1、第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會用導(dǎo)數(shù)解決一些簡單的實際應(yīng)用問題知識點一在xx0處的導(dǎo)數(shù)1定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率，若x無限趨于0時，比值_無限趨近于一個常數(shù)A，稱函數(shù)yf(x)在xx0處可導(dǎo)_為f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)2幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0)處的切線_3物理意義：瞬時速度、瞬時加速度知識點二基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)yCy_yx(為常

2、數(shù))y_ysin xy_ycos xy_yax(a0且a1)y_yexy_ylogax(a0且a1)y_yln xy_知識點三導(dǎo)數(shù)的運算法則和差的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)_積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)_商的導(dǎo)數(shù)_(g(x)0)知識點四函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果_，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果_，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)極大值：在xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)xa時，_，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值；(2)極小值：在xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)xa時，_，則點a叫做函數(shù)的極

3、小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值知識點五求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟1求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的_2將函數(shù)yf(x)的各極值與_比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值特別提醒(1)關(guān)注導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義時要特別注意切點是否已知，若切點未知，則設(shè)出切點，用切點坐標(biāo)表示切線斜率(2)正確理解單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系當(dāng)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)時，f(x)0；f(x0)0是函數(shù)yf(x)在x0處取極值的必要條件類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0)，直線l是曲線yf(x)的一條切線，當(dāng)l的斜率最小時，

4、直線l與直線10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3處的切線方程反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設(shè)出常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型跟蹤訓(xùn)練1求垂直于直線2x6y10并且與曲線yx33x25相切的直線方程類型二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例2已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，xR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)內(nèi)是減

5、函數(shù)，求a的取值范圍反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍類型三函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)例3已知f(x)x1，(1)若f(x)在點(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求f(x)的極值

6、；(3)當(dāng)a1時，直線l：ykx1與曲線yf(x)沒有公共點，求實數(shù)k的取值范圍反思與感悟(1)已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義(2)討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(fù)(3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者跟蹤訓(xùn)練3已知a，b為常數(shù)且a0，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函數(shù)f(x)的極大值為2，求a、b間的關(guān)系式；(2)函數(shù)f(x)的極大值為2，且在區(qū)間0,3上的最小值為，求a、b的值類型四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用例4設(shè)函數(shù)f(x)x32ax23a2xb(0a1時，x2ln x0f(x)0f(x

7、)0(2)f(x)0知識點五1極值2端點處函數(shù)值f(a)，f(b)題型探究例1解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由題意知，a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，則kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3處的切線方程為y106(x3)，即6xy280.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)切點坐標(biāo)為P(x0，y0)，函數(shù)yx33x25的導(dǎo)數(shù)為y3x26x，則切線的斜率為ky|3x26x|3x6x0.又直線2x6y10的斜率為k，kk(3x6x0)1，解得x01，y03，即P(1，3)又k3，切線方程為y33(x1)，即3xy60.例2解(1)因

8、為f(x)x3ax2x1，所以f(x)3x22ax1.當(dāng)0，即a23時，f(x)0，f(x)在R上單調(diào)遞增當(dāng)a23時，令f(x)0，求得兩根為x.即f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，在(，)內(nèi)是減函數(shù)，在(，)內(nèi)是增函數(shù)所以函數(shù)f(x)在(，)和(，)內(nèi)是增函數(shù)；在(，)內(nèi)是減函數(shù)(2)若函數(shù)在區(qū)間(，)內(nèi)是減函數(shù)，則f(x)3x22ax1的兩根在區(qū)間(，)外，即解得a2，故a的取值范圍是2，)跟蹤訓(xùn)練2解(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得f(x)x2axx(xa)(a0)，當(dāng)x(，0)時，f(x)0；當(dāng)x(0，a)時，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)

9、，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即當(dāng)x(2，1)時，a0，yf(x)為(，)上的增函數(shù)，所以yf(x)無極值；當(dāng)a0時，令f(x)0，得xln a.當(dāng)x(，ln a)時，f(x)0，yf(x)在(ln a，)上遞增，故f(x)在xln a處取得極小值f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時，yf(x)無極值；當(dāng)a0時，yf(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值(3)當(dāng)a1時，f(x)x1.直線l：ykx1與曲線yf(x)沒有公共點等價于關(guān)于x的方程kx1x1在R上沒有實數(shù)解，即關(guān)于x的方程(k1)x

10、(*)在R上沒有實數(shù)解當(dāng)k1時，方程(*)為0，在R上沒有實數(shù)解；當(dāng)k1時，方程(*)為xex.令g(x)xex，則有g(shù)(x)(1x)ex，令g(x)0，得x1.當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)減增當(dāng)x1時，g(x)min，從而g(x)，)所以當(dāng)(，)時，方程(*)沒有實數(shù)解，解得k(1e,1)綜上，k的取值范圍為(1e,1跟蹤訓(xùn)練3解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因為a0，所以x1x2.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況見下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f

11、(x)增極大值減極小值增所以當(dāng)x1時，f(x)有極大值2，即3a2b3.(2)當(dāng)0a3時，由(1)知，f(x)在0,3上為減函數(shù)，即f(3)為最小值，f(3)，從而求得a，不合題意，舍去綜上a2，b.例4解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.當(dāng)x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a，3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)；在(a,3a)上是增函數(shù)當(dāng)xa時，f(x)取得極小值，f(x)極小值f(a)ba3；當(dāng)x3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.(2)f

12、(x)x24ax3a2，其對稱軸為x2a.因為0a1，所以2aa1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù)當(dāng)xa1時，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當(dāng)xa2時，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有即a1.又因為0a1，所以a1.(3)當(dāng)a時，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(2，)上是減函數(shù)要使f(x)0在1,3上恒有兩個相異實根，即f(x)在1,2)，(2,3上各有一個實根，于是有即解得00時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(2)設(shè)g(x)x3x2ln x(x1)，則g(x)2x2x.因為當(dāng)x1時，g(x)0，所以g(x)在(1，)上是增函數(shù)所以g(x)g(1)0，即x3x2ln x0，所以x2ln x1時，x2ln x0)，