1、3.4定積分和微積分基本定理試驗綱展示1 .了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2 .了解微積分基本定理的含義試驗點1的定積分的修正計算1 .定積分的定義通常，如果函數(shù)f(x )在區(qū)間a，b中連續(xù)，則在分割點a=x00處所圍繞的曲邊梯形的面積為(kx-x2)dx=-k3=，即k3=8點石成金 1.使用定積分求出用曲線包圍的圖形的面積的步驟：畫圖形(2)確定被積函數(shù)(3)確定積分的上下限，求出升交點坐標(biāo)(4)使用微積分基本定理校正定積分，求出平面圖形的面積2 .要求時，留心區(qū)分用定積分和定積分補正后的曲線包圍的圖形面積。 定積分是一個數(shù)值(界限值)，可以是正、負也可以是零

2、，但平面圖形的面積在一般意義上總是正的由曲線y=sin x，y=cos x和直線x=0，x=包圍的平面圖形的面積為()A.1BC.D.2-2戰(zhàn)斗機回答： d解析：由于sin x=cos x，從解開始x=，因此圖中的陰影部分的面積s=(音頻合成) dx (音頻合成) dx=(三角形) (-三角形)=單點操作系統(tǒng)-操作系統(tǒng)0=2-2. (本問題也可以利用圖形的對稱性來解決)2 .由兩條曲線y=-x2、y=-x2和直線y=-1圍繞的平面圖形的面積為_，如“2017山東日照模擬”圖所示。答案：分析：得到升交點A(-1，-1)，B(1，-1)。得到升交點C(-2，-1)、D(2，-1)。面積S=2=2=

3、。試驗點3定積分在物理中的應(yīng)用典題3 2017湖北武漢調(diào)查一輛汽車在高速公路上行駛，遇到緊急事態(tài)加上剎車器，一直行駛到速度v(t)=7-3t (t的單位： s，v的單位： m/s )為止A.1 25ln 5 B.8 25lnC.4 25ln 5 D.4 50ln 2答案c分析v(t)=0t=4或t=-(截斷)、汽車行駛距離s=dt=28-24 25ln 5=4 25ln 5(m )。點石成金定積分的物理應(yīng)用(1)變速直線運動的位移量：如果變速直線運動物體的速度是v=v(t )，那么從時刻t=a到t=b的路徑s=v(t)dt。(2)變力功：一個物體在變力F(x )的作用下，在與F(x )相同的方

4、向上從x=a向x=b移動時，力F(x )的功為W=F(x)dx。當(dāng)一個物體由于力F(x)=(單位： n )而在與力f相同的方向上從x=0向x=4(單位： m )運動時，力F(x )的功成為回答： 36從題意可以看出，力F(x )所做的工作W=F(x)dx=5dx (3x 4)dx=52=10=36 (大頭針對齊)。方法技巧 1.求定積分的方法(1)利用定義求定積分(定義法)，操作性不強(2)在使用微積分基本定理獲得定積分的過程中，校正用于獲得被積函數(shù)f(x )的一個原函數(shù)f(x )的F(b)-F(a )。(3)利用定積分的幾何學(xué)意義求定積分2 .求曲邊多邊形的面積(1)繪制草圖，在垂直角坐標(biāo)系

5、中繪制曲線或直線的大致圖形(2)通過模式確定被積函數(shù)，求出升交點坐標(biāo)，確定積分上限、下限.(3)將曲邊的梯形面積表示為幾個定積分的和。(4)訂正定積分防止錯誤 1.被積函數(shù)中包含絕對值編號時，先進行絕對值編號，然后階段性地進行積分2 .如果積分公式有幾個不同的殘奧儀表，就必須明確誰是被積變量3 .定積分式中隱含的條件是積分上限大于積分下限4 .留心定積分幾何意義為曲邊梯形面積，但面積不為負，定積分結(jié)果可以為負5 .對要求面積的圖形進行科學(xué)且正確的劃分，能夠使面積的求解變得簡單真題演習(xí)集訓(xùn)定積分(2x ex)dx的值是()甲級聯(lián)賽一級方程式回答： c分析： (2x ex)dx=(x2 ex)=(

6、1 e)-(0 e0)=e，因此選擇c。2.2014山東卷直線y=4x和曲線y=x3在第一象限內(nèi)包圍的封閉圖形的面積為()甲組聯(lián)賽C.2D.4回答： d解析： 4x=x3，解是x=0或x=2或x=-2 (截斷)，從定積分的幾何學(xué)意義可知，直線y=4x和曲線y=x3在第一象限內(nèi)包圍的封閉圖形的面積是(4x=x3 )由3.2015天津卷曲線y=x2和直線y=x包圍的封閉圖形的面積為答案：解析：如圖所示，求出陰影部分面積.由得a (1，1 )。求出的面積為S=(x-x2)dx=|=。湖南卷，湖南卷，湖南卷回答： 0分析： (x-1)dx=(2-2)-0=0。5.2015陜西卷如圖所示，橫截面為等腰梯

7、形的水路，由于砂土堆積，水路截面邊界呈現(xiàn)拋物線型(圖中以折斷線表示)，原始的最大產(chǎn)水量與當(dāng)前的最大產(chǎn)水量之比為答案：1.2分析：創(chuàng)建如圖所示的平面笛卡爾坐標(biāo)系拋物線通過點(0，-2)、(-5，0 )、(5，0 )，得到拋物線的函數(shù)式為y=x2-2，拋物線和x軸包圍的面積S1=-5dx=，梯形面積s2=。課外擴充閱讀探索定積分與不等式的交叉問題典型例2016湖南長沙模擬如圖所示，矩形OABC內(nèi)的陰影部分為曲線f(x)=sin x； x(0，)以及直線x=a，a(0，)和x軸包圍的矩形OABC內(nèi)隨機投影點，如果陰影部分落下的概率為，則a的值為()甲骨文。C.D審查問題的視點首先用定積分求出陰影部分的面積，然后用幾何概形概率修正公式求出概率分析從已知的s矩形OABC=a=6，陰影部分的面積s=