1、信號的時頻分析：,信號時頻分析的重要性： 時間和頻率是描述信號的兩個最重要的物理量。 信號的時域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。 信號時頻分析的主要方法：,Waves,傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波與余弦波)作為正交基函數(shù).,窗口傅立葉變換（Gabor變換）：,窗口傅立葉變換的定義： 假設(shè) f(t) L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：,窗口傅立葉變換的物理意義： 若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(, b)給出的是f(t)在局部時間范圍b - Dt/2, b + Dt/2內(nèi)的頻譜信息。 有效窗口寬度Dt越小，對信號的時間定位能力越強。,連續(xù)小波變換：,連續(xù)小波變換的定義：

2、 假設(shè)信號 f(t) L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：,尺度伸縮參數(shù),時間平移參數(shù),歸一化因子,連續(xù)小波變換的逆變換,尺度和時移參數(shù)的離散化：,離散化后的小波變換：,怎樣選擇小波函數(shù)才能夠重構(gòu)信號： 小波函數(shù)仍應(yīng)滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。 小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時對小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對小波函數(shù)的限制也會很大。,尺度和時移參數(shù)的離散化：,重構(gòu)信號小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理論）： 對任意的 f(t) L2(R)，稱j,k為一個框架，如果存在正參數(shù)A和B（ 0 A B ），使得：,分析小波,合成小波,標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：,標(biāo)準(zhǔn)

3、正交小波基的優(yōu)點： 變換系數(shù)沒有冗余，能夠很好地反映信號的性質(zhì)。 標(biāo)準(zhǔn)正交小波基與它的對偶相同。 計算簡單：,多分辨分析, 空間, 一維正交多分辨分析及如何通過它構(gòu)造小波 Mallat算法 一維雙正交多分辨分析,一維正交多分辨分析,常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）構(gòu)造正交小波基,MRA,(非正交)尺度函數(shù),正交尺度函數(shù),低通濾波器,高通濾波器,小波函數(shù),Mallat算法,正交化,兩尺度方程,小波方程,MRA,令,中的一個函數(shù)子空間序列。若下列條件成立：,，,1) 單調(diào)性：,，,2) 逼近性 ：,，,3) 伸縮性 ：,4) 平移不變性 ：,5) Ries

4、z 基存在性 ：,存在函數(shù),使,，,構(gòu)成,的一個Riesz基（不一定是正交的） 。,稱為尺度函數(shù)。,多分辨分析。,MRA（續(xù)）,兩個重要的完備的內(nèi)積空間,線性空間: 集合+代數(shù)運算（加法與數(shù)乘） 內(nèi)積空間: 線性空間 + 內(nèi)積運算 完備的內(nèi)積空間: 內(nèi)積空間+ 對limit運算封閉,泛函分析基礎(chǔ),Banach空間 Hilbert空間 空間的基底 廣義函數(shù) 線性算子,代數(shù),集上的運算 (集X上) 內(nèi)部運算 是XXX的一個映射 外部運算 是AXX的一個映射(A是另一集),距離空間,矩離空間是一個集合X連同一個滿足下述條件的一個映射d:XXR (1) 正性d(x,y)0,且d(x,y)0如且僅如 x

5、 y (2) 對稱性 d(x,y)d(y,x) (3) 三角不等式 d(x,z)d(x,y)d(y,z) 同一個集合,可以引入不同的距離,距離空間中相關(guān)概念,Cauchy序列 在距離空間X中,對于 的序列 ,如果 則稱序列 是Cauchy 序列 極限點 Cauchy序列 的極限點 稠密 A是X的子集,如A的閉包是X,稱A在X稠密 空間可分 如果空間X 有一個稠密子集,距離空間中相關(guān)概念(續(xù)),空間完備 一個空間X 稱為是完備的,如果在這個空間中的每個Cauchy序列都收斂于X 中的點。 線性無關(guān) 線性空間X 一個子集A稱為是線性無關(guān)的,如果A 的每個非空子集 關(guān)系 推出 對所有 成立。,線性賦

6、范空間,線性賦范空間 設(shè)X 是數(shù)域K 上的線性空間,如果對于每個元素xX,相應(yīng)一個實數(shù)x,對于x,yX, aK, 有: (1) x0, 如且僅如x0 (2) ax ax (3) xyxy 則稱x是x的范數(shù),又稱線性空間X按范數(shù)構(gòu)成線性賦范空間。,線性賦范空間相關(guān)問題,由范數(shù)導(dǎo)出距離 在線性賦范空間中，能由范數(shù)導(dǎo)出距離 d(x.y)xy 這時線性賦范空間也是距離空間。 按范數(shù)收斂 線性賦范空間X 中的序列收斂 是指 即按范數(shù)收斂。 距離空間不必是賦范空間 距離可不由范數(shù)引入。,Banach空間,Banach空間 一個完備的線性賦范空間稱為Banach空間。 例1 空間 (1p)是滿足 的實(復(fù))

7、數(shù)序列a 的集合，范數(shù)定義為 例2 空間 (1p)是R上滿足下述條件的可測函數(shù)類 范數(shù)為,空間 的重要不等式,Minkovski 不等式 是 Holder 不等式 對于p1,q1, 是 CauchySchwarz 不等式(p=q=2特殊情形)是,卷 積,卷積(函數(shù)卷積) 兩個函數(shù)f,g 的卷積定義 為 性質(zhì)1 如果f,g ,那么f(x-y)g(y)對于所有x R,關(guān)于y是可積的。進而, 可積,且 ,還有下述不等式成立 性質(zhì)2 如果f 是可積函數(shù),g 是有界的局部可積函數(shù),則卷積 是連續(xù)函數(shù)。,卷積性質(zhì)(續(xù)),性質(zhì)3 如果f,g,h ,那么下列性質(zhì)成立: (1) (可交換) (2) (可結(jié)合)

8、(3) (可分配),內(nèi) 積,內(nèi)積 設(shè)X 為K (實或復(fù))上的線性空間。在X上定義了內(nèi)積是指，對于X 中每一對元素f，g，都對應(yīng)一個確定的復(fù)數(shù)，記為 并滿足下述性質(zhì): (1) 對稱性 (2) 線性 (3) 正性 ，且 如且僅如 其中 表示a 的復(fù)共軛。,Hilbert空間,內(nèi)積空間 引入了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。 內(nèi)積空間是線性賦范空間 在內(nèi)積空間中,對每個 ，由內(nèi)積導(dǎo)入范數(shù)，定義為 則X 就變成了一個線性賦范空間。 Hilbert空間 一個完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。,Hilbert空間的例子與兩向量正交,例1 空間是Hilbert空間，內(nèi)積定義 為 例2 空間是Hilbert空

9、間，內(nèi)積 定義 為 兩向量正交 內(nèi)積空間中的兩向量x 與y 稱為是正交的，如果 這時常寫 。,內(nèi)積空間性質(zhì),Schwarz不等式 則 平行四邊形等式 則 勾股定理 ，x與y 正交， 則,正交(向量)組,正交組 X 是一個內(nèi)積空間,在X中的一個非零向量的集合S，如果S中任意兩個不同元素x與y正交，則稱S是X中的一個正交向量組。如果還有|x|=1對S中的所有x成立，則稱S是規(guī)范正交(向量)組。 規(guī)范正交序列 形成規(guī)范正交組的一個有限或無限的序列稱為規(guī)范正交序列。 內(nèi)積空間任一線性無關(guān)向量序列，都能使用Gram-Schmidt規(guī)范正交化過程，得到規(guī)范正交序列。,規(guī)范正交基,完全規(guī)范正交序列 在內(nèi)積空

10、間X 中的一個規(guī)范正交序列 稱為是完全的，如果對于每個 ， 有 規(guī)范正交基 在內(nèi)積空間X 中的一個規(guī)范正交組S稱為是規(guī)范正交基，如果對于每個X中的元素x 都有唯一表示 其中 是S中不同元素。 內(nèi)積空間X 中的一個完全規(guī)范正交序列是X中的一個規(guī)范正交基。,規(guī)范正交基的相關(guān)結(jié)論,在Hilbert空間H中的一個規(guī)范正交序列是完全的,如且僅如,對于所有 推出 Parseval公式 在Hilbert空間H中的一個規(guī)范正交序列是完全的,iff 對于每個 成立。 可分Hilbert空間 一個Hilbert空間是可分的，如果它包含一個完全規(guī)范正交序列。 在可分Hilbert空間中的每個正交集都是可數(shù)的。,空間

11、的基底,研究Hilbert空間或Banach空間基底時，只考慮可分空間(即基底是可數(shù)的)。 Schauder基 設(shè)X 是可分的Banach空間，對于 ，如果對于所有 ,存在唯一 使 則稱 構(gòu)成X 的一個Schauder基。 無約束基 一個基稱為是無約束基,如果除了滿足上述Schauder條件外,還滿足: (1) 由 能推出 (2) if 且 則 可分Hilbert空間中,一個無約束基還稱Riesz基。,Hilbert空間的Riesz基,一個Riesz基還能用下述等價要求特征化:存在 使對于所有 ，有 成立。 上述條件加上 線性無關(guān)才是Riesz基. 規(guī)范正交基是A=B=1的Riesz基。 對于Riesz基，計算是數(shù)值穩(wěn)定的。 Riesz基是僅次于一個正交基的最好的基。,廣義函數(shù)(Dirac函數(shù)),Dirac函數(shù)(x) (x)有下述 的 性 質(zhì) 要找到通常意義下的函數(shù)滿足上式是不可能的，但能找到通常意義下的函數(shù)序列，序列的極限滿足上式。 例子 Gauss函數(shù)序列 則 有 (x)稱為廣義函數(shù)。,廣義函數(shù)(x)的基本性質(zhì),函數(shù)f 在點x=u連續(xù)， 則 有 上面結(jié)論可