1、坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系(2)極坐標極徑：設M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.極坐標：有序數(shù)對(，)叫做點M

2、的極坐標，記為M(，)一般不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù)3極坐標與直角坐標的互化設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則它們之間的關系為：4簡單曲線的極坐標方程曲線極坐標方程圓心為極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (0)過極點，傾斜角為的直線(R)或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過點，與極軸平行的直線sin a(00時，可?。划攛0，y0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)

3、直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上所以a1.5(2018洛陽模擬)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2(y

4、2)24.以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(1)求圓C的極坐標方程；(2)直線l的極坐標方程是2sin5，射 線OM：與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長解：(1)將xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圓C的極坐標方程為4sin .(2)設P(1，1)，則由解得12，1.設Q(2，2)，則由解得25，2.所以|PQ|213.6在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(1)求C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程解：(1)由c

5、os1得1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N.(2)由(1)知M點的直角坐標為(2,0)，N點的直角坐標為.所以P點的直角坐標為，則P點的極坐標為，所以直線OP的極坐標方程為(R)7(2018福建質(zhì)檢)在直角坐標系xOy中，曲線C1的普通方程為(x2)2y24，在以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：(0)，A(2,0)(1)把C1的普通方程化為極坐標方程；(2)設C3分別交C1，C2于點P，Q，求APQ的面積解：(1)因為C1的普通方程為(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的極坐標方程為24c

6、os 0，即4cos .(2)依題意，設點P，Q的極坐標分別為，.將代入4cos ，得12，將代入2sin ，得21，所以|PQ|12|21.依題意，點A(2,0)到曲線(0)的距離d|OA|sin 1，所以SAPQ|PQ|d(21)1.8(2018貴州適應性考試)在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為4cos ，曲線C2的極坐標方程為cos2sin .(1)求曲線C2的直角坐標方程；(2)過原點且傾斜角為的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(A，B異于原點)，求|OA|OB|的取值范圍解：(1)由曲線C2的極坐標方程為cos2sin ，兩邊同乘以，

7、得2cos2sin ，故曲線C2的直角坐標方程為x2y.(2)射線l的極坐標方程為，把射線l的極坐標方程代入曲線C1的極坐標方程得|OA|4cos ，把射線l的極坐標方程代入曲線C2的極坐標方程得|OB|，|OA|OB|4cos 4tan .，|OA|OB|的取值范圍是.第二節(jié)參數(shù)方程1參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)

8、過點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))(4)雙曲線1(a0，b0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))1在平面直角坐標系中，若曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為_解析：依題意，消去參數(shù)可得x2y1，即xy10.答案：xy102橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過左焦點F1的直線l與C相交于A，B兩點，則|AB|min_.解析：由(為參數(shù))得，1，當ABx軸時，|AB|有最小值所以|AB|min2.答案：3曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C的普通方程為_解析

9、：由(為參數(shù))消去參數(shù)，得y22x2(1x1)答案：y22x2(1x1)4在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的方程為x21，設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，則線段AB的長為_解析：將直線l的參數(shù)方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|.答案：考什么怎么考參數(shù)方程與普通方程的互化是每年高考的熱點內(nèi)容，常與極坐標、直線與圓錐曲線的位置關系綜合考查，屬于基礎題1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解：(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.當t1時，0x1，當t1時，1x0)以

10、坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為cos2.(1)設P是曲線C上的一個動點，當a2時，求點P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍解：(1)由cos2，得(cos sin )2，化成直角坐標方程，得(xy)2，即直線l的方程為xy40.依題意，設P(2cos t,2sin t)，則點P到直線l的距離d22cos.當cos1時，dmin22.故點P到直線l的距離的最小值為22.(2)曲線C上的所有點均在直線l的右下方，對tR，有acos t2sin t40恒成立，即cos(t)4恒成立，0，0a0，即a0，t1t2

11、，t1t2.根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|可得2|t1|22|t2|，即t12t2或t12t2.當t12t2時，有解得a，符合題意當t12t2時，有解得a，符合題意綜上，實數(shù)a或a.3(2018貴陽模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動點，求當AB取最小值時AOB的面積解：(1)由(t為參數(shù))得C1的普通方程為(x4)2(y5)29，由2s

12、in ，得22sin ，將x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐標方程為x2(y1)21.(2)如圖，當A，B，C1，C2四點共線，且A，B在線段C1C2上時，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，則kC1C21，直線C1C2的方程為xy10，點O到直線C1C2的距離d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.4(2018廣州綜合測試)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：2cos.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到直線l的距離的最

13、大值解：(1)由(t為參數(shù))消去t得xy40，所以直線l的普通方程為xy40.由2cos22cos 2sin ，得22cos 2sin .將2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲線C的直角坐標方程為(x1)2(y1)22.(2)法一：設曲線C上的點P(1cos ，1sin )，則點P到直線l的距離d.當sin1時，dmax2.所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為2.法二：設與直線l平行的直線l：xyb0，當直線l與圓C相切時，解得b0或b4(舍去)，所以直線l的方程為xy0.因為直線l與直線l的距離d2.所以曲線C上的點到直線l的距

14、離的最大值為2.5在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標為(2sin ，)，B的極坐標為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當時，|AB|取得最大值，最大值為4.6已

15、知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)求直線L的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；(2)過曲線C上任意一點P作與直線L夾角為的直線l，設直線l與直線L的交點為A，求|PA|的最大值解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2xy60，令xcos ，ysin ，得直線L的極坐標方程為2cos sin 60，由曲線C的極坐標方程，知232cos24，所以曲線C的直角坐標方程為x21.(2)由(1)，知直線L的普通方程為2xy60，設曲線C上任意一點P(cos ，2sin )，則點P到直線L的距離d.由題意得|PA|，所以當s

16、in1時，|PA|取得最大值，最大值為.7(2018石家莊一模)在平面直角坐標系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)過坐標原點O且關于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程解：(1)由2，得24，所以曲線C1的直角坐標方程為x2y24.故由題意可得曲線C2的直角坐標方程為y21.所以曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)設四邊形ABCD的周長為l，點A(2cos ，sin )，則l8cos 4sin 4sin()，所以當2k(kZ)時，l取得最大值，最大值為4，此時2k(kZ)，所以2cos 2sin ，sin cos ，此時A.所以直線l1的普通方程為x4y0.8(2018成都診斷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以