1、波利亞數(shù)學(xué)啟發(fā)法導(dǎo)引,主講：方大凡,第三章 化歸法,波利亞數(shù)學(xué)啟發(fā)法導(dǎo)引, 000 000 000,3.1 善用化歸法是數(shù)學(xué)家思維的一個(gè)重要特點(diǎn),3.2 化歸的方法,3.3 更一般的模式,化歸法是把有待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為已解決的某類問(wèn)題的方法。本章分三節(jié)展開(kāi)：,一般模式,3.1 善用化歸法是數(shù)學(xué)家思維的重要特點(diǎn),化歸的方向,變化的成分,善于運(yùn)用化歸法解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)家思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。我們分三目來(lái)簡(jiǎn)要敘述化歸法。,引入：有趣的燒開(kāi)水問(wèn)題:,空水壺,自來(lái)水,火爐,數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家。,裝好了水的水壺,自來(lái)水,火爐,數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家。,水壺裝了水 的燒水問(wèn)題,水壺未裝水 的燒水問(wèn)題,此問(wèn)題的解已

2、知,原問(wèn)題的解,問(wèn)題,問(wèn)題*,解答*,解答,化歸法的一般模式,求四邊形的內(nèi)角和,三角形的內(nèi)角和,求解方程組,化歸的方向,由未知到已知 由難到易 由繁到簡(jiǎn),求解方程組,方法二,哪個(gè)方法較好？,由(2)，,代入(1)得：,求和,求直角三角形的面積。,用一根定長(zhǎng)的繩子在海灘上圍出一個(gè)面積 盡可能大的沙灘（臨海的一面不用圍）。,一個(gè)農(nóng)夫爬在地上數(shù)鴨腳。,鏡象法 有時(shí)好用 有時(shí)不好用,我們可以通過(guò)配方將其化歸為形如,由一般到特殊,的方程：,解方程,變化的成分,前述鏡像法變的是未知成分。,下面給出一個(gè)不同的例：,雞兔同籠：一個(gè)農(nóng)夫有若干雞和兔子，它們共有 50 個(gè)頭 140 只腳，問(wèn)雞和兔子各有多少只？,

3、假設(shè)雞都作金雞獨(dú)立狀，兔則用一雙后腳直立行走。,這里變的是已知成分。,例4：已知三角形的三條中線，求作這個(gè)三角形。,這里變的既有已知成分也有未知成分。,應(yīng)當(dāng)用可變觀點(diǎn)而不是靜止眼光看問(wèn)題。,分割法,3.2 化歸的方法,映射法,求變法,分割法,形體分割法,疊加法（見(jiàn)疊加模式）,軌跡交會(huì)法（見(jiàn)雙軌跡模式）,局部變動(dòng)法,逐步逼近法,形體分割法,弓形的面積計(jì)算。,Descartes：把你所考慮的問(wèn)題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。,疊加法,圓周角與圓心角關(guān)系定理的證明。,Descartes：把你所考慮的問(wèn)題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。,Descartes ：把你

4、所考慮的問(wèn)題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。,在疊加法中，未知成分被分割成了一些較簡(jiǎn)單成分的線性組合。這是疊加法的主要特點(diǎn)。,應(yīng)用疊加法解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于通過(guò)分割實(shí)現(xiàn)由一般到特殊的化歸。因?yàn)橹挥羞@樣才能達(dá)到化未知為已知、化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。,我們來(lái)看一個(gè)更典型的例子。,分割：求一個(gè)階數(shù)最低的多項(xiàng)式，使其滿足下述條件：,插值問(wèn)題：給定個(gè)不同的數(shù)及另外個(gè)數(shù)，求一個(gè)階數(shù)最低的多項(xiàng)式使其滿足條件：,易知，上述插值問(wèn)題的解就是：,而滿足條件,的多項(xiàng)式是容易求得的：,這里，常數(shù)由確定。,滿足條件,的多項(xiàng)式是容易求得的：,這里，常數(shù) 由確定：,插值問(wèn)題：給定個(gè)不同的數(shù)及另外個(gè)數(shù)，求一

5、個(gè)階數(shù)最低的多項(xiàng)式使其滿足條件：,用上述方法求一個(gè),多項(xiàng)式函數(shù)使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),(1,2)(3,-1).,局部變動(dòng)法,給定邊數(shù)，在已知圓中具有最大面積的內(nèi)接多邊形是正多邊形。,假設(shè)除一個(gè)頂點(diǎn) X 外，多邊形的其余各點(diǎn)都已固定且已位于它們所應(yīng)處的位置，問(wèn)題特殊化為如何選擇 X 的位置以使多邊形的面積最大。,端點(diǎn)分別在兩條異面直線上的線段中長(zhǎng)度最小的為什么是公垂線？請(qǐng)用局部變動(dòng)法給出說(shuō)明。,依賴于多因素的變量的極值問(wèn)題,依賴于單因素的變量的極值問(wèn)題,解*,解,逐步逼近法,解線性方程組的高斯消去法。,逐步逼近法,求圓錐曲線方程時(shí)，先確定方程的類型，再求方程的系數(shù)。,已知以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)

6、過(guò)點(diǎn) (1,2)，試設(shè)計(jì)一個(gè)求此拋物線方程的解題方案？,充分利用已獲得的知識(shí)作為新的行動(dòng)基地。,google 的“在結(jié)果中搜索” 也是用的逐步逼近法。你能舉出另外的例子嗎？,用逐步逼迫的思想（待定系數(shù)法）做多項(xiàng)式乘法與因式分解。,問(wèn)題,問(wèn)題*,解答*,解答,映射法,利用映射，雙二次方程可化歸為二次方程而得到解決。例如：,對(duì)數(shù)計(jì)算法是應(yīng)用映射法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的典型例子。,取對(duì)數(shù),取反對(duì)數(shù),這是求取某個(gè)未知量的具體問(wèn)題。,幾何問(wèn)題,代數(shù)問(wèn)題,代數(shù)結(jié)論,幾何結(jié)論,解析幾何的創(chuàng)立也可歸結(jié)為映射法的成功應(yīng)用。,解析表示,（坐標(biāo)系）,這是涉及到理論的整體性結(jié)構(gòu)的高層次的問(wèn)題,例：證明三角形三條高線共點(diǎn)。,僅用

7、兩次（沿直線進(jìn)行的）切割把下面的圖形變成一個(gè)與該圖等積的正方形。,計(jì)算化：,求變法,有理函數(shù)的 積分問(wèn)題,解,分解,部分分式的 積分問(wèn)題,組合,恒等變形法,求有理函數(shù)的積分。,求有理函數(shù)的積分。,求有理函數(shù)的積分。,參數(shù)變異法,求標(biāo)準(zhǔn)三次方程的公式解。,直到 16 世紀(jì)這個(gè)問(wèn)題才由意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞(Tartaglia)解決。塔塔里亞用的就是參數(shù)變異法。,他引進(jìn)參數(shù)，并令， 這時(shí)，原方程就變形為：,取則有：,易知，是二次方程的兩個(gè)根,令，則可取，使得：,這樣，上述三次方程求解問(wèn)題便已實(shí)質(zhì)性得到解決。,參數(shù)變異法的特征是通過(guò)引進(jìn)參數(shù)使問(wèn)題的表現(xiàn)形式或解的結(jié)構(gòu)處于可變的狀態(tài)之中。,這種變化的目的

8、是什么？,參數(shù)變異法的特征是通過(guò)引進(jìn)參數(shù)使問(wèn)題的表現(xiàn)形式或解的結(jié)構(gòu)處于可變的狀態(tài)之中。,這種變化的目的是什么？,常用的待定系數(shù)法是參數(shù)變異法的具體運(yùn)用。由此，也許你能悟出我們視待定系數(shù)為“可變”常數(shù)的妙處吧。,3.3 更一般的模式,多步化歸與有反饋的化歸,化歸法的核心思想,多步化歸與有反饋的化歸,英國(guó)哲學(xué)家霍布斯說(shuō)： “從一個(gè)愿望聯(lián)想起我們?cè)?jīng)看到過(guò)的某些方法、手段，借助于這些方法、手段，我們可以得到如所求的目標(biāo)那一類的東西。再?gòu)倪@些方法或手段出發(fā)，我們又聯(lián)想到別的一些通向它們的方法或手段，這樣繼續(xù)下去，直到達(dá)到某個(gè)我們能力所及的起點(diǎn)為止”。,我們前面介紹的化歸法只是一種簡(jiǎn)化了的模式，更一般的

9、表述如下：,問(wèn)題,問(wèn)題*,解答*,解答,問(wèn)題* *,解答* *,不難看出，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中常用的 分析綜合法可看成是多次化歸法的應(yīng)用。,計(jì)算圓臺(tái)的體積。,圓臺(tái)的 體積,解,圓錐的 體積,解*,圓錐 的高,解* *,相似三角形的計(jì)算,解* * *,在實(shí)際應(yīng)用中，化歸往往不是單向的、完全確定的過(guò)程，而是一種包含了多次反復(fù)與嘗試（即信息的交流與反饋）的復(fù)雜過(guò)程。,在實(shí)際應(yīng)用中，化歸往往不是單向的、完全確定的過(guò)程，而是一種包含了多次反復(fù)與嘗試（即信息的交流與反饋）的復(fù)雜過(guò)程。,只有通過(guò)多次的實(shí)踐（包括錯(cuò)誤的實(shí)踐），才能不斷加深對(duì)原問(wèn)題的理解，從而也才有可能最終找到正確的化歸方向和方法。,化歸的核心思想

10、,應(yīng)以可變的觀點(diǎn)看問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?盯住目標(biāo)。,保持一定的靈活性。,正如波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)一書(shū)中所指出的：,如果有幾條可能的途徑，而其中沒(méi)有一個(gè)是十分有把握的，那么，在你沿著某一條路走得太遠(yuǎn)以前，最好先對(duì)每一條路都稍加探索，因?yàn)槿魏我粭l路都可能把你引入死胡同。 也就是說(shuō)，不應(yīng)過(guò)早地把自己局限于某一途徑。,擇其善者而從之。,波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)一書(shū)中 提出如下“擇優(yōu)原則”：,困難少的應(yīng)先于困難多的。 較熟悉的應(yīng)先于不那么熟悉的。,化歸法的局限性：,并非所有的問(wèn)題都可通過(guò)化歸而得到解決。例如，“由難到易，由繁到簡(jiǎn)”的化歸顯然就不可能無(wú)限制地永遠(yuǎn)進(jìn)行下去。,用化歸法解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于我們能否找到正確的化歸方向與方法。因此，盡管化歸法主要是（或者說(shuō)，最終表現(xiàn)為）一種解決問(wèn)題的方法，但是，它的成