1、小波理論分析與應(yīng)用,吳祖平 20061689,小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。 小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要 經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得 到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的 理論研究緊密地結(jié)合在一起地。,一、小波的發(fā)展,小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括： 數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類(lèi)與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診

2、斷等方面；例如： 在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線(xiàn)曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。 在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 在圖象處理方面的圖象壓縮、分類(lèi)、 識(shí)別與診斷，去污等。 在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、 核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。,傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號(hào)處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號(hào)分析從時(shí)間域變換到了頻率域。 泛函分析是20世紀(jì)初開(kāi)始發(fā)展起 來(lái)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它是 以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段， 它用更加抽象的概念來(lái)描述熟知 的對(duì)象。,小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。 小波變換

3、是對(duì)傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展，為信號(hào)分析、圖像處理、量子物理及其他非線(xiàn)性科學(xué)的研究域帶來(lái)革命的影響。,1、傅里葉變換,（1）傅里葉（FT）定義,其中，式（1.2）稱(chēng)為傅里葉反變換（IFT),（1.1）,（1.2）,二、傅里葉分析(連續(xù)),(2)FT的性質(zhì),1.對(duì)偶性 利用對(duì)偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即,2.位移 時(shí)域位移將導(dǎo)致信號(hào)頻譜增加一個(gè)附加相位，但是幅頻特性不變，即,3.卷積 卷積特性分為時(shí)域卷積和頻域卷積，即,4.Parseval定理（內(nèi)積定理） 它表明兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即,特別當(dāng) 時(shí)，有,上式實(shí)際上給出了信號(hào)的能量關(guān)系。在時(shí)域和

4、頻域的總能量是相等的，故也稱(chēng)為能量守恒定理。,信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在另一個(gè)域的相反方向上的伸縮。,5.尺度伸縮 在小波分析中，有著大量涉及信號(hào)在時(shí)域和頻域的伸縮和變尺度分析。,傅里葉變換(離散),時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）。 1.DTFT,2.DFT,三、泛函分析,1.函數(shù)空間 （1）線(xiàn)性空間 例：平方可積函數(shù)空間 （2）賦范線(xiàn)性空間 例：,（3）巴拿赫（Banach)空間 （4）希爾伯特（Hilbert）空間 例1：對(duì)于線(xiàn)性空間 ， 定義內(nèi)積為,例2：在n維歐氏空間 中， ， 定義內(nèi)積為,2.基底及展開(kāi) （1）由

5、函數(shù)序列張成的空間 設(shè) 為函數(shù)序列，令集合 為 即 為函數(shù)序列 的所有可能的 線(xiàn)性組合構(gòu)成的集合，則稱(chēng) 為 序列 張成的線(xiàn)性空間，簡(jiǎn)記為,（2）基底 若序列 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則 ，式中的系數(shù) 的取值是惟一的。此時(shí)，就稱(chēng) 為空間 的一組基底。,（3）正交（直交） 設(shè)x,y為內(nèi)積空間中的兩個(gè)元素， 若內(nèi)積 ，則稱(chēng)x,y 相 互正交，簡(jiǎn)記為 。,（4）規(guī)范正交基 若內(nèi)積空間 中的基底 滿(mǎn)足 則稱(chēng) 為 中的規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）。 故 都可以展開(kāi)成為 并且有Parseval等式，即,（5）雙正交基 對(duì)于不滿(mǎn)足規(guī)范正交條件的基底 來(lái)說(shuō)，如果存在另一組對(duì)偶基底 使得 對(duì)應(yīng)的傅里葉展開(kāi)式為 規(guī)范正交性存在于原基

6、底與對(duì)偶基底之間， 展開(kāi)式也相應(yīng)的由原基底和對(duì)偶基底構(gòu)成， 這種基稱(chēng)為雙正交基，與互為對(duì)偶基底。,（6）框架 設(shè)H為Hilbert空間， 為H中的一個(gè)函數(shù)序列，若 ，都存在實(shí)數(shù)A,B使得 則稱(chēng)為框架，其中A,B分別稱(chēng)為框架的上、下界。 當(dāng)A=B時(shí)，此框架稱(chēng)為緊框架； 尤其當(dāng)A=B=1時(shí)，此緊框架就變 為規(guī)范正交基。,3.從泛函角度描述傅里葉變換 （1）用內(nèi)積表示傅里葉變換 內(nèi)積空間中的函數(shù)，其傅里葉變換可用內(nèi)積表示為 （2）用基底表示函數(shù)的展開(kāi),三、窗口傅里葉變換（傅里葉小波）,由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適用于平穩(wěn)信號(hào)，在進(jìn)行非平穩(wěn)信號(hào)的分析時(shí)通常采用時(shí)頻處理方法，它將一維時(shí)域信號(hào)分解為二維時(shí)域頻域

7、聯(lián)合分布表示。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時(shí)變信號(hào)的分析，但是可以在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號(hào)認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對(duì)它們可以采用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法，如頻譜分析和功率譜分析。這就是窗口傅里葉變換。,為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時(shí)空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)域長(zhǎng)期以來(lái)一直采用D.Gabor開(kāi)發(fā)的窗口Fourier變換（短時(shí)Fourier變換），來(lái)對(duì)時(shí)空信號(hào)進(jìn)行分段或分塊的時(shí)空-頻譜分析（時(shí)頻分析）。 窗口Fourier變換： 其中，g為窗口函數(shù)（參見(jiàn)圖10-3）。,雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時(shí)空定位問(wèn)題，但由于窗口的大小是固定的，對(duì)頻率波動(dòng)不大的平穩(wěn)信號(hào)還可以，但對(duì)音頻、

8、圖像等突變定信號(hào)就成問(wèn)題了。本來(lái)對(duì)高頻信號(hào)應(yīng)該用較小窗口，以提高分析精度；而對(duì)低頻信號(hào)應(yīng)該用較大窗口，以避免丟失低頻信息；而窗口Fourier變換則不論頻率的高低，都統(tǒng)一用同樣寬度的窗口來(lái)進(jìn)行變換，所以分析結(jié)果的精度不夠或效果不好。迫切需要一種更好的時(shí)頻分析方法。,窗口傅里葉變換的方法,時(shí)頻分析 時(shí)域-頻域聯(lián)合分 加窗時(shí)頻分析,（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性 傳統(tǒng)的傅里葉分析在平穩(wěn)信號(hào)的分析和處理中具有重要作用。它將時(shí)間域內(nèi)復(fù)雜信號(hào)的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單形狀的信號(hào)之和。這種從一個(gè)分析域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)分析域的方法是信號(hào)分析中的常用方法。 但是現(xiàn)

9、實(shí)世界中的很多信號(hào)，例如，腦電波信號(hào)、地震信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)等，都是非平穩(wěn)的。這些信號(hào)的頻率是時(shí)變的。 對(duì)于這種信號(hào)的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部 性能的時(shí)域和頻域的二維 聯(lián)合表示， 或者說(shuō)必須提取特定時(shí)間段和頻率段內(nèi)的信號(hào) 特性。這時(shí)，傳統(tǒng)的傅里葉分析就顯得無(wú)能為力了。 傅里葉變換所描述的是整個(gè)時(shí)間段內(nèi)頻率 的特性，或者說(shuō)它是一種全局的變換而沒(méi)有 刻畫(huà)出特定時(shí)間段或頻率段的特性。,（一）時(shí)頻分析,對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析，一種有效的方法是時(shí)域-頻域二維聯(lián)合分析。信號(hào)從一維時(shí)域 表示分解為時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示 ，用以描述信號(hào)在不同時(shí)刻的頻率分布情況。常用的時(shí)頻分析手段有窗口傅里葉變換、小波變換和Wi

10、gner-Ville分布等。,(2) 時(shí)域-頻域聯(lián)合分析,雖然時(shí)變信號(hào)的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改變是漸變的而非突變的，也就是說(shuō)，在一個(gè)特定的足夠小的區(qū)間（窗）內(nèi)，可以認(rèn)為信號(hào)的特性是不變的，信號(hào)是局部穩(wěn)定的或準(zhǔn)平穩(wěn)的。,（二）加窗時(shí)頻分析,1.時(shí)窗處理 將信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行分段，等效于用位置不同的窗函數(shù) 與原信號(hào) 相乘的結(jié)果，如下圖所示。在時(shí)域內(nèi)，時(shí)間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。先選定一個(gè)基本窗函數(shù) ， 然后將 沿時(shí)間軸平移得到一組窗函數(shù)， 其中 為時(shí)間位移。平移后的窗函數(shù)分別 與原信號(hào)相乘，其結(jié)果就等效于提取了 原信號(hào)的不同時(shí)間段內(nèi)的信息而屏蔽了 段外的信號(hào)。,0,t,t,t,

11、0,0,最簡(jiǎn)單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函數(shù)具有非常良好的時(shí)域局部化性質(zhì)： （1）具有時(shí)域緊支集。 （2）窗內(nèi)信號(hào)保持原樣。 （3）窗外信號(hào)完全衰減為0，完全地屏蔽了窗外信號(hào)。 （4）窗的過(guò)渡帶為“陡”的階躍跳變， 因此，沒(méi)有平滑的衰減過(guò)渡帶和窗拖尾。 根據(jù)常用傅里葉變換，矩形窗函數(shù)的頻譜 為sinc函數(shù)，它有著很長(zhǎng)的拖尾。這就引入 了帶外頻譜干擾，或者說(shuō)在頻域內(nèi)的局部化 特性不夠好，給帶內(nèi)信號(hào)的分析帶來(lái)了干擾。,2.頻窗處理 加頻窗處理實(shí)際上是將信號(hào)通過(guò)濾波器組，或者說(shuō)將信號(hào)分別

12、與多個(gè)頻窗相乘。頻窗是由低通濾波器 在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器 ，其中 為頻率位移。帶通濾波器組的作用就是提取信號(hào)在特定頻率段（頻帶）內(nèi)的信息而屏蔽頻帶外信號(hào)。,（三）窗口傅里葉變換的基本思想,1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù) 的選擇有些特殊：首先，它時(shí)實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)；其次，它在某個(gè)小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為 0。 Gabor在最初的處理中采用的時(shí)Gauss窗 作為基本窗函數(shù)，通過(guò)在時(shí)間軸上平移得到一組窗 函數(shù) 。,Gabor變換的定義如下： 設(shè) ，即 ，且 為實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則信號(hào) 的窗口傅里葉變換（Ga

13、bor)變換定義為 其中， 稱(chēng)為基本窗函數(shù)， 其能量集中于 附近，在 遠(yuǎn)離 區(qū)域，它迅速衰減為0。,保留了信號(hào)在 附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。 是將窗函數(shù)平移到 ，因此， 保留的是 附近的信號(hào)信息。故， 實(shí)際上分析了 附近的頻率特性。,（四）時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗,窗函數(shù)的中心和寬度，分別表征窗函數(shù)的位置和集中程度的度量信息。 1.時(shí)窗與其度量 （1）基本定義 在窗函數(shù)滿(mǎn)足 ，即 下， 定義時(shí)窗中心為,定義時(shí)窗寬度為 通常情況下，要求窗函數(shù)具有歸一化能量，即 故有：,2.數(shù)學(xué)和物理解釋 將 認(rèn)為是一種概率分布 ， 那么 和 實(shí)際上就是對(duì)自變量 的期望和方差，或者說(shuō)是一階和二階矩，即 根據(jù)定義，時(shí)窗

14、函數(shù)的窗口 定義為,根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號(hào)的集中位置，二階矩表征了信號(hào)的擴(kuò)展程度。因此， 可以理解為信號(hào)的平均時(shí)間或中心位置的定義； 可以作為信號(hào)在時(shí)間軸上所占有的有效寬度的度量。 從這個(gè)意義上講，Gabor變換表征了信號(hào)在以 為中心、左右各為 的局部時(shí)間內(nèi)的頻率特性。 窗口寬度為 ，它決定了 時(shí)域分辨率。 從物理意義上講， 可以看成是 重心， 看成是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,三、小波變換,小波變換,在前面我們談到，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析不能依靠傅里葉變換，但可以采用時(shí)頻分析的方法，其中加窗傅里葉變換是最簡(jiǎn)單的一種。但是，它有很大的局限性：當(dāng)基本窗函數(shù)一旦取定，窗口的時(shí)窗寬度和頻窗寬度就固定了，不會(huì)隨

15、時(shí)域和頻域的位移而變化。 在實(shí)際應(yīng)用中，這種固定的時(shí)頻窗 結(jié)構(gòu)往往不是最佳的，而希望在低頻部 分的頻窗比較窄，在高頻部分的頻窗比 較寬。為了適應(yīng)這種需求，提出了一種 “自適應(yīng)變化”的時(shí)頻窗結(jié)構(gòu)，便產(chǎn)生了 小波變換理論。,小波的基本概念,小波：指小的波，即 是小波，滿(mǎn)足,小波特點(diǎn)： 由于 在整個(gè)實(shí)直線(xiàn)R上是可積的，所以 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)定等于0，也就是說(shuō)，當(dāng)t時(shí)， 衰減到0，由 ，可看出 的圖像與X軸所夾的上半平面中的面積和下半平面積是相等的也就是說(shuō)t變動(dòng)時(shí)候，它是上下波動(dòng)的，這就是小波的來(lái)源。,小波函數(shù) 小波變換與傅立葉變換比較，它們的變換核不同：傅立葉變換的變換核為固定的虛指數(shù)函數(shù)（復(fù)三角函數(shù)）e

16、-jwx,而小波變換的變換核為任意的母小波 。前者是固定的，而后者是可選的，實(shí)際上母小波有無(wú)窮多種，只要 滿(mǎn)足下列條件即可。,絕對(duì)可積且平方可積，即,正負(fù)部分相抵，即 （ ）,滿(mǎn)足允許條件，即,為,的傅立葉變換,常見(jiàn)的小波函數(shù)有：,Haar小波(Alfred Haar，1910年)：,Haar小波函數(shù)及其Fourier變換,墨西哥草帽(Mexican hat)小波：,墨西哥草帽小波函數(shù)及其Fourier變換,Morlet小波(Jean Morlet，1984年)：,Morlet小波函數(shù)(C=5)及其Fourier變換,那小波到底怎么構(gòu)成的呢？,一、連續(xù)小波變換,1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)

17、） 1.1 數(shù)學(xué)定義 設(shè) ，其傅里葉變換為 ，如果滿(mǎn)足 則稱(chēng) 為基本小波或母小波。,（1.1.1）,式（1.1.1）稱(chēng)為小波的容許條件，它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。,在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號(hào)時(shí)，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成的性質(zhì)較好的經(jīng)典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和樣條小波等）作為母小波，也可以通過(guò)特定的構(gòu)造算法（例如，緊支集正交小波構(gòu)造算法）生成小波基函數(shù)。 小波母函數(shù)特性 （1）帶通性質(zhì) （2）零均值和波動(dòng)性 （3）“小”特性時(shí)頻局部化,2.連續(xù)小波基函數(shù) 將母小波進(jìn)行某種伸縮和平移，就可以得到很多個(gè)與母小波形狀相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式進(jìn)行伸

18、縮和平移，即 通常， 稱(chēng)為小波基函數(shù)，其中 稱(chēng)為尺度因子或伸縮因子， 稱(chēng)為 平移因子，它們都是連續(xù)變化的量。因此 也稱(chēng)為連續(xù)小波基函數(shù)。,系數(shù) 的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即 或,除了Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)/積分或微分方程/積分方程來(lái)定義，有的小波用其傅立葉變換定義，有的小波甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，而只是一些數(shù)字解，很多小波為復(fù)函數(shù)，所以不太直觀。,3.連續(xù)小波變換的定義 有了連續(xù)小波基函數(shù) ，就可以將這些函數(shù)作用于能量有限信號(hào) ，或者說(shuō)將 在這些小波基函數(shù)下進(jìn)行投影分解，這就是連續(xù)小波變換。 定義： ，函數(shù)的內(nèi)積為 定義為函數(shù) 的連續(xù)小波變

19、換，簡(jiǎn)稱(chēng) CWT。變換結(jié)果稱(chēng)為小波變換系數(shù)。,4.連續(xù)小波變換的性質(zhì) 假設(shè)信號(hào)矢量 和 為能量有限信號(hào)，即 ，其連續(xù)小波變換（CWT）分別表示為 和 ，令 ， 為任意常數(shù)。 （1）線(xiàn)性疊加性 （2）時(shí)不變性 （3）尺度變換 （4）內(nèi)積定理（Moyal定理） （5）能量關(guān)系,5.連續(xù)小波變換,連續(xù)小波變換的過(guò)程,二、離散小波變換,連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于： 連續(xù)小波變換系數(shù)是高度冗余的，要試圖通過(guò)離散化，最大程度上消除和降低冗余性。 離散小波變換（DWT）是相對(duì)于連續(xù)小波變換（CWT）的變換方法，本質(zhì)上是對(duì) 自變量 和 進(jìn)行離散化處理。 1.尺度-位移參數(shù)的離散化 （1）將尺度因

20、子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行 離散化，即,（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即 。 其中， 為大于0的實(shí)常數(shù)， 為整數(shù)。離散化后的小波基函數(shù)和小波變換分別為,實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為 并簡(jiǎn)記為 則離散后的小波變換可以表示為 這是一種性質(zhì)較好的二進(jìn)離散方案， 其機(jī)理： 當(dāng) 時(shí)， 。小波基函數(shù) 均勻地覆蓋了整個(gè)時(shí)間 軸，相鄰的小波基函數(shù)之間間隔為1。,為了不丟失信息，要求此時(shí)的采樣間隔必須滿(mǎn)足Nyquist采樣定理。 每當(dāng)m增加1，尺度 增加1倍，對(duì)應(yīng)的頻帶減小1/2，根據(jù)Nyquist采樣定理，此時(shí)的采樣頻率可以降低1/2而不丟失任何信息，對(duì)應(yīng)時(shí)域就是采樣間隔可以大1倍。 因此，當(dāng)m=1時(shí)，采樣間隔可以

21、取為 0，2，4，6，8，；當(dāng)m=2時(shí)，采樣間隔可以取為0，4，8，12，；采樣間隔的通式為 。這種離散方案的采樣間隔示意圖如下圖所示。,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,2.小波框架 如果函數(shù)族 滿(mǎn)足如下性質(zhì)，即 則稱(chēng)小波基函數(shù)族 構(gòu)成了一個(gè)小波框架。上式稱(chēng)為小波框架條件，它可以表示為等價(jià)的頻域形式，即 關(guān)于小波框架，需要說(shuō)明幾點(diǎn)： （1）由小波框架的定義可以知道，并非任何函數(shù)族都能構(gòu)成一個(gè)小波框架。比如當(dāng)尺度-位移因子的乘積 時(shí)，就不能構(gòu)成小波框架。 （2）小波函數(shù)的對(duì)偶函數(shù) 也構(gòu)成了另一個(gè)框架，且上、下界分別為 和 .,（3）

22、離散小波變換仍然具有冗余度，但是與連續(xù)小波變換相比，這種冗余度大大降低。 3.離散小波逆變換 將連續(xù)小波變換進(jìn)行離散化處理后，會(huì)很自然地引申出兩個(gè)問(wèn)題： （1）離散小波變換系數(shù) 是否完全表征了原信號(hào) 的全部信息，或者說(shuō)，能否從離散小波變換系數(shù)精確地恢復(fù)原信號(hào) 。 （2）是否任何信號(hào)都可以分解表示為離散小波基的線(xiàn)性組合 ，而且其中的組合系數(shù) 如何求取。,上式兩個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)問(wèn)題。離散小波變換相比于連續(xù)小波變換，其中逆變換要稍微復(fù)雜些，需要借助小波框架和對(duì)偶小波的概念。 （I）對(duì)偶小波用于信號(hào)重構(gòu) 如果上述第（1）個(gè)問(wèn)題能滿(mǎn)足，通過(guò)適當(dāng)選擇小波母函數(shù) 并對(duì) 和 進(jìn)行適當(dāng)?shù)仉x散處理得到 ，那么

23、一定存在與相對(duì)應(yīng)的一個(gè)序列 ，它使得反變換（重建）公式可以表示為 此時(shí)， 稱(chēng)為 的對(duì)偶。相應(yīng)地， 稱(chēng)為母小波 的對(duì)偶母小波。通過(guò)伸縮和平移可以得到對(duì)偶小波基 ，即,（II）小波框架 如果離散小波基函數(shù)滿(mǎn)足框架定義，根據(jù)框架理論，可以分為以下4種情況進(jìn)行重構(gòu)： （1）當(dāng)A=B=1，框架退化為規(guī)范正交基，對(duì)偶小波與原小波恰好相等，即 此時(shí)，離散小波變換的逆變換可以表示為 （2）當(dāng) ，即為緊框架時(shí)，其對(duì)偶小波與原小波僅相差一個(gè)比例參數(shù)，表示為,則離散小波變換的逆變換可以表示為 （3）當(dāng) ，但A與B比較接近時(shí)， 可以取一階近似為 這種框架稱(chēng)為幾乎緊框架，則離散小波變換的逆變換可以表示為,（4）當(dāng) ，但A與B相差甚遠(yuǎn)時(shí)，反變換一般不能直接應(yīng)用，而必須先求出 才能代入標(biāo)準(zhǔn)公式，即 但是對(duì)偶小波 的求取方法比 較復(fù)雜，因此，這種處理