1、第三章 常用概率分布,本章在介紹概率論中最基本的兩個(gè)概念事件、概率的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹生物科學(xué)研究中常用的幾種隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布、正態(tài)分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布、t分布、 分布和F分布。,第三章 常用概率分布,第一節(jié) 事件與概率 第二節(jié) 概率分布 第三節(jié) 二項(xiàng)分布 第四節(jié) 正態(tài)分布 第五節(jié) 樣本平均數(shù)抽樣分布與標(biāo)準(zhǔn)誤 第六節(jié) t分布、 分布與F分布,第一節(jié) 事件與概率,一、事件 (一)必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會(huì)觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來(lái)，大體上分為兩大類(lèi)：,一類(lèi)是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生

2、(或必然不發(fā)生)。這類(lèi)現(xiàn)象稱(chēng)為必然現(xiàn)象或確定性現(xiàn)象。例如：標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100必然沸騰。 另一類(lèi)是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)果未必相同。這種在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象。例如：100粒玉米種子發(fā)芽試驗(yàn)，可能有0粒發(fā)芽，也可能,第一節(jié) 事件與概率,隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)： 在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對(duì)一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性； 但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性，通

3、常稱(chēng)之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如：投硬幣,第一節(jié) 事件與概率,(二)隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 1、隨機(jī)試驗(yàn)：通常我們把根據(jù)某一研究目的,在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱(chēng)為試驗(yàn)。 一個(gè)試驗(yàn)如果滿(mǎn)足下述三個(gè)特性，則稱(chēng)其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)：,第一節(jié) 事件與概率,(1)試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行； (2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果； (3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。,第一節(jié) 事件與概率,2、隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，通常用 A、B、C 等來(lái)表示。隨機(jī)

4、事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 (1)基本事件 我們把不能再分的事件稱(chēng)為基本事件。,第一節(jié) 事件與概率,例如，在1、2、3、 、20這20個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)字，有20種不同的可能結(jié)果： “取得1個(gè)數(shù)字是1”、“取得1個(gè)數(shù)字是2”、“取得1個(gè)數(shù)字是20”。 每一種可能結(jié)果就是一個(gè)事件，這20個(gè)事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。,第一節(jié) 事件與概率,由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件。 如“取得1個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得1個(gè)數(shù)字是2”、“是4”、“是6”、 、“是20”10個(gè)基本事件組合而成。 (2)必然事件 在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然

5、事件，用表示。,第一節(jié) 事件與概率,(3)不可能事件 在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，用表示。 必然事件與不可能事件實(shí)際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機(jī)事件，但是為了方便起見(jiàn)，我們把它們看作為兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。,第一節(jié) 事件與概率,二、 概率 刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱(chēng)為概率。事件A的概率記為P(A)。 (一)概率的統(tǒng)計(jì)定義,第一節(jié) 事件與概率,在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m ，那么m/n稱(chēng)為隨機(jī)事件A的頻率；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱(chēng)為隨機(jī)事件A的概率。 這樣定義的概率稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)概率。,第

6、一節(jié) 事件與概率,例如，為了確定1粒小麥種子發(fā)芽這個(gè)事件的概率，在表3-1中列出了小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄。,第一節(jié) 事件與概率,表3-1 小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄,從表3-1可看出，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多， 1粒小麥種子發(fā)芽這個(gè)事件的概率越來(lái)越穩(wěn)定地接近0.7，我們就把0.7作為這個(gè)事件的概率。 在一般情況下，隨機(jī)事件的概率 p 是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。 即 P(A)=pm/n (n充分大),第一節(jié) 事件與概率,(二)概率的古典定義 有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征： 1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)； 2、各個(gè)

7、試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。,第一節(jié) 事件與概率,具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為古典概型。對(duì)于古典概型，概率的定義如下： 設(shè)樣本空間由n個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n，即 P(A)=m/n 這樣定義的概率稱(chēng)為古典概率。,第一節(jié) 事件與概率,【例31】 在1、2、3、 、20這20個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取1個(gè)，求下列隨機(jī)事件的概率。 (1)A=“抽得1個(gè)數(shù)字4”； (2)B=“抽得1個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)”。,第一節(jié) 事件與概率,因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由20個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即n=20,而

8、事件A所包含的基本事件有4個(gè)，既抽得編號(hào)為1，2，3，4中的任何1個(gè)，事件A便發(fā)生，即mA=4，所以,第一節(jié) 事件與概率,同理，事件B 所包含的基本事件數(shù)mB=10，即抽得數(shù)字為 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何1個(gè)，事件B便發(fā)生，故,第一節(jié) 事件與概率,(三)概率的性質(zhì) 1、對(duì)于任何事件A，有0P(A)1； 2、必然事件的概率為1，即P()=1； 3、不可能事件的概率為0，即P()=0。,第一節(jié) 事件與概率,三、小概率事件實(shí)際不可能性原理 隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱(chēng)之為小

9、概率事件。,第一節(jié) 事件與概率,小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱(chēng)為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱(chēng)為小概率原理。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性檢驗(yàn))的基本依據(jù)。,第一節(jié) 事件與概率,第二節(jié) 概率分布,事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小。 若要全面了解試驗(yàn)，則必須知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布。 先引入隨機(jī)變量的概念。,作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)

10、果都可用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量x來(lái)表示。 【例32】 對(duì)100株樹(shù)苗進(jìn)行嫁接，觀察其成活株數(shù)，其可能結(jié)果是 “0 株成活”，“1 株成活”，“100 株成活”。 用x表示成活株數(shù)，則x的取值為0、1、2、100。,一、隨機(jī)變量,【例33】 拋擲一枚硬幣，其可能結(jié)果是“幣值一面朝上” 、“幣值一面朝下”?！皫胖狄幻娉稀庇?表示，“幣值一面朝下”用0表示，用x表示試驗(yàn)結(jié)果，則x的取值為0、1。,【例 34】 測(cè)定某品種小麥產(chǎn)量(/667.7)，表示測(cè)定結(jié)果的變量x所取的值為一個(gè)特定范圍(a, b)，例如200300(/667.7)，x值可以取這個(gè)范圍內(nèi)的任

11、何數(shù)值。,如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱(chēng)x為離散型隨機(jī)變量； 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱(chēng)x為連續(xù)型隨機(jī)變量。,要了解離散型隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi 及取每種可能值的概率pi。 如果我們將離散型隨機(jī)變量x的一切可能取值xi ( i=1, 2 , )，及其對(duì)應(yīng)的概率pi，記作 P(x=xi)=pi i=1,2, (33) 則稱(chēng)(33)式為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布。,二、離散型隨機(jī)變量的概率分布,常用列表法表示離散型隨機(jī)

12、變量的概率分布： x x1 x2 xn p p1 p2 pn 顯然離散型隨機(jī)變量的概率分布具有pi0和pi=1這兩個(gè)基本性質(zhì)。,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用分布列來(lái)表示， 因?yàn)槠淇赡苋〉闹凳遣豢蓴?shù)的。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量x，要了解的是它在某個(gè)區(qū)間a，b)上取值的概率，即P(axb)？ 下面通過(guò)頻率分布密度曲線(xiàn)予以說(shuō)明。,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,由表2-6 作140行水稻產(chǎn)量資料的頻率分布直方圖 ，見(jiàn)圖3-1 ，圖中縱坐標(biāo)取頻率與組距的比值 。 可以設(shè)想，如果樣本取得越來(lái)越大(n+) ，組分得越來(lái)越細(xì) (i0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值概率。這時(shí)，頻率分布直方圖各個(gè)直方上端中點(diǎn)

13、的聯(lián)線(xiàn)頻率分布折線(xiàn)將逐漸趨向于一條曲線(xiàn)，換句話(huà)說(shuō)，當(dāng)n+、i0時(shí)，頻率分布折線(xiàn)的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線(xiàn)。,對(duì)于樣本是取自連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，這條函數(shù)曲線(xiàn)將是光滑的。這條曲線(xiàn)排除了抽樣和測(cè)量的誤差，完全反映了行水稻產(chǎn)量的變動(dòng)規(guī)律。 這條曲線(xiàn)叫概率分布密度曲線(xiàn)，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù) 。,(34) 式為連續(xù)型隨機(jī)變量 x 在 區(qū)間a,b)上取值概率的表達(dá)式?？梢?jiàn)，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。 圖3-1 表2-6資料的分布密度曲線(xiàn),若記概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間a,b)的概率為圖中陰影部分的面積，即 P(axb)= (3-4),連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：

14、 1、分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)0； 2、當(dāng)隨機(jī)變量x取某一特定值時(shí)，其概率等于0；即 (c為任意實(shí)數(shù)) 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，僅研究其在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個(gè)值的概率。,3、 在一次試驗(yàn)中隨機(jī)變量x之取值必在-x+范圍內(nèi)，為一必然事件。所以 (3-5) (35)式表示分布密度曲線(xiàn)之下、橫軸之上的全面積為1。,第三節(jié) 二項(xiàng)分布,一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式 將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互 不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其它各 次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的。,對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件A與 之一 ，在每

15、次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0p1) ，因而出現(xiàn)對(duì)立事件 的概率是1-p=q，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)貝努利試驗(yàn)。,在n重貝努利試驗(yàn)中，可以證明：事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為 k=0,1,2，n (3-6) 若把(3-6)式與二項(xiàng)展開(kāi)式 相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)，所以也把(3-6)式稱(chēng)作二項(xiàng)概率公式 。,二項(xiàng)分布定義： 設(shè)隨機(jī)變量x所有可能的取值為零和正整數(shù)：0，1，2， ，n，且有 k= 0，1，2，n 其中p0，q0，p+q=1，則稱(chēng)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為 xB(n，p)。 二

16、項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。,二、二項(xiàng)分布的意義及性質(zhì),容易驗(yàn)證，二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： 1、P(x=k)= Pn(k) 0 (k=0，1，n) 2、二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即,3、 4、 5、 (m1m2),二項(xiàng)分布由n和p兩個(gè)參數(shù)決定。參數(shù)n只能取正整數(shù)，參數(shù)p能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù))。 1、當(dāng)p值較小且n不大時(shí)，分布是偏倚的。但隨著n的增大 ，分布逐漸趨于對(duì)稱(chēng)，如圖32所示；,2、當(dāng) p 值趨于0.5時(shí)，分布趨于對(duì)稱(chēng)，如圖33所示； 3、對(duì)于固定的n及p，當(dāng) k 增加時(shí)，Pn(k)先隨之增加并達(dá)到其極大值，以后又下降。,【例3

17、-5】有一批玉米種子，出苗率為0.67，現(xiàn)任取6粒種子種1穴中，問(wèn)這穴至少有1粒種子出苗的概率是多少? 根據(jù)題意， n=6， p=0.67，q =(1-0.67)=0.33。設(shè)6粒種子出苗為x粒，則x為服從二項(xiàng)分布B(6，0.67)的隨機(jī)變量。于是6粒種子種1穴中， 這穴至少有1粒種子出苗的概率為：,三、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算,P(“至少1粒種子出苗”) = P(x=1)+P(x=2)+P(x=6) = = 0.01570.07990.2162 0.32920.26720.0905 = 0.9987,【 例3-6 】大豆紫花與白花這一相對(duì)性狀在F2的分離比例符合一對(duì)等位基因的遺傳規(guī)律，即F2的紫花

18、植株與白花植株之比為3：1。求F2 10株有7株是紫花的概率。 根據(jù)題意，n=10，p=3/4=0.75，q=1/4=0.25。設(shè)F2 10株中紫花植株為x株，則x為服從二項(xiàng)分布B(10，0.75)的隨機(jī)變量。于是F2 10株有7株是紫花的概率為：,統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量之平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與參數(shù)n、p有如下關(guān)系： 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時(shí) =np,四、二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差,也稱(chēng)為總體百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng) p 未知時(shí)，常以樣本百分?jǐn)?shù) 來(lái)估計(jì)。此時(shí) (3-13) 式改寫(xiě)為：,稱(chēng)為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k/n表示時(shí) (3-13),【例37】

19、某樹(shù)種幼苗成材率為70%，現(xiàn)種植2000株，問(wèn)成材幼苗株數(shù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差是多少? 根據(jù)題意 ， n=2000 ， p=0.70，q=0.30。設(shè)2000株幼苗成材為x株，則x為服從二項(xiàng)分布B(2000，0.70)的隨機(jī)變量。,成材幼苗株數(shù)的平均數(shù),成材幼苗株數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,第四節(jié) 正態(tài)分布,正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無(wú)論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有重要的地位。 定積分與圖形面積,定積分的定義

20、,面積與定積分,一、正態(tài)分布的定義及其特征,(一) 正態(tài)分布的定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為 其中為平均數(shù)，2為方差，則稱(chēng)隨機(jī)變量 x服從正態(tài)分布，記為xN(,2)。 相應(yīng)的概率分布函數(shù)為,分布密度曲線(xiàn)如圖34所示。 (二) 正態(tài)分布的特征 1、正態(tài)分布密度曲線(xiàn)是單峰、對(duì)稱(chēng)的“懸鐘”形曲線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=； 2、f(x)在x =處達(dá)到極大，極大值； 3、f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線(xiàn)，分布從-至+；,4、曲線(xiàn)在x=處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線(xiàn)在(-，-)和(+，+) 區(qū)間上是下凸的， 在 -，+區(qū)間內(nèi)是上凸的； 5、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。,是位置參數(shù)，當(dāng)恒定時(shí)，愈大，

21、則曲線(xiàn)沿x軸愈向右移動(dòng)；反之，愈小，曲線(xiàn)沿x軸愈向左移動(dòng)。如圖35所示。 是變異度參數(shù)， 當(dāng)恒定時(shí)，愈大，表示 x 的取值愈分散， 曲線(xiàn)愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲線(xiàn)愈“瘦”。如圖36所示。,6、分布密度曲線(xiàn)與橫軸所夾的面積為1，即：,二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作(u)和(u)，由 (3-15)及(3-16) 式得： 隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作uN(0，1)，分布密度曲線(xiàn)如圖37所示。,對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x，都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換： 將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u。 u稱(chēng)

22、為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差,三、正態(tài)分布的概率計(jì)算,(一)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u 在u1，u2 )內(nèi)取值的概率為： (u2)(u1) -(3-20),由(3-20) 式及正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可推出下列關(guān)系式： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu1)1-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1) -(3-21),例如，u=1.75，(1.75)=0.95994 有時(shí)會(huì)遇到給定(u)值，例如(u)=0.284， 反過(guò)來(lái)查u值。這只要在附表1中找到與0.284 最接近的值0.2843，對(duì)應(yīng)行的第一列數(shù) -

23、0.5，對(duì) 應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07，即相應(yīng)的u值為u =0.57，即 (-0.57)=0.284,【例38】 已知 uN(0，1)，試求 (1) P (u-1.64)； (2) P(u2.58)； (3) P (u2.56)； (4) P (0.34u1.53)。,利用(3-21)式，查附表1得： (1) P (u-1.64)(-1.64)0.0505 (2) P (u2.58)(-2.58)0.00494 (3) P (u2.56)2(-2.56) 20.0052340.010468 (4) P (0.34u1.53) (1.53)(0.34) 0.936690.63310.30389,關(guān)

24、于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P(-1u1)=0.6826 P(-2u2)=0.9545 P(-3u3)=0.9973 P(-1.96u1.96)=0.95 P (-2.58u2.58)=0.99 圖38 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個(gè)常用概率,隨機(jī)變量u在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(u1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P(u2)=1- P(-2u2) =1-0.9545=0.0455 P(u3)= 1- P(-3u3) =1-0.9973=0.0027,P(u1.96)=1-0.95 =0.05 P(u2.58)=1-0.99 =0.01,(二)一般正態(tài)分布

25、的概率計(jì)算,若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(，2)，則x的取值落在任意區(qū)間 x1，x2)的概率，記作P(x1 x x2)，等于圖3-9中陰影部分曲邊梯形面積。即：,作變換u=(x-)/，得dx=du，故有 其中，,表明服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x在x1，x2 )內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨 機(jī)變量u在(x1-)/,(x2-)/)內(nèi)取值的概率。 因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)，只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率。,【例39】 設(shè)x 服從=30.26，2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98) 令： 則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N

26、(0，1),故：,=P(-1.69u0.53) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564,關(guān)于一般正態(tài)分布,P(-x+)=0.6826 P(-2x+2)=0.9545 P (-3x+3)=0.9973 P (-1.96x+1.96)=0.95 P (-2.58x+2.58)=0.99,生物統(tǒng)計(jì)中，不僅注意隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間(-k，+k)之內(nèi)的概率而且 也很關(guān)心x落在此區(qū)間之外的概率。 我們把隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱(chēng)為兩尾概率，記作。,用兩尾概率可以求得隨機(jī)變量x小于-k或大于+k的概率，稱(chēng)為一尾概率,記作

27、/2。 x落在(-1.96,+1.96)之外的兩尾概率為0.05，而一尾概率為0.025。即: P(x-1.96)= P(x+1.96)=0.025 x落在(-2.58,+2.58)之外的兩尾概率為0.01，而一尾概率為0.005。即 P(x-2.58)= P(x+2.58)=0.005 兩尾概率如圖3-10所示，一尾概率如圖3-11所示。,【例310】 已知 xN(30.26，5.12)， 求 (1)P(x15)； (2)P(x40)； (3)P(x30.265.1)； (4)P(20.06x40.46)。,則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，故 (1)P(x15) P( ) = P(u-2.

28、9922) =(-2.9922) =0.001395,(2) P (x40) =P( ) =P(u1.9098) =(-1.9098) 0.0281,(3)P(x30.265.1),附表2給出了滿(mǎn)足P (uu)=的雙側(cè)分位 的數(shù)值。因此，只要已知雙側(cè)概率的值，由附表2就可直接查出對(duì)應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)u，查法與附表1相同。,例如，已知uN(0,1)試求： (1) P(u- u)+P(uu)=0.10的u (2) P(- uuu=0.86的u 因?yàn)楦奖?中的值是：,所以 (1) P(u- u)+ P(uu) =1- P(- uuu=0.10= 由附表2查得： u=1.644854 (2) P (- u

29、u u)=0.86 ， =1- P (- uuu)=1-0.86=0.14 由附表2查得： u=1.475791,對(duì)于xN(,2)，只要將其轉(zhuǎn)換為uN(0,1),即可求得相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。 【例3.11】 已知x 服從正態(tài)分布 N ( 12.86，1.332 )， 若 P (xl1) =0.03, P(xl2)=0.03,求l1、l2 。,由題意可知，/2=0.03,=0.06 又因?yàn)?故： P(xl1)+ P(xl2) = P(u- u) + P(uu) =1- P(- uuu)=0.06= 由附表2查得：u0.06=1.880794 所以: (l1-12.86)/1.33=-1.88079

30、4 (12-12.86)/1.33=1.880794 即：l1=10.36，12=15.36,第五節(jié) 樣本平均數(shù)的抽樣分布 與標(biāo)準(zhǔn)誤,由總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)數(shù)(如， 、s) 也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)也是隨機(jī)變量，也有其概率分布。 我們把統(tǒng)計(jì)數(shù)的概率分布稱(chēng)為抽樣分布。,一、樣本平均數(shù)抽樣分布,由于總體隨機(jī)抽樣的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。 前者指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個(gè)體不返置回原總體。 對(duì)于無(wú)限總體，返置與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等。對(duì)于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個(gè)

31、體被抽到的機(jī)會(huì)就不相等。,設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為，方差為2 ，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱(chēng)為原總體?，F(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為 。 可以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無(wú)窮多個(gè)含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的，稱(chēng)為抽樣誤差。,樣本平均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。 由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱(chēng)為樣本平均數(shù)的抽樣總體。其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為 和,是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)誤，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。 統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個(gè)參數(shù)與x

32、總體的兩個(gè)參數(shù)有如下關(guān)系： 證明如下：,有一個(gè)包含4個(gè)個(gè)體的有限總體(N=4)，變數(shù)為2、3、3、4。 根據(jù)=x/N和2=(x-)2/N求得該總體的、2、為： =3, 2=1/2, = =0.707 從有限總體作返置隨機(jī)抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn，其中n為樣本含量。,以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本,共可得42=16個(gè)樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個(gè)樣本。 分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如表32 所示。 在n=2的試驗(yàn)中，樣本平均數(shù)、抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,表32 N=4, n=2和n=4時(shí)的次數(shù)分布,=4/16=1/4=(1/2)/2=,n

33、=4時(shí)： 這就驗(yàn)證了 =， 的正確性。,X 變量與 變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩 個(gè)定理說(shuō)明： P73:(1),(2),中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離散型，也無(wú)論x服從何種分布，一般只要n30,就可認(rèn)為 的分布是正態(tài)的。 若x的分布不很偏倚，在n20時(shí)， 的分布就近似于正態(tài)分布了。,二、標(biāo)準(zhǔn)誤,標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差) 的大小反映樣本平均數(shù) 的抽樣誤差的大小，即精確性的高低 。 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因?yàn)槭且怀?shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù) 的抽樣誤差。,在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差往往是未知的，因而無(wú)法求

34、得 。此時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)。于是，以 估計(jì) 。記為 ，稱(chēng)作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值。若樣本中各觀測(cè)值為 ， ，則,樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計(jì)值，其大小說(shuō)明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s是反映樣本中各觀測(cè)值變異程度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說(shuō)明了 對(duì)該樣本代表性的強(qiáng)弱。,注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，(3-24) 式已表明了二者的聯(lián)系。二者的區(qū)別在于：,對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 ， 用以表示所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與抽樣誤差的大小。,對(duì)于大樣本

35、資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差s與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 s，用以說(shuō)明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。,第六節(jié) t 分布、 分布與F分布,當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)， 以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù) 記為t。即,一、t分布,若xN(, 2)， 則 N(, 2/n)。 將隨機(jī)變量 標(biāo)準(zhǔn)化得： ，則uN(0,1)。,在計(jì)算 時(shí)，由于采用s來(lái)代替，使得t 變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度df=n-1 的t分布。,t的取值范圍是(-，+)；,t分布密度曲線(xiàn)如圖3-13 所示 ，其特 點(diǎn)是：,1、t分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度曲線(xiàn)。 2、t分布密度曲線(xiàn)以縱軸為對(duì)稱(chēng)軸，左右對(duì)稱(chēng)，且在t0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。,3、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)相比，t分布曲線(xiàn)頂部略低 ，兩尾部稍高而平。df 越小這種趨勢(shì)越明顯 。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n 30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很小；n 100 時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。,用f(t)表示t分布的概率密度函數(shù)，則t分布的概率分布函數(shù)為： 因而t在區(qū)間