè)分位數(shù)為 1.96，且 =1358.41，據(jù)此可計(jì)算得： =,也就是說，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為206的簡單隨機(jī)樣本，才能滿足95%置信度條件下絕對誤差不超過5元的精度要求。,48,根據(jù)樣本比例 的方差公式 可以推得：,其中,同樣可求得給定絕對誤差限 、相對誤差限 和變異系數(shù) 的允許上限的樣本量確定公式，即分別有：,在無限總體或放回抽樣情形下， 即為所確定的樣本量。,三、估計(jì)總體比例的樣本量確

20、定,49,【例3.7】 在例3.5中，如果要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)支出超出80元的人數(shù)比例的相對允許誤差不超過10%，樣本量至少應(yīng)為多少？ 解：根據(jù)例3.5所給的資料和計(jì)算的結(jié)果可知： =15230， =36， 7， =1.96。 ，由此可計(jì)算得：,計(jì)算結(jié)果說明，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為1442的簡單隨機(jī)樣本，才能滿足95%置信度條件下相對允許誤差不超過10%的精度要求。,50,四、逆抽樣法,現(xiàn)實(shí)中有這樣一種情況，即總體中具有所考慮屬性的單位數(shù)很少，也就是說 值很小。對于此類稀有事件的比例估計(jì)問題，利用前面給出的公式確定樣本量有困難。,霍丹（Haldane）1945年提出一

21、種稱為逆抽樣的方法，專門用于此類小比例的抽樣。,51,第五節(jié) 子總體估計(jì),52,一、問題的提出,我們把總體中具有某種共同屬性特征的單位的集合稱為子總體。,對子總體的處理有多種方法：若每個(gè)子總體在編制抽樣框時(shí)就可以區(qū)分開，可以采用分層抽樣方法進(jìn)行估計(jì)；若事先不能將各個(gè)子總體區(qū)分開來，但是事先可以知道各個(gè)子總體的單位數(shù) ，則可采用事后分層的方法進(jìn)行估計(jì)；還有一種情況是，既不能事先將各個(gè)子總體區(qū)分開來，又無法事先知道各個(gè)子總體的單位數(shù) 。本節(jié)的討論僅限于后一類子總體的估計(jì) 。,53,二、子總體均值的估計(jì),樣本均值,是子總體均值,的無偏估計(jì)量,54,式中 為第 個(gè)子總體的抽樣比，子總體的方差未知，可用

22、其樣本方差,其方差為,來估計(jì)。至此我們的問題并沒有解決，因?yàn)?未 知，所以 也是未知的。,55,我們可以將單位是否屬于第 個(gè)子總體看作是總體 單位的一個(gè)屬性特征，那么 就是總體的比例 ， 而 就是其樣本的比例 ， 是 的無偏估計(jì)，因 此有,因?yàn)?和 都是固定的，所以,因此可用 來估計(jì),據(jù)此我們可得到 的無偏估計(jì)量為,56,上一小節(jié)解決了子總體均值的估計(jì)問題，但是由于 未知，子總體總值的估計(jì)問題依然沒有得到解決。,定義,記,它們可以分別用 ， 進(jìn)行估計(jì)。,三、子總體總值的估計(jì),57,于是有,58,總體總值 （也就是子總體總值 ）的一個(gè)簡單無偏估計(jì)為,它的方差為,59,而樣本方差,因此 的一個(gè)無偏估計(jì)為,6