1、1.3.2空間幾何體的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.3.會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的體積及表面積.知識(shí)點(diǎn)一柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1.柱體的體積公式_(S為底面面積，h為高).2.錐體的體積公式_(S為底面面積，h為高).3.臺(tái)體的體積公式_(S、S為上、下底面面積，h為高).4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系VShV(SS)hVSh.知識(shí)點(diǎn)二球的表面積和體積公式1.球的表面積公式S_(R為球的半徑).2.球的體積公式V_.知識(shí)點(diǎn)三球體的截面的特點(diǎn)1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾

2、何體，它的任何截面均為圓.2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.類型一柱體、錐體、臺(tái)體的體積例1(1)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為_.(2)現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中.當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降_ cm.反思與感悟(1)常見的求幾何體體積的方法公式法：直接代入公式求解.等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可

3、.分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.(2)求幾何體體積時(shí)需注意的問題柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，用截面截下一個(gè)棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比.(2)已知一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.類型二球的表面積與體積命題角度1與球有關(guān)的切、接問題例2(1)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比.

4、(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_.反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖.(2)球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面有r2a，如圖.(3)長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r3，如圖.(4)正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2Ra.(5)正

5、四面體的外接球正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2Ra.跟蹤訓(xùn)練2(1)將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為_.(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_.命題角度2球的截面例3已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，求球的表面積與球的體積.反思與感悟設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在解答球心的截面問題時(shí)，常用該直角三角形求解，并常用過球心和截面圓心的軸截面.跟蹤訓(xùn)練3用過球心的平面將一個(gè)球分成兩個(gè)半球，則兩個(gè)半球的表面積

6、之和是原來整球表面積的_倍.類型三組合體的體積例4如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會(huì)溢出杯子嗎？請(qǐng)用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說明理由.反思與感悟代公式計(jì)算幾何體的體積時(shí)，注意柱體與錐體的體積公式的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四邊形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積.1.已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16 cm2，高為4 cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是_ cm.2.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于_.3.正方體的外接球的體積

7、是其內(nèi)切球的體積的_倍.4.設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體積為_.5.如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1 cm和底面半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體.當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為_ cm.1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系V柱體ShV臺(tái)體h(SS)V錐體Sh.2.在三棱錐ABCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VABCD，h.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VABCDVBACDVCAB

8、DVDABC，求解的原則是V易求，且BCD的面積易求.3.求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.4.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.5.解決球與其他幾何體的切接問題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一1VSh2VSh3V(SS)h知識(shí)點(diǎn)二14R22.R3題型探究例1(1)(2)0.6跟蹤訓(xùn)練1(1)棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為15.(2)解如圖，在三棱臺(tái)ABCABC中，取上、下底面的中心分別為O，O，BC，BC的中點(diǎn)分別為D，

9、D，則DD是梯形BCCB的高所以S側(cè)3(2030)DD75DD.又因?yàn)锳B20 cm，AB30 cm，則上、下底面面積之和為S上S下(202302)325(cm2)由S側(cè)S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱臺(tái)的高h(yuǎn)OO4(cm)由棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積為V(S上S下)(2023022030)1 900(cm3)例2(1)解如圖，等邊ABC為圓錐的軸截面，截球面得圓O.設(shè)球的半徑OER，OA2OE2R.ADOAOD2RR3R，BDADtan 30R，V球R3，V圓錐BD2AD(R)23R3R3，V球V圓錐49.(2)6a2跟蹤訓(xùn)練2(1)(2)a2例3解如圖所示，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1平面ABC于點(diǎn)O1，由于OAOBOCR，則O1是ABC的外心，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于ACBC，則O1CM.設(shè)O1Mx，易知O1MAB，則O1A，O1CCMO1Mx.又O1AO1C，x，解得x.O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR，由勾股定理得22R2，解得R，則S球4R254，V球R327.跟蹤訓(xùn)練3例4解不會(huì)溢出杯子理由如下：因?yàn)閂半球R343(cm3)，V圓錐r2h421264(cm3)，所以V半球V圓錐，所以