1、1,第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解,2,本章內(nèi)容 3.1 靜電場(chǎng)分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 3.3 恒定磁場(chǎng)分析 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng),時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立,3,3.1 靜電場(chǎng)分析,學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場(chǎng)的能量 3.1.5 靜電力,4,2. 邊界條件,微分形式：,本構(gòu)關(guān)系：,1

2、. 基本方程,積分形式：,或,若分界面上不存在面電荷，即S0，則,或,3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件,5,在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為,或,場(chǎng)矢量的折射關(guān)系,導(dǎo)體表面的邊界條件,介質(zhì)1,導(dǎo)體,6,由,即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,3.1.2 電位函數(shù),7,2. 電位的表達(dá)式,對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由,面電荷的電位：,故得,點(diǎn)電荷的電位：,線電荷的電位：,8,3. 電位差,上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得,關(guān)于電位差的說(shuō)明,P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從

3、P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。,9,靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即,選參考點(diǎn),令參考點(diǎn)電位為零,電位確定值(電位差),兩點(diǎn)間電位差有定值,選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú) 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。,4. 電位參考點(diǎn),為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即,10,在均

4、勻介質(zhì)中，有,5. 電位的微分方程,在無(wú)源區(qū)域，,11,6. 靜電位的邊界條件,設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí),若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即,導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：,由 和,常數(shù)，,12,例 3.1.1 求電偶極子的電位.,解 利用 在球坐標(biāo)系中,用二項(xiàng)式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。,13,由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度,14,解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的位置矢量為r，則,若選擇點(diǎn)o為電位參考點(diǎn)，即 ，則,在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即

5、，則有,在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與x軸方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均勻電場(chǎng)的電位分布。,15,例3.1.3 兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。,解 在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程,方程的解為,利用邊界條件，有,處，,最后得,處，,處，,所以,由此解得,17,電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； 通過(guò)電容、

6、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來(lái)改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率；,3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容,18,電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲(chǔ)存電荷能力的物理量。,孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即,1. 電容,孤立導(dǎo)體的電容,兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（q）的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為,電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。,19,(1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和 -q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；,計(jì)算電容的步驟：

7、,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,(3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；,或：,(1) 假定兩導(dǎo)體間電壓U； (3) 根據(jù) 計(jì)算導(dǎo)體表面的電量；,(2) 由 ，求出電場(chǎng)強(qiáng)度E；,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,20,解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng),同心導(dǎo)體間的電壓,球形電容器的電容,當(dāng) 時(shí)，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,21,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D a，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。,解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和

8、 。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩 導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原 理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn) P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為,兩導(dǎo)線間的電位差,故單位長(zhǎng)度的電容為,22,例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。,內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差,解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為,故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為,23,如果充電過(guò)程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過(guò)程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說(shuō)電場(chǎng)能量就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過(guò)程中所

9、作的總功。,靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量,靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有 能量。,任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過(guò)從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立(或充電)過(guò)程。在此過(guò)程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。,3.1.4 靜電場(chǎng)的能量,24,1. 靜電場(chǎng)的能量,設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷量為q、電位為 。 (01) 當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對(duì)從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場(chǎng)能量We ，即,對(duì)

10、于電荷體密度為的體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場(chǎng)能量為,25,故體分布電荷的電場(chǎng)能量為,對(duì)于面分布電荷，電場(chǎng)能量為,對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有, 第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷, 第i個(gè)導(dǎo)體的電位,式中：,26,2. 電場(chǎng)能量密度,從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。,電場(chǎng)能量密度：,電場(chǎng)的總能量：,對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有,27,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。,解： 方法一，利用 計(jì)算,根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度,故,28,方法二：利用 計(jì)算,先求出電位分布,故,29,3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析,由JE 可知

11、，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。,恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)重要區(qū)別： （1）恒定電場(chǎng)可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。,恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無(wú)旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。,30,3.2.1 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件,1. 基本方程,恒定電場(chǎng)的基本方程為,微分形式：,積分形式：,恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度 和電場(chǎng)強(qiáng)度,線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,恒定電場(chǎng)的電位函數(shù),由,

12、若媒質(zhì)是均勻的，則,31,2. 恒定電場(chǎng)的邊界條件,場(chǎng)矢量的邊界條件,即,即,導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度,場(chǎng)矢量的折射關(guān)系,32,電位的邊界條件,恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng) 既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；,說(shuō)明：,33,如21、且290，則10， 即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；,若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即導(dǎo)體中 的電流和電場(chǎng)與分界面平行。,34,3.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬,如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界

13、形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。,35,恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬,36,例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。,37,工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流 J 存在。,漏電流與電壓之比

14、為漏電導(dǎo)，即,其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即,3.2.3 漏電導(dǎo),38,(1) 假定兩電極間的電流為I； 計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量J； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差； (5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。,計(jì)算電導(dǎo)的方法一：,計(jì)算電導(dǎo)的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E; (4) 由 J = E 得到J; (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。,計(jì)算電導(dǎo)的方法三：,靜電比擬法：,39,例3.2.2 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長(zhǎng)度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)

15、率為、介電常數(shù)為。,解：1) 直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法,電導(dǎo),絕緣電阻,設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。,40,2) 用靜電比擬法求解,根據(jù)例3.1.6（P97）得到同軸線單位 長(zhǎng)度的電容為,因此，同軸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為,則絕緣電阻為,41,方程通解為,例3.2.3 在一塊厚度h 的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為 0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。,解： 設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動(dòng)，而且電流密度是隨變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條

16、件,可以得到,42,電流密度,兩電極之間的電流,故沿方向的兩電極之間的電阻為,所以,43,3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量 3.3.5 磁場(chǎng)力,3.3 恒定磁場(chǎng)分析,44,微分形式:,1. 基本方程,2. 邊界條件,本構(gòu)關(guān)系：,或,若分界面上不存在面電流，即JS0，則,積分形式:,或,3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件,45,矢量磁位的定義,磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即,由,即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。

17、,磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。,1. 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位,3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位,46,磁矢位的微分方程,在無(wú)源區(qū)：,磁矢位的表達(dá)式,面電流,體電流,線電流,磁矢位的邊界條件,利用磁矢位計(jì)算磁通量：,48,例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I 。,解 如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，矢量磁位和磁場(chǎng)均與無(wú)關(guān)，計(jì)算xz平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。,49,對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以,由于在 =0面上 ，所以上式可

18、寫成,于是得到,50,式中S =a2是小圓環(huán)的面積。,載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則,或,51,解：先長(zhǎng)度為2L的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn) 的距離 。則,例 3.3.2 求無(wú)限長(zhǎng)線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動(dòng)。,與計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位一樣，令 可得到無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁矢位,52,2. 恒定磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位,一般情況下，恒定磁場(chǎng)只能引入磁矢位來(lái)描述，但在無(wú)傳導(dǎo)電流（J0）的空間 中，則有,即在無(wú)傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來(lái)描述磁場(chǎng)。,標(biāo)量磁位的引入,磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì),53,標(biāo)量磁位的邊界條件,在線性、各

19、向同性的均勻媒質(zhì)中,和,54,靜電位 磁標(biāo)位,磁標(biāo)位與靜電位的比較,靜電位 ,磁標(biāo)位 m ,55,1. 磁通與磁鏈,3.3.3 電感,單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過(guò)該回路的磁通量,多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和,粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過(guò) 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。,56,設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值,稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。, 外自感,2. 自感, 內(nèi)自感；,粗導(dǎo)體回

20、路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。,自感的特點(diǎn)：,57,解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理,穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS =d的磁通為,例3.3.3 求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。,得,與di交鏈的電流為,則與di相應(yīng)的磁鏈為,58,因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度總的內(nèi)磁鏈為,故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為,再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。,則,故單位長(zhǎng)度的外自感為,單位長(zhǎng)度的總自感為,59,例3.3.4 計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為

21、D，且D a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0 。,穿過(guò)兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的面積的外磁鏈為,解 設(shè)兩導(dǎo)線流過(guò)的電流為I 。由于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,60,于是得到平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的外自感,兩根導(dǎo)線單位的長(zhǎng)度的內(nèi)自感為,故得到平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的自感為,61,對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2 ，當(dāng)回路C1中通過(guò)電流 I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù),稱為回路C1 對(duì)回路C2 的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。,

22、3. 互感,同理，回路 C2 對(duì)回路 C1 的互感為,62,互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。,滿足互易關(guān)系，即M12= M21,互感的特點(diǎn)：,63,4. 紐曼公式,如圖所示的兩個(gè)回路C1和回路C2 ， 回路C1中的電流 I1在回路C2上的任一點(diǎn) 產(chǎn)生的矢量磁位,回路C1中的電流 I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C2交鏈的磁鏈為,故得,同理,64,由圖中可知,穿過(guò)三角形回路面積的磁通為,解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù) 安培環(huán)路定律，得到,例3.3.5 如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角 形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。,65,因此,故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感

23、為,66,例3.3.6 如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。,于是有,解 利用紐曼公式來(lái)計(jì)算，則有,式中=21為 與 之間的夾角，dl1=a1d1、 dl2=a1d2，且,67,若d a1，則,于是,一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來(lái)表示。但是若d a1或d a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。,68,3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量,1. 磁場(chǎng)能量,在恒定磁場(chǎng)建立過(guò)程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場(chǎng)能量。,電流回路在恒定磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定 磁場(chǎng)具有能量。,磁場(chǎng)能量是在建立電流的過(guò)程中，由電源供給的

24、。當(dāng)電流從 零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。,假定在恒定電流建立過(guò)程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。,69,設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為。 在時(shí)刻t 的電流為i =I、磁鏈為 = 。 (01),根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場(chǎng)能量Wm，即,對(duì)從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,外加電壓應(yīng)為,所做的功,當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì):,70,2. 磁場(chǎng)能量密度,從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。,磁場(chǎng)

25、能量密度：,磁場(chǎng)的總能量：,對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有,71,例3.3.3 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。,解：由安培環(huán)路定律，得,72,三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為,73,同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為,單位長(zhǎng)度的總自感,74,3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理,3.4.1 邊值問題的類型,已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)值，即,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函 數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,已知場(chǎng)域一

26、部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,75,自然邊界條件 （無(wú)界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如,76,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,77,在場(chǎng)域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V 具有惟一值。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,78,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體

27、和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,1. 問題的提出,幾個(gè)實(shí)例 接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,3.5 鏡像法,79,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,q,非均勻感應(yīng)電荷,q,等效電荷,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,80,2. 鏡像法的原

28、理,用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法,3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理,81,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素” ；,4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5. 確

29、定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場(chǎng)域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域 的邊界條件來(lái)確定。,82,1. 點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,3.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時(shí)，,q,有效區(qū)域,q,83,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),q,導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,84,2. 線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問題,當(dāng)z=0時(shí)，,85,3

30、. 點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對(duì)平面 2 以及q2 對(duì)平面 1 均不能滿足邊界條件。,對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一 鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能 得到滿足。,電位函數(shù),q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,86,例3.5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。,解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而

31、電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。可以先求電荷q 移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。,由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以 用像電荷qq 替代。當(dāng)電荷q 移 至x時(shí)，像電荷q應(yīng)位于x，則有,87,3.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像,1. 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷 q來(lái)等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然 不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球 心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑 為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和q。,問題：,P,q,a,r,R,d,88,令ra，由球面上電位為零， 即 0，得,此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。,條件

32、：若,89,可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,90,2 . 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零,采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,91,然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q來(lái)替代，即,球

33、外任意點(diǎn)的電位為,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,92,3.5.2 導(dǎo)體圓柱面的鏡像,問題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a 的 無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷， 圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共 同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與 軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。,1. 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,93,由于上式對(duì)任意的都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到,由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)

34、,94,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由 時(shí)，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,95,2. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖 2所示。,問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷 和 。,96,通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸

35、法。,由,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？,97,3.5.3 點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,98,介質(zhì)1中的電位為,計(jì)算電

36、介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為,99,可得到,說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為,利用電位滿足的邊界條件,100,特點(diǎn)：在直線電流I 產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。,問題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。,分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，

37、用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,3.5.4 線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像,101,因?yàn)殡娏餮剌S方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為,在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。,102,相應(yīng)的磁場(chǎng)可由 求得。,可得到,故,利用矢量磁位滿足的邊界條件,103,3.6 分離變量法,將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出

38、各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來(lái)，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。,分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法,分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理,分離變量法解題的基本思路：,104,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為,3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,將 (x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x) Y(y) ，有,105,若取k2 ，則有,當(dāng),當(dāng),106,將所有可能的 (x,y)線性疊加起來(lái)，則得到位函數(shù)的通解，即,若取k2 ，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,107,

39、例3.6.1 無(wú)限長(zhǎng)的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,因 (0,y)0、 (a,y)0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為,108,確定待定系數(shù),109,將U0 在（0，a）上按 展開為傅立葉級(jí)數(shù)，即,其中,110,由,故得到,111,3.6.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,令其解為,代入方程，可得到,由此可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程,在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為,通常 (, )隨變量 的變化是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即k n ( n0,1,2,)。,112,當(dāng)n = 0時(shí),考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式