1、第3節(jié)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系,最新考綱,考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破,知識(shí)鏈條完善,知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來(lái),【教材導(dǎo)讀】 1.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)就是異面直線(xiàn)嗎? 提示:不是.異面直線(xiàn)是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn),指的是找不出一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線(xiàn),分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)可以平行、異面或相交. 2.空間直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些? 提示:直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi). 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交.,知識(shí)梳理,1.平面的基本性質(zhì)及相關(guān)公(定)理,mn,相等或互補(bǔ),2.空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系,3.異面直線(xiàn)所成的角 (1)定義:已知兩條異面直線(xiàn)a

2、,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)aa,bb,把a(bǔ)與b所成的 叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角); (2)范圍: . 【拓展提升】 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)(不在平面內(nèi))與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).,銳角(或直角),對(duì)點(diǎn)自測(cè),1.(2013安徽卷)在下列命題中,不是公理的是( ) (A)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 (B)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 (C)如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) (D)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn),A,解析:依據(jù)面面平行的判定定理知,A項(xiàng)不是公理,故選A.,2.若AOB

3、=A1O1B1,且OAO1A1,OA與O1A1的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是( ) (A)OBO1B1且方向相同 (B)OBO1B1 (C)OB與O1B1不平行 (D)OB與O1B1不一定平行,D,解析:兩角相等,角的一邊平行且方向相同,另一邊不一定平行,故選D.,3.(2016江西七校聯(lián)考)已知直線(xiàn)a和平面,=l,a,a,且 a在,內(nèi)的射影分別為直線(xiàn)b和c,則直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系是( ) (A)相交或平行(B)相交或異面 (C)平行或異面(D)相交、平行或異面,D,解析:依題意,直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.選D.,4.若直線(xiàn)ab,且直線(xiàn)a平面,則直線(xiàn)b與平面的位置關(guān)系是(

4、) (A)b (B)b (C)b或b (D)b與相交或b或b,D,解析:b與相交或b或b都可以.選D.,考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí),考點(diǎn)一,平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,【例1】導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702351 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn).求證: (1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面;,證明:(1)如圖,連接EF,CD1,A1B. 因?yàn)镋,F分別是AB,AA1的中點(diǎn), 所以EFA1B. 又A1BCD1, 所以EFCD1, 所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面.,(2)CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn).,證明: (2)因?yàn)镋FCD1,EFCD1, 所以CE與D1F必相交,設(shè)交

5、點(diǎn)為P, 則由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1=DA, 所以P直線(xiàn)DA. 所以CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn).,反思?xì)w納 (1)點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題的思路與方法 納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi); 輔助平面法:先證有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)確定平面,再證其余點(diǎn)、線(xiàn)確定平面,最后證明平面,重合. (2)多線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的思路與方法 先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn); 再證交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上.證交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上時(shí),第三條直線(xiàn)應(yīng)為前兩條直線(xiàn)所在平面的交線(xiàn),可以利用公理3證明.,(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;,(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否

6、共面?為什么?,考點(diǎn)二,空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系,【例2】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702352 已知a,b,c為三條不重合的直線(xiàn),已知下列結(jié)論:若ab,ac,則bc;若ab,ac,則bc;若ab,bc,則ac.其中正確的個(gè)數(shù)為() (A)0(B)1(C)2(D)3,解析:法一在空間中,若ab,ac,則b,c可能平行,也可能相交,還可能異面,所以錯(cuò),顯然成立. 法二構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷,錯(cuò),正確.故選B.,(1)空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對(duì)于異面直線(xiàn),可采用直接法或反證法;對(duì)于平行直線(xiàn),可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)、公理4及線(xiàn)面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對(duì)于垂直

7、關(guān)系,常常利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)解決. (2)解決位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),要注意幾何模型的選取,如利用正(長(zhǎng))方體模型來(lái)解決問(wèn)題.,反思?xì)w納,解析:可用反證法.假設(shè)l與l1,l2都不相交,因?yàn)閘與l1都在平面內(nèi),于是ll1,同理ll2,于是l1l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.故選D.,【即時(shí)訓(xùn)練】 若直線(xiàn)l1與l2是異面直線(xiàn),l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線(xiàn),則下列命題正確的是() (A)l與l1,l2都不相交 (B)l與l1,l2都相交 (C)l至多與l1,l2中的一條相交 (D)l至少與l1,l2中的一條相交,考點(diǎn)三,異面直線(xiàn)所成的角,【例3】 (2016全國(guó)卷)

8、平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(),探求常規(guī)的異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題,首先要理清求角的基本步驟為“一作,二證,三求”,通過(guò)平行線(xiàn)或補(bǔ)形平移法把異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)進(jìn)而求其夾角,其中空間選點(diǎn)任意但要靈活,如常選擇“端點(diǎn),中點(diǎn),等分點(diǎn)”,通過(guò)三角形的中位線(xiàn)平行于底邊,長(zhǎng)方體對(duì)面上的平行線(xiàn)進(jìn)行平移等.這是研究空間圖形的一種基本思路,即把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題.,反思?xì)w納,【即時(shí)訓(xùn)練】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702355 已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的

9、中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AB與CC1所成角的余弦值為(),備選例題,【例1】 (2016金麗衢十二校模擬)已知a,b,c為三條不同的直線(xiàn),且a平面,b平面,=c. 若a與b是異面直線(xiàn),則c至少與a,b中的一條相交; 若a不垂直于c,則a與b一定不垂直; 若ab,則必有ac; 若ab,ac,則必有. 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是() (A)0(B)1(C)2(D)3,解析:中若a與b是異面直線(xiàn),則c至少與a,b中的一條相交,故正確;中平面平面時(shí),若bc,則b平面,此時(shí)不論a,c是否垂直,均有ab,故錯(cuò)誤;中當(dāng)ab時(shí),則a平面,由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得ac,故正確;中若bc,則ab,ac時(shí),a與平面不一定垂直,此時(shí)平面與平面也不一定垂直,故錯(cuò)誤,所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選C.,【例2】 (2016山東廣饒一中期中)在正四棱錐V-ABCD中,底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則異面直線(xiàn)VA與BD所成角的大小為.,解析: 如圖,設(shè)ACBD=O,連接VO,因?yàn)樗睦忮FV-ABCD是正四棱錐,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四邊形ABCD是正方形,所以BDAC,又VOAC=O,所以BD平面VAC,所以BDVA,即異面直線(xiàn)VA與BD所成角的大小為 . 答案:,【例3】如圖所示,三棱錐P-ABC中,P