1、2.2 等差數(shù)列,、 觀察與思考 ：下面的幾個(gè)數(shù)列：,、問(wèn)題： 從第2項(xiàng)起它們的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差有什麼特點(diǎn)？,分析：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差的特點(diǎn)是：,、歸納：這些數(shù)列,導(dǎo)入,是常數(shù)1,是常數(shù)-3,是常數(shù) 1/10,從第2項(xiàng)起它們的后一項(xiàng)與前 一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)。,這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。 等差數(shù)列的首項(xiàng)用字母 a1 表示。,一、等差數(shù)列的定義：,例 1： 觀察下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：,等差數(shù)列,一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那麼這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。,解析：(1)、該數(shù)列的第2項(xiàng)與第一項(xiàng)的差是1，其余的后一 項(xiàng)與 前一項(xiàng)的差都是2

2、。不符合等差數(shù)的定義 要求從第2項(xiàng)起 后項(xiàng)與前項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)。所以, 它不是等差數(shù)列。,（2）、不是。理由同（1）,（3）、是。 它符合等差數(shù)列的定義。,（4）、不是。因?yàn)樗麖牡?項(xiàng)起后項(xiàng)與前項(xiàng)的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常數(shù)，但不是同一常數(shù)。 所以不是。,1、等差數(shù)列要求從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)與 前一項(xiàng)作差。 不能顛倒。 2、作差的結(jié)果要求是同一個(gè)常數(shù)。 可以是整數(shù)，也可以是和負(fù)數(shù)。,評(píng)注：,練習(xí)一：判斷下列數(shù)列中哪些是等差數(shù)列，哪些不是？如果是，寫(xiě)出首項(xiàng)a1和公差d, 如果不是，說(shuō)明理由。,你能求出等差數(shù)列（3）的第100項(xiàng)嗎？,二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：,等差數(shù)列 an 的

3、首項(xiàng)是 a1 , 公差是d ，如：,那麼，則由定義得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、 an-a n-1=d,分析：如果把左邊由（1）式到最后一個(gè)式子，共_個(gè)式子相加，則有：,n-1,等號(hào)左邊為：an-a1 , 等號(hào)右邊為：(n-1)d,所以： an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d,當(dāng)n =1時(shí)，上式兩邊都等于 a1 。 nN*，公式成立。, 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是:,an = a1+(n-1)d,三、通項(xiàng)公式的應(yīng)用：,例 2：（1）、已知等差數(shù)列的首項(xiàng) a1是3，公差 d 是2，求它 的通項(xiàng)公式。,（2）、

4、求等差數(shù)列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20項(xiàng)。,（3）、 -401是不是等差數(shù)列 5 ， -9 ，-13 ， 的項(xiàng) ？如果是，是第幾項(xiàng)？,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 這四個(gè)變量 ， 知道其中三個(gè)量就可以求余下的一個(gè) 量 。,評(píng)注：,分析：知道a1 , d ，求an 。代入通項(xiàng)公式。, a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2 =2n-1,解：,（1）、已知等差數(shù)列的首項(xiàng) a1是3，公差 d 是2， 求它 的通項(xiàng)公式。,（2）、求等差數(shù)列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20項(xiàng)。,分析： 根據(jù)a1=10，

5、d= -2，先求出通項(xiàng)公式an ，再求出a20,解： a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由an=a1+(n-1)d 得 a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)(-2) = -28,解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4) = -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是該數(shù)列的第100項(xiàng)。,分析：根據(jù)a1= -5，d= -4，先求出通項(xiàng)公式an ，再把 401代入，然后看是否存在正整數(shù)n 。,（3）、 -401是不是等差數(shù)列 5 ， -9 ，-13 ， 的項(xiàng) ？如果是，是第幾項(xiàng)？,練 習(xí) 二,（1）求等差數(shù)

6、列3,7,11的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)； （2）判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)，如果不是，說(shuō)明理由。,解：（1）根據(jù)題意得： a1=3,d=7-3=11-7=4, 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1 a4=44-1=15,a10=410-1=39.,（2）由題意得： a1=2,d=9-2=16-9=7 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an=2+ (n-1) 7=7n-5(n1) 令100=7n-5,得 n=15 -401是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)。,解： 由題意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2), d = 2 a1 =2, an = 2

7、+(n-1) 2 = 2n,此題解法是利用數(shù)學(xué)的函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)幾個(gè)重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，應(yīng)熟悉并掌握。,例3： 在等差數(shù)列an中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首項(xiàng)a1 ，公差 d 及通項(xiàng)an 。,分析： 此題已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分別代入通項(xiàng)， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得兩個(gè)方程，都含a1與d兩個(gè)未知 數(shù)組成方程組，可解出a1與d 。,*,評(píng)注：,1、 等差數(shù)列的概念。必須從第2項(xiàng)起后項(xiàng)減去前項(xiàng)，并且差是 同 一常數(shù)。 像例1中（1）、（2）小題只能說(shuō)它們從第2項(xiàng)起、 從第3項(xiàng)起是等差數(shù)列，

8、而它們本身不是。,2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 個(gè)（或兩個(gè)）字母變量，可用列方程（或方程組）的方法，求余下的一個(gè)（或兩個(gè)）變量。,四、小結(jié)：,這節(jié)課主要講了以下兩個(gè)問(wèn)題：,1、（1）、求等差數(shù)列 3 ，7 ， 11 ，的第4項(xiàng)和第10項(xiàng)。 （2）、100是不是等差數(shù)列 2 ，9 ，16 ，的項(xiàng)？ 如果是， 是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由。 （3）、 -20是不是等差數(shù)列 0 ，-3.5 ，-7 ，的項(xiàng)？ 如果是， 是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由。,2、在等差數(shù)列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1與 d 。 （2）、已知 a3=9 , a

9、9=3 ，求 a12 。,五、練習(xí)：,解： （1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39,（2）、 a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是該數(shù)列的第15項(xiàng)。,（3）、 a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5無(wú)正整數(shù)解 -20不是該數(shù)列的項(xiàng)。,解： （1）由題意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 。,（2）由題意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0,1、已知等差數(shù)列第m項(xiàng)是am ，公差是 d ，求an 。 2、已知等差數(shù)列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5 , d是公差 那麼 (1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，是什麼數(shù)列？ (2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，是什麼數(shù)列？,拓展思維與能力培養(yǎng)：,練習(xí)與作業(yè)：,(1)、練習(xí)：P117 1 、2 (2)、作業(yè)：P118 1 、 2,思考題：已知等差數(shù)列an中，am,d 是常數(shù)，試求出an的值。,分析：