1、11.6幾何概型考綱展示1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2了解幾何概型的意義考點(diǎn)1與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型2幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果_；(2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有_答案：(1)有無(wú)限多個(gè)(2)等可能性3幾何概型的概率計(jì)算公式P(A).提醒求解幾何概型問(wèn)題注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用教材習(xí)題改編在區(qū)間3,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x1,3的概率為_(kāi)答案：解析：記“x1,3”為事件A，則由幾何概型的概率計(jì)算公式可

2、得P(A).幾何概型的特點(diǎn)：等可能性；無(wú)限性給出下列概率模型：在區(qū)間5,5上任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；在區(qū)間5,5上任取一個(gè)數(shù)，求取到絕對(duì)值不大于1的數(shù)的概率；在區(qū)間5,5上任取一個(gè)整數(shù)，求取到大于1的數(shù)的概率；向一個(gè)邊長(zhǎng)為5 cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離不超過(guò)1 cm的概率其中，是幾何概型的有_(填序號(hào))答案：解析：在區(qū)間5,5內(nèi)有無(wú)限多個(gè)數(shù)，取到1這個(gè)數(shù)的概率為0，故是幾何概型；在區(qū)間5,5和1,1內(nèi)有無(wú)限多個(gè)數(shù)(無(wú)限性)，且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)數(shù)被取到的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型；在區(qū)間5,5內(nèi)的整數(shù)只有11個(gè)，不滿足無(wú)限性，故不是幾何概

3、型；在邊長(zhǎng)為5 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)(無(wú)限性)，且點(diǎn)P落在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型典題1(1)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log 1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.答案A解析不等式1logx1可化為log2loglog ，即x2，解得0x，故由幾何概型的概率公式，得P.(2)2017河北衡水一模在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)|AC|x，則|BC|12x，所以x(12x)20，解

4、得2x，三棱錐SABC的高與三棱錐SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，則PM，BN分別為APC與ABC的高，所以，又，所以，故所求的概率為(即為長(zhǎng)度之比)考點(diǎn)3與面積有關(guān)的幾何概型(1)教材習(xí)題改編如圖所示，圓中陰影部分的圓心角為45，某人向圓內(nèi)投鏢，假設(shè)他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影部分的概率為_(kāi)答案：解析：所求概率為.(2)教材習(xí)題改編如圖所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形，向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，若撒在圖形內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m，n，則圖形面積的估計(jì)值為_(kāi)答案：解析：由題意知，不規(guī)則圖形的面積正方形的面積mn，所以不規(guī)則圖形的面積正方形的面積a2.幾何概型：構(gòu)成事件區(qū)

5、域的長(zhǎng)度(面積或體積)；幾何概型的概率公式設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)均是區(qū)間(0,1)上的任意實(shí)數(shù)，則斜邊長(zhǎng)小于的概率為_(kāi)答案：解析：設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，由已知可知a2b2 2，如圖所示，所以所求概率P.考情聚焦與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題典題3(1)2017廣東七校聯(lián)考如圖，已知圓的半徑為10，其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A，B分別為60和45，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為()A. B.C. D.答案B解析由正弦定理2R(R為圓的半徑)那么SABC1010sin 75101025(3)于是，

6、豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為.(2)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B解析由圖形知C(1,2)，D(2,2)，S矩形ABCD6.又S陰31，P.角度二與線性規(guī)劃交匯命題的問(wèn)題典題4(1)在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“xy”的概率，則()Ap1p2 Bp2p1C.p2p1 Dp1p2答案D解析如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“xy”對(duì)應(yīng)的圖形為陰影ODE，其面

7、積為，故p1；事件“xy”對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，故p2，則p1p2，故選D.(2)2017山東棗莊八中模擬在區(qū)間1,5和2,6內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為a和b，則方程1(ab)表示離心率小于的雙曲線的概率為()A. B. C. D.答案B解析e2125，24，2，即ab2a.作出表示的區(qū)域如圖，并作出直線b2a與ba.S陰443342，所求概率P.角度三與定積分交匯命題的問(wèn)題典題52015福建卷如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_答案解析S(4x2)dx， 所求概率P.點(diǎn)石成金求解與面

8、積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.方法技巧判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問(wèn)題，一般與面積有關(guān)系(2)當(dāng)題干是單變量問(wèn)題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域易錯(cuò)防范1.準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題的關(guān)鍵幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)

9、度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法2幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國(guó)卷某公司的班車(chē)在7：30,8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A. B. C. D.答案：B解析：由題意畫(huà)圖，由圖得等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為.22016新課標(biāo)全國(guó)卷從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)

10、模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.答案：C解析：設(shè)由構(gòu)成的正方形的面積為S，xy1構(gòu)成的圖形的面積為S，所以，所以，故選C.32015陜西卷設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.答案：D解析：|z|1，即(x1)2y21，表示的是圓及其內(nèi)部，如圖所示當(dāng)|z|1時(shí)，yx表示的是圖中陰影部分，其面積為S1211.又圓的面積為，根據(jù)幾何概型公式，得概率P.42016山東卷在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_(kāi)答案：解析：圓(x5)2y29的圓心為C(5,0)，半徑r3，故由直線與圓相

11、交可得r，即3，整理得k2，得k.故所求事件的概率P. 課外拓展閱讀 轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何概型中的應(yīng)用典例甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去兩人能會(huì)面的概率為_(kāi)審題視角(1)考慮甲、乙兩人分別到達(dá)某處的時(shí)間在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，y軸表示乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間(2)兩人能會(huì)面的時(shí)間必須滿足：|xy|15.這就將問(wèn)題化歸為幾何概型問(wèn)題解析以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|xy|15.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示由幾何概型的概