1、三、考點縱橫6大?？伎键c之神思妙解?？键c1最值問題的5大解法方法1函數法(1)利用已知函數性質求最值根據已知函數解析式,直接利用基本初等函數的性質(單調性、奇偶性等)是函數法的主要類型之一.典例1函數y=cos 2x+2cos x的最小值是.思路點撥利用余弦倍角公式轉化為關于cos x的二次函數在閉區(qū)間上的最值.答案-解析y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2-,當且僅當cos x=-時,函數取得最小值-.(2)構建函數模型求最值很多最值問題需要先建立函數模型,然后使用函數性質求解.建立函數模型的關鍵是找到一個變量,利用該變量表示求解目標,變量可以是實數,也可以是一

2、個角度(如果使用弧度制實際上也可以看作一個實數),還可以是一個變量不等式等,建立函數模型需要注意建立的函數模型的定義域.典例2在ABC中,點D滿足=,當點E在線段AD上移動時,若=+,則t=(-1)2+2的最小值是()A.B.C.D.思路點撥根據點E在線段AD上移動,利用共線向量定理設出變量x,建立求解目標關于x的函數關系后利用函數性質求解.答案C解析設=x(0x1),因為=+=+=+(-)=+,所以=x+x,又=+,且,不共線,所以=x,=x,所以t=(-1)2+2=+=(5x2-4x+8),在x=時取得最小值.故選C.方法2不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一

3、,使用基本不等式時要注意:基本不等式的使用條件和等號是否能夠成立;變換已知不等式使之符合使用基本不等式的條件.典例3已知圓O的半徑為1,HM,HN為該圓的兩條切線,M,N為兩切點,那么的最小值為.思路點撥以OHM為變量建立求解目標的函數關系后,通過變換使用基本不等式.答案2-3解析連接OH,OM,ON,設OHM=OHN=,0b0),c0,且c2=a2-b2.若圓C1,C2都在橢圓內,則橢圓離心率的最大值為.思路點撥根據橢圓與圓的位置關系,建立關于e的不等式即可求出e的最大值.答案解析由題意得可得結合e(0,1),可得0e.e的最大值為.方法3導數法(1)直接使用導數求最值三次函數、含有指數、對

4、數與其他函數綜合的函數,求最值時要利用導數法.基本步驟:確定單調性和極值,結合已知區(qū)間和區(qū)間的端點值確定最值.典例6已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n-1,1,則f(m)+f (n)的最小值是.思路點撥分別求出f(m), f (n)的最小值相加即可.答案-13解析f (x)=-3x2+2ax,根據已知得f (2)=0,得a=3,所以f (x)=-3x2+6x,令f (x)=0,得x=0或x=2,當x0時, f (x)0, f(x)單調遞減,當0x0, f(x)單調遞增,當x2時, f (x)0, f(x)單調遞減,所以f(m)在-1,1上的最小值為f(0)=-4,

5、又f (n)=-3n2+6n在-1,1上單調遞增,所以f (n)的最小值為f (-1)=-9.故f(m)+f (n)min=f(m)min+f (n)min=-4-9=-13.(2)構造函數利用導數求最值不等式恒成立問題的一個基本處理方法是轉化為函數最值,需要通過構造函數求函數最值,而求函數最值中導數方法是最有效的.注意使用導數求函數最值的基本步驟.典例7已知函數f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x(e是自然對數的底數,e=2.718 28)使不等式2f(x)g(x)成立,求實數a的最大值.思路點撥2f(x)g(x)可變形為a2ln x+x+,x,由題意可知a小于或等于2

6、ln x+x+的最大值,從而將問題轉化為求函數h(x)=2ln x+x+,x的最大值問題.解析由題意知2xln x-x2+ax-3,x,即a2ln x+x+,x令h(x)=2ln x+x+,x,則h(x)=+1-=,當x時,h(x)0,此時h(x)單調遞增.所以h(x)max=max,因為存在x,使2f(x)g(x)成立,所以ah(x)max,又h=-2+3e,h(e)=2+e+,所以h-h(e)=-4+2e-0,故hh(e),所以a+3e-2.即a的最大值為+3e-2.方法4數形結合法(1)曲線上的點與直線上點的距離的最值求與直線不相交的曲線上的點與該直線上的點的距離的最值的最直觀方法就是“

7、平行切線法”(數形結合思想的具體體現(xiàn)).典例8設點P在曲線y=x2+1(x0)上,點Q在曲線y=(x1)上,則|PQ|的最小值為()A.B.C.D.思路點撥根據圖象的對稱性轉化為求曲線上的點與直線上的點之間的最近距離.答案B解析在同一坐標系中分別畫出兩個函數的圖象(圖略),可知兩個函數的圖象關于直線y=x對稱.考慮函數y=x2+1(x0)圖象上某點處斜率為1的切線的切點坐標,由y=2x=1,得x=,進而y=,即函數y=x2+1(x0)圖象上在點處的切線斜率等于1,該點到直線x-y=0的距離為=,這個距離的二倍即為所求的最小值,即|PQ|的最小值為.故選B.(2)根據求解目標的幾何意義求最值把求

8、解目標的代數表達式賦予其幾何意義,就可以把代數問題轉化為幾何問題、函數問題.常見的目標函數的幾何意義有:兩點連線的斜率、兩點間的距離等.典例9(1)(2016山東,4,5分)若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12(2)已知實數a,b,c,d滿足=1,其中e是自然對數的底數,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為()A.4B.8C.12D.18思路點撥(1)點(x,y)為平面區(qū)域內的動點,x2+y2的幾何意義是動點到坐標原點的距離的平方.(2)將(a,b),(c,d)看作點的坐標,則這兩個點各自在一條曲線與一條直線上,(a-c)2+(b-d)2的幾何意義是曲線上的

9、點與直線上的點的距離的平方.答案(1)C(2)B解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(包括邊界),x2+y2表示平面區(qū)域內的點與原點的距離的平方,由圖易知平面區(qū)域內的點A(3,-1)與原點的距離最大,所以x2+y2的最大值是10,故選C.(2)由=1,得b=a-2ea,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的幾何意義是曲線y=x-2ex上的點(a,b)與直線y=-x+2上的點(c,d)的距離的平方.對y=x-2ex求導,得y=1-2ex,令1-2ex=-1,解得x=0,故曲線y=x-2ex在x=0處的切線的斜率等于-1,此時切點坐標為(0,-2),該點到直線y=-x+2

10、的距離即為曲線y=x-2ex與直線y=-x+2上點距離的最小值,此時的最小距離為=2,故所求的最小值為(2)2=8.方法5構造法(1)構造函數求最值任意實數a,b,當b0時,一定存在實數,使得a=b,用它可以把某些以比值形式出現(xiàn)的二元不等式轉化為一元不等式.典例10若不等式x2+2xya(x2+y2)對于一切正數x,y恒成立,則實數a的最小值為()A.2B.C.D.思路點撥分離參數后轉化為函數的最值問題,對含變量x,y的表達式構造函數,求函數最值.答案D解析不等式x2+2xya(x2+y2)對于一切正數x,y恒成立等價于a恒成立,即a.令y=tx,則=.令m=1+2t(m1),則t=,則=.=

11、,故a.故a的最小值為,選D.(2)構造模型求最值根據求解目標的特點,通過聯(lián)想已知知識構造恰當的模型(如正方形、正方體、函數、數列等)求解最值.典例11函數y=+的最小值為.思路點撥聯(lián)想兩點間的距離公式,構造平面直角坐標系中的一個圖形模型,根據幾何意義求解.答案解析將函數化為y=+,則問題可以轉化為在x軸上找一點,使它到A(1,1),B(3,2)兩點距離之和最小的幾何模型問題.將點A(1,1)關于x軸對稱,得A(1,-1),連接AB交x軸于點P,則線段AB的長就是所求的最小值,即|AB|=.故填.?？键c2范圍問題的6大解題妙招方法1構建函數模型法選定一個變量建立求解目標的函數關系式,利用函數的

12、性質得出其取值范圍,這是求范圍問題最為基本、應用最為廣泛的方法.典例1(1)已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為F1,F2,兩曲線在第一象限的交點記為P,PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍是()A.B.C.D.(2)在銳角ABC中,AC=6,B=2A,則BC的取值范圍是.思路點撥(1)橢圓和雙曲線的公共元素為半焦距c,以其為變量建立求解目標的函數關系式,然后求解;(2)求出角A的取值范圍,以其為變量表示出BC,利用三角函數性質得出其范圍.答案(1)C(2)(2,3)解析(1)根據已知可知|

13、PF2|=2c,在橢圓中,根據定義知2c+10=2a1,a1=c+5,則離心率e1=,在雙曲線中,根據定義知10-2c=2a2,a2=5-c,則離心率e2=.由于P,F1,F2三點構成三角形,所以2c+2c10,即c,根據10-2c=2a20可得0c5,故c5,所以0-1.故選C.(2)根據正弦定理,得=,又B=2A,所以=,所以BC=.由于ABC為銳角三角形,所以B=2A,即A,所以A,所以A,所以cos A,所以,所以23,即BC的取值范圍為(2,3).方法2分離參數法在方程有解、不等式恒成立等問題中求參數取值范圍時,如果參數能夠分離出來,即方程或不等式的一端為參數,另一端為某個變量的代數

14、式,則只要研究其相應函數的性質即可根據問題的具體設問得出參數的取值范圍.典例2已知f(x)=(-x2+x-1)ex,g(x)=x3+x2+m,若y=f(x)與y=g(x)的圖象有三個不同的交點,求實數m的取值范圍.思路點撥函數f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點,即方程f(x)=g(x)有三個不同的實根,分離參數之后,即可以將所求解的問題轉化為直線y=-m與某函數圖象的交點問題進行求解.解析函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有三個不同的交點等價于方程f(x)=g(x)有三個不同的實根,即-m=(x2-x+1)ex+x3+x2有三個不同的實根,亦即直線y=-m與函數h(x)=(x2-x+1

15、)ex+x3+x2的圖象有三個不同的交點.對h(x)=(x2-x+1)ex+x3+x2求導,得h(x)=x(x+1)(ex+1),則函數h(x)在(-,-1上單調遞增,在(-1,0)上單調遞減,在0,+)上單調遞增.所以h(x)極大值=h(-1)=+,h(x)極小值=h(0)=1,結合圖象知1-m+,解得-m1時, f(x)ln x恒成立,求實數a的取值范圍.思路點撥分離參數后,轉化為求函數的最值問題.解析依題意知f(x)-ln x0,即x2+aln x-ln x0,(a-1)ln x-x2,x1,ln x0,a-1,a-1.令g(x)=,則g(x)=,令g(x)=0,解得x=,當1x0,g(

16、x)在(1,)上單調遞增;當x時,g(x)-e,即a1-e,即a的取值范圍是(1-e,+).方法3參數與變量整體處理法當參數與變量交織在一起,分離參數不方便時,把參數作為常數,構成一個含參數的函數、不等式、方程等,根據問題的實際情況從整體上得出參數滿足的條件,得出其取值范圍.典例4已知函數f(x)=x+-2aln x在區(qū)間(1,2)內是增函數,則實數a的取值范圍是.思路點撥由題意知f (x)0在(1,2)上恒成立,化為一元二次不等式在(1,2)上恒成立,結合函數圖象分類討論其成立時a的取值范圍.答案解析f (x)=1-=.函數f(x)在區(qū)間(1,2)內是增函數等價于f (x)0在(1,2)上恒

17、成立,即x2-2ax-3a20在(1,2)上恒成立.令g(x)=x2-2ax-3a2.當a1時,g(x)在(1,2)上單調遞增,只要g(1)=1-2a-3a20,解得-1a;當1a2時,只要g(a)=-4a20,無解;當a2時,g(x)在(1,2)上單調遞減,只要g(2)=4-4a-3a20,即3a2+4a-40,解得-2a,與a2矛盾.綜上可知,函數f(x)在區(qū)間(1,2)內是增函數時,a的取值范圍是.方法4數形結合法(1)直接使用數形結合法數形結合法是廣泛使用的一種數學方法.在求參數范圍問題中,使用數形結合的思想就是通過圖形位置的變化找到滿足題意的參數所需要的條件,進而得出參數的取值范圍.

18、典例5已知函數f(x)=g(x)=kx+1(xR),若函數y=f(x)-g(x)在x-2,3內有4個零點,則實數k的取值范圍是()A.B.(2,+)C.D.(2,4思路點撥已知函數的零點個數求參數的取值范圍,主要考查考生的數形結合思想和分類討論思想.本題先考慮x=0時的情形,再考慮x0時的情形:把函數有四個零點轉化為方程有四個實根,化簡,構造兩個新函數,它們的圖象有四個交點,畫圖得結論.答案C解析當x=0時,顯然有f(x)g(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零點.當x0時,y=f(x)-g(x)在x-2,3內的零點個數即方程f(x)=g(x)(-2x3)的實根的個數.當0x3時,有k

19、x+1=x2+3,即k=x+;當-2x0時,有kx+1=1+4xcos x,即k=4cos x.所以y=f(x)-g(x)(-2x3)的零點個數等價于函數y=k與y=的圖象的交點個數,作出這兩個函數的圖象,如圖所示,由圖知2m對任意xR,a(0,+)恒成立,則實數m的取值范圍是()A.B.C.(-,)D.(-,2)思路點撥根據兩點間的距離公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的幾何意義,然后求解.答案A解析式子(x-a)2+(x-ln a)2的幾何意義是直線y=x上的點(x,x)到曲線y=ln x上的點(a,ln a)距離的平方.y=ln x的導函數為y=,令=1,得x=1,即曲線y=ln

20、x上橫坐標為1的點處的切線平行于直線y=x,此時切點(1,0)到直線y=x的距離最小,最小值為,此即為曲線y=ln x上的點與直線y=x上點的距離的最小值,所以(x-a)2+(x-ln a)2min=,不等式(x-a)2+(x-ln a)2m對任意xR,a(0,+)恒成立,只需m,故m的取值范圍是.故選A.方法5轉化為參數與函數值比較法(1)參數與函數的最值比較求不等式恒成立、等式恒成立等問題中參數范圍的主要方法之一就是化為參數與函數最值的比較,得出參數滿足的不等式求得其范圍.典例7定義域為R的函數f(x)滿足f(x+2)=2f(x)-2,當x(0,2時, f(x)=當x(0,4時,t2-f(

21、x)3-t恒成立,則實數t的取值范圍是()A.1,2B.C.D.2,+)思路點撥由題意知t2-tf(x)min且f(x)max3-t.答案A解析易知函數f(x)在(0,2上的值域為.當x(2,4時, f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2(0,2,故函數f(x)在(2,4上的值域為-1,0.綜上可知,函數f(x)在(0,4上的最小值為-,最大值為1.不等式t2-f(x)3-t對x(0,4恒成立等價于t2-tf(x)min且f(x)max3-t,即t2-t-且13-t,即1t且t2,即1t2.故實數t的取值范圍是1,2.故選A.(2)參數與函數值域的端點值比較在函數、數列問題中有些函數不存在最

22、值,該類問題中參數值就要與值域的端點值進行比較,值得注意的是“等號”能否取得.典例8已知數列an的通項公式為an=2n-1,記數列的前n項和為Tn,若對任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,則實數a的取值范圍為.思路點撥求出4Tn的范圍,解不等式即可.答案(-,-12,+)解析=,所以Tn=,4Tn2,由4Tn0,設a,b的夾角為,則4|b|2-42|b|b|cos 0,即cos 1,設函數f(x)=ax+x-4的零點為m,g(x)=logax+x-4的零點為n,則+的取值范圍是()A.(3.5,+)B.1,+)C.(4,+)D.(4.5,+)思路點撥利用指數函數與對數函數圖象的特點,得出

23、m+n=4,進行常數代換后利用基本不等式求解.答案B解析直線y=x與直線y=4-x的交點坐標為(2,2),函數y=ax,y=logax與直線y=4-x的交點關于點(2,2)對稱,所以兩個函數零點之和為4,即m+n=4,所以+=(m+n)=(2+2)=1,其中當a=時可以使m=n=2,故可以取得等號,即+的取值范圍是1,+).故選B.(3)建立求解目標的不等式(組)建立求解目標的不等式(組),通過解不等式(組)得出求解目標的取值范圍是求解范圍問題的一個基本方法,很多問題均可使用這個方法解決,如一元二次方程的實根問題、直線與圓錐曲線的位置關系問題等.典例13(1)已知實數x,y滿足若不等式ax-y

24、3恒成立,則實數a的取值范圍為()A.(-,4B.C.D.2,4(2)雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點為F,左頂點為A,以F為圓心,過點A的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點,若|PQ|不小于雙曲線的虛軸長,則該雙曲線離心率的取值范圍是.思路點撥(1)只要ax-y在不等式組表示的平面區(qū)域的頂點處的取值不大于3即可;(2)建立關于雙曲線離心率的不等式求解即可.答案(1)B(2)(1,3解析(1)不等式組表示的是平面直角坐標系中以點(1,1),(1,-1),(2,0)為頂點的三角形及其內部,由題意知,只要ax-y在上述三點處均不大于3即可,所以實數a滿足不等式組解得a,即實數a的取值范圍為.故選

25、B.(2)設F(c,0),則圓心坐標為(c,0),因為圓F過點A,所以半徑為a+c,取雙曲線的一條漸近線方程bx+ay=0,則圓心到該直線的距離d=b,則|PQ|=22b,故(a+c)22b2,即c2-2ac-3a20,即e2-2e-30,解得-1e3,又e1,所以所求的雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3.常考點3數列問題的5大常用技巧技巧1整體利用數列的性質等差數列、等比數列的通項公式與求和公式中均涉及多個量,解題中可以不必求出每個量,從整體上使用公式.典例1(1)等比數列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15的值為()A.1B.2C.3D.5(2)設等差

26、數列an的前n項和為Sn,若S6S7S5,則滿足SkSk+10,a7=S7-S60,則S11=11a60,S12=0,S13=13a70,所以S12S130,即滿足SkSk+1b0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則橢圓E的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案D解析由題意知直線AB的斜率k=,設A(x1,y1),B(x2,y2),則-整理得=-,即k=-,=.又a2-b2=c2=9,a2=18,b2=9.橢圓E的方程為+=1,故選D.方法2對稱問題幾何意義法圓錐曲線上存在兩點,關于某條直線對稱,求參數的取值范圍,這類問

27、題常見的解法:設P(x1,y1),Q(x2,y2)是圓錐曲線上關于直線y=kx+b對稱的兩點,則PQ的方程為y=-x+m,代入圓錐曲線方程,得到關于x(或y)的一元二次方程,其中P,Q的橫(或縱)坐標即為方程的根,故0,從而求得k(或b)的取值范圍.典例2已知拋物線C:y2=x與直線l:y=kx+,要使C上存在關于直線l對稱的兩點,求實數k的取值范圍.解析設C上的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點關于直線l對稱,線段AB的中點為M(x0,y0),則兩式相減,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.y1+y2=2y0,ABl,kAB=-=,y0=-.代入y=kx+得x0=-.點M在拋物線

28、內部,x0,即-,整理得k2+20.不等式等價于(k+1)(k2-k+3)0,解得-1k0,k的取值范圍為(-1,0).典例3在曲線+=1上存在A,B兩點關于直線y=4x+m對稱,求m的取值范圍.解析設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為P(x0,y0),點A,B在曲線+=1上,+=1,+=1,由-得+=0,又=-,x0-=0,由P.點P在曲線+=1內部,+1,-m0,b0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),P為雙曲線上任一點,且最小值的取值范圍是,則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,B.,2C.(0,D.2,+)(2)已知雙曲線C:-y2=1,點M的

29、坐標為(0,1).設P是雙曲線C上的點,Q是點P關于原點的對稱點.記=,則的取值范圍是.思路點撥(1)求出a,c滿足的不等關系;(2)建立關于點P的坐標的函數關系式.答案(1)B(2)(-,-1解析(1)設P(x0,y0),則=(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)=-c2+=a2-c2+,當y0=0時,取得最小值a2-c2,根據題意有-c2a2-c2-c2,即c2a2c2,即24,即2,所以所求離心率的取值范圍是,2.故選B.(2)設P(x0,y0),則Q(-x0,-y0),所以=(x0,y0-1)(-x0,-y0-1)=-+1=-+2,因為|x0|,所以的取值范圍是(-,-1.方法4最值問題不等式法解析幾何最值(范圍)問題,有時需要使用雙參數表達直線方程,解決方法: