1、第8講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考綱要求考情分析命題趨勢1了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景2理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算3理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點4知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型2016全國卷，62015天津卷，72015山東卷，142015江蘇卷，71指數(shù)冪的化簡與運算，經(jīng)常與對數(shù)函數(shù)相結(jié)合考查2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用是高考的熱點，經(jīng)常與對數(shù)函數(shù)一起考查3指數(shù)函數(shù)的綜合應用是高考的熱點，經(jīng)常以指數(shù)型函數(shù)和復合函數(shù)的形式出現(xiàn)，考查它們的單調(diào)性、奇偶性、最值等分值：5分1根式(1)根式的概念根式的概念符號表示備注如果_xna_，那么

2、x叫做a的n次方根n1且nN*當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個_正數(shù)_，負數(shù)的n次方根是一個_負數(shù)_零的n次方根是零當n是偶函數(shù)時，正數(shù)的n次方根有_兩個_，這兩個數(shù)互為_相反數(shù)_(a0)負數(shù)沒有偶次方根(2)兩個重要公式()n_a_(注意：a必須使有意義)2有理數(shù)的指數(shù)冪(1)冪的有關概念正分數(shù)指數(shù)冪：a！#(a0，m，nN*，且n1)；負分數(shù)指數(shù)冪：a！#！#(a0，m，nN*，且n1)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于_0_,0的負分數(shù)指數(shù)冪_無意義_.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras_ars_(a0，r，sQ)；(ar)s_ars_(a0，r，sQ)；(ab)r_arbr_(a0，b0，rQ)3指

3、數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a0時，_y1_；x0時，_0y0時，_0y1_；x1_在R上是_增函數(shù)_在R上是_減函數(shù)_1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)與()n都等于a(nN*)()(2)2a2b2a b()(3)函數(shù)y32x與y2x1都不是指數(shù)函數(shù)()(4)若am0且a1)，則mn.()(5)函數(shù)y2x在R上為單調(diào)減函數(shù)()解析(1)錯誤當n為偶數(shù)，a1時，mn；而當0an.(5)正確y2xx，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在R上為減函數(shù)2函數(shù)f(x)的定義域是(A)A(，0B0，)C(，0)D(，)解析12x0，2x1，x0.3已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是

4、(A)A(1,5)B(1,4)C(0,4)D(4,0)解析當x1時，f(x)5.4不等式2x2x4的解集為_x|1x2_.解析不等式2x2x4可化為2x2x22，由指數(shù)函數(shù)y2x的性質(zhì)可得，x2x2，解得1x2，故所求解集為x|1x25若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是！(，1)(1，)#.解析由題意知0a211，即1a22，得a1或1a0，a1)的圖象，應抓住三個關鍵點(1，a)，(0,1)，和一條漸近線y0.(2)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換，得到其圖象(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函

5、數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解【例2】 (1)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象可能是(D)(2)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點，則b的取值范圍是_1,1_.解析(1)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象必過點(1,0)，故選D(2)曲線|y|2x1與直線yb的圖象如圖所示，由圖象可得：如果|y|2x1與直線yb沒有公共點，則b應滿足的條件是b1,1三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)問題的類型及解題思路(1)比較指數(shù)冪大小問題常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)(2)簡單的指數(shù)不等式的求解問題解決此類問題應利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論(3)求解與指數(shù)函數(shù)有

6、關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關的問題加以解決【例3】 已知函數(shù)f(x)exex(xR，且e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性；(2)是否存在實數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由解析(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)0對任意xR都成立，f(x)在R上是增函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函數(shù)(2)存在，由(1

7、)知f(x)在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)，則f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立f(x2t2)f(tx)對一切xR都成立x2t2tx對一切xR都成立t2tx2x2對一切xR都成立t2t(x2x)mint2t20，又20，20，t，存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立1(2018山東德州一模)已知a，b，c，則(D)AabcBcbaCcabDbca解析yx為減函數(shù)，bc，bc0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)為端點的線段的中點在y軸上，那么f(x1)f(x2)(A)A1BaC2Da2解析以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)為端點的線段的中點

8、在y軸上，x1x20，又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故選A3函數(shù)y4x2x11的值域為(B)A(0，)B(1，)C1，)D(，)解析令2xt(t0)，則函數(shù)y4x2x11可化為yt22t1(t1)2(t0)函數(shù)y(t1)2在(0，)上遞增，y1所求值域為(1，)，故選B4函數(shù)f(x)axloga(x1)(a0，且a1)在0,1上的最大值和最小值之和為a，則a的值為(B)ABC2D4解析在0,1上yax與yloga(x1)具有相同的單調(diào)性，f(x)axloga(x1)在0,1上單調(diào)，f(0)f(1)a，即a0loga1a1loga2a，化簡得1loga20，解

9、得a.易錯點忽視對含參底數(shù)的討論錯因分析：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含字母參數(shù)時，要分底數(shù)大于1和大于0小于1討論【例1】 已知函數(shù)f(x)(axax)(a0且a1)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍解析當a1時，ax在R上為增函數(shù)，yaxx在R上為減函數(shù)，yaxax為增函數(shù)f(x)為增函數(shù)，0，解得a3或a1，a3.當0a1時，yax在R上為減函數(shù)，yax在R上為增函數(shù)，yaxax在R上為減函數(shù)f(x)為增函數(shù)，0，解得3a1或1a3.又0a1，此時0a0，且a1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是(D)A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D解析方程|ax1|2a(a0，且a1)有兩個實數(shù)根轉(zhuǎn)

10、化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個交點當0a1時，如圖，02a1，即0a1時，如圖，而y2a1不符合要求0a.課時達標第8講解密考綱本考點主要考查指數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡單的復合函數(shù)的單調(diào)性等，通常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，題目難度中等或中等偏上一、選擇題1(2016全國卷)已知a2，b4，c25，則(A)AbacBabcCbcaDcab解析因為a216，b416，c25，且冪函數(shù)yx在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y16x在R上單調(diào)遞增，所以bac.2(2018河南洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)2x2，則函數(shù)y|f(x)|的圖象可能是(B)解析|f(x)|2x2|易知函數(shù)y|f(x)|的圖

11、象的分段點是x1，且過點(1,0)，(0,1)，故選B3已知f(x)3xb(2x4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1)，則f(x)的值域為(C)A9,81B3,9C1,9D1，)解析由f(x)過定點(2,1)可知b2，因為f(x)3x2在2,4上是增函數(shù)，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，故選C4(2018山西太原模擬)函數(shù)y2x2x是(A)A奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增B奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減C偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增D偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減解析令f(x)2x2x，則f(x)2x2xf(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，排除C項，D項又函數(shù)y2x

12、，y2x均是R上的增函數(shù)，故y2x2x在R上為增函數(shù)，故選A5(2018浙江麗水模擬)當x(，1時，不等式(m2m)4x2x0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(C)A(2,1)B(4,3)C(1,2)D(3,4)解析原不等式變形為m2mx.函數(shù)yx在(，1上是減函數(shù)，x12，當x(，1時，m2mx恒成立等價于m2m2，解得1m2，故選C6(2018山東濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(D)Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2cD2a2c2解析作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象，如圖，abf(c)f(b)，結(jié)合圖象知0f(a)

13、1，a0，02a1f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1，12cf(c)，12a2c1，2a2cf(3)，則a的取值范圍是_(0,1)_.解析因為f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以1，解得0a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，則a_3_.解析ya2x2ax1(a1)，令axt，則yt22t1，此二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為t1，又a1，所以當ta，即x1時取最大值，所以a22a114，解得a3.9(2018皖南八校聯(lián)考)對于給定的函數(shù)f(x)axax(xR，a0，a1)，下面給出五個命題，其中真命題是_(只需寫出所有真命題的編號)函數(shù)f(x)

14、的圖象關于原點對稱；函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性；函數(shù)f(|x|)的圖象關于y軸對稱；當0a1時，函數(shù)f(|x|)的最大值是0.解析f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關于原點對稱，真；當a1時，f(x)在R上為增函數(shù)，當0a1時，f(x)在R上為減函數(shù)，假；yf(|x|)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，真；當0a1時，f(|x|)在(，0)上為減函數(shù)，在0，)上為增函數(shù)，當x0時，yf(|x|)取最小值為0，假綜上，真命題是.三、解答題10化簡：(1)(a0，b0)；(2) (0.002)10(2)1()0.解析(1)原式a1b12ab1(2)原式150010(2)11010201.11已知函數(shù)f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解析(1)當a1時，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而yt在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)(2)令g(x)ax24x3a23，f(x)有最大值，g(x)應有最小值，且g(x)min3(a0)