1、2.10導(dǎo)函數(shù)的概念和運(yùn)算整理知識(shí)1 .變化率和導(dǎo)函數(shù)(1)平均變化率(2)導(dǎo)函數(shù)2 .導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算診斷自檢1 .概念思識(shí)(1)f(x0)與(f (x0) ) 表示的意思相同。(2) f(x0)是函數(shù)y=f(x )在x=x0附近的平均變化率。(3)曲線和共同點(diǎn)只有一條的直線必定是曲線的切線。(4)曲線y=f(x )在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與通過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線相同。答案(1)、(2)、(3)、(4)2 .教材的分化(1) (選擇A2-2P6例1 )如果函數(shù)f(x)=2x2-1在圖像上的一點(diǎn)(1，1 )和相鄰的一點(diǎn)(1x，1y )，則等于()A.4 B.4x機(jī)動(dòng)戰(zhàn)士c.4二十二點(diǎn)四十

2、二點(diǎn)二十二點(diǎn)二答案c分析y=(1y )-1=f (1x )-f (1)=2(1x )2-1=2(x ) 2因?yàn)槭?x 4，所以選擇c。(2) (選擇項(xiàng)A2-2P18T7)f(x)=cosx的切線的傾斜角為下面是什么意思？答案分析f (x )=(cosx )=-sinx，f=-1，因?yàn)閠an=-1所以=。用小題目暖身設(shè)(1)(2014全國(guó)卷ii )曲線y=ax-ln (x 1)的點(diǎn)(0，0 )處的切線方程式為y=2x，則a=()A.0 B.1 C.2 D.3答案d分析y=a-、x=0時(shí)，由于y=a-1=2、a=3，所以選擇d。(2)(2017太原模擬)函數(shù)f(x)=xex在圖像的點(diǎn)(1，f(1)

3、 )處的切線方程式為答案是y=2ex-e分析f(x)=xex，f(1)=e，f(x )=ex xex，在圖像的點(diǎn)(1，f(1) )處的切線方程式是y-e=2e(x-1 )，即y=2ex-e題型1導(dǎo)函數(shù)的定義與應(yīng)用已知函數(shù)f(x)=1的值是()A.- B. C. D.0用定義法答案a解析是由導(dǎo)函數(shù)定義的=-f(1)、f(1)=、所以選a。已知的f(2)=2，f (2)=3，1的值是()A.1 B.2 C.3 D.4用定義法答案c如果設(shè)解析令x-2=x、x=2 x，則原式為因?yàn)?=f(2) 1=3，所以選擇c。方法技巧定義求導(dǎo)函數(shù)的方法和解問(wèn)題的思維方法1 .在導(dǎo)函數(shù)定義中，x在x0 (x=0)處

4、的增量是相對(duì)的、既可以是x，也可以是2x。 解題時(shí)必須統(tǒng)一分子、分母中的增量。2 .導(dǎo)函數(shù)定義=f(x0)表示=f(x0)。3 .求在函數(shù)y=f(x )的x=x0處的導(dǎo)函數(shù)的求解步驟。沖關(guān)適合訓(xùn)練在導(dǎo)函數(shù)的定義中求出函數(shù)y=x=1時(shí)的導(dǎo)函數(shù)解記f(x)=、我的意思是，y=f(1 x)-f(1)=-1=、=-，=-.y|x=1=-。問(wèn)題型2導(dǎo)函數(shù)的訂正求以下函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)y=(3x3-4x)(2x 1)。(2) y=x 2單位；(3)f(x)=cos(4)f(x)=e-2xsin2x。用公式法解(1)解法1:y=(3x34x)(2x 1)=6x4 3x3-8x2-4x，y=24x3 9x2-

5、16x-4。解法2:y =(3x3-4x )(2x1) (3x3-4x ) (2x1) =(9x2-4)(2x 1) (3x3-4x)2=24x3 9x2-16x-4。(2) y =(x2) =2xsinx x2cosx。解法1:f(x)=-sin(-2 )=2合計(jì)=-2合計(jì)。解法2:f (x )=cosco s2x合并2 x=cos2x sin2x，f(x)=-sin2x cos2x=-2合。(4)f(x)=-2e-2xsin2x 2e-2xcos2x=-2e-2xsin。方法技巧修正導(dǎo)函數(shù)的原則和方法1 .原則：簡(jiǎn)化簡(jiǎn)單解析式，使其成為8個(gè)導(dǎo)出式可以導(dǎo)出的函數(shù)之和、差、積、商，然后求導(dǎo)出2

6、 .方法(1)連積形式：展開(kāi)為多項(xiàng)式的形式后，求出導(dǎo)數(shù)，參照典型例(1)(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，使其成為整式函數(shù)或比較簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)(3)對(duì)數(shù)形式：形成和、差的形式后求導(dǎo)(4)根式形式：分?jǐn)?shù)指數(shù)的冪形式，然后求導(dǎo)數(shù)(5)三角形式：用三角函數(shù)式變換為和或差的形式，然后求導(dǎo)數(shù)。 參照典型例(3)(6)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)出，參照典型例(4)，即通過(guò)準(zhǔn)確分析函數(shù)的復(fù)合層次、設(shè)定中間變量來(lái)確定復(fù)合過(guò)程，并從中導(dǎo)出沖關(guān)適合訓(xùn)練如果函數(shù)f(x )的導(dǎo)函數(shù)f(x )是已知的，并且滿足f (x )=2xf(1) lnx，則f(1)=()A.-e B.-1 C.1 D.e答案b解析f(x)=2x

7、f(1) lnx，f (x )=2xf (1) =2f (1)，選擇f(1)=2f(1) 1，即f(1)=-1.b。2 .求以下函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)y=e2xcos3x。(2)y=ln。解(1) y =(e2x ) 解cos3x e2x (cos3x ) =2e2xcos3x e2x (-3合3 x )=e2x(2cos3x-3sin3x )。(2)y=ln (x2 1 )、y=。問(wèn)題型三曲線的切線問(wèn)題求角度1曲線的切線方程式已知(2016全國(guó)卷iii)f(x )是偶函數(shù)，在x0的情況下，如果f(x)=ln (-x) 3x，則曲線y=f(x )在點(diǎn)(1，-3)處。直接法答案是y=-2x-1如果是

8、解析命令x0，則為-x0，f(-x)=ln x-3x，另外，f(-x)=f(x )，f(x)=ln x-3x(x0)，f (x )=-3，f(1)=-2，點(diǎn)(1，-3)處的切線方程式為y 3=-2(x-1 )，即，y=-2x-1。求角度2接點(diǎn)坐標(biāo)(多維搜索)(2017石家莊模擬)曲線y=xln x上的點(diǎn)p處的切線平行于直線2x-y 1=0，點(diǎn)p的坐標(biāo)為_(kāi)。利用方程式的思維方法回答(e，e )如果將解析設(shè)為P(x0，y0)，則y=xln x的關(guān)導(dǎo)函數(shù)字y=lnx 1從題意ln x0 1=2中求出x0=e，容易求出y0=e。條件探索典型例中，試著求出與曲線y=xln x上的直線y=-x平行的切線方

9、程式。之所以將接點(diǎn)設(shè)為(x0，y0)，是因?yàn)閥=lnx 1，切線的斜率k=ln x0 1，從題意得知k=-1，x0=，y0=-，求出的切線方程式y(tǒng)=-，即e2x e2y 1=0。關(guān)于角度三切線的殘奧儀表問(wèn)題設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x bx，曲線y=f(x )的點(diǎn)(2，f(2) )處的切線方程式為y=(e-1)x 4用方程式思考的方法因?yàn)榻馐莊(x)=xea-x bx，所以，是f(x)=(1-x)ea-x b。根據(jù)問(wèn)題，我知道也就是說(shuō)解答a=2，b=e。方法技巧與導(dǎo)函數(shù)幾何意義相關(guān)的問(wèn)題的一般類(lèi)型及解問(wèn)題策略1 .求切線方程式：注意區(qū)別在曲線的某點(diǎn)的切線和通過(guò)曲線的某點(diǎn)的切線，在曲線y=f(x

10、)的點(diǎn)P(x0，f(x0) )的切線方程式是y-f(x0)=f(x0在求某點(diǎn)M(x1，y1)的切線方程式時(shí)，求切點(diǎn)A(x0，y1)的切線方程式2 .已知切線方程(或斜率)來(lái)確定切點(diǎn)的一般思維方法是：在確定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)之后，將導(dǎo)函數(shù)等于切線斜率來(lái)確定切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并將橫軸代入函數(shù)解析式來(lái)確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)3 .根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出殘奧表的值時(shí)，一般利用切點(diǎn)P(x0，y0 )在曲線上和切線上的雙方上建立方程式來(lái)求解注意：在求出曲線y=f(x )的過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程式時(shí)，點(diǎn)P(x0，y0)不一定是切點(diǎn)。沖關(guān)適合訓(xùn)練1.(2017陜西五校聯(lián)合試驗(yàn))已知的直線y=-x m是曲線y=x2-3

11、ln x的切線，m的值是()A.0 B.2 C.1 D.3答案b因?yàn)榉治鲋本€y=-x m是曲線y=x2-3ln x的切線，所以設(shè)y=2x-=-1，x=1或x=-(舍)，即切點(diǎn)為(1，1 )。2 .已知的曲線y=x3。(1)求出點(diǎn)p (2，4 )的曲線的切線方程式(2)求出曲線的過(guò)點(diǎn)p (2，4 )的切線方程式(3)求斜率為1的曲線的切線方程式解(1)y=x2，k=y| x=2=4，曲線在點(diǎn)p (2，4 )的切線方程式是4x-y-4=0。(2)如果曲線和過(guò)點(diǎn)p (2，4 )的切線與點(diǎn)a相切，則k=y| x=x0=x。切線方程式是y=xx-x。另外，因?yàn)閜 (2，4 )在切線上，所以4=2x-x，

12、即x-3x 4=0.x x-4x 4=0，(x0 1 )x0=-1，x0=2。求出的切線是4x-y-4=0或者x-y 2=0。(3)若將接點(diǎn)設(shè)為(x0，y0)，則k=x=1，接點(diǎn)為(-1，1 )，求出的切線方程式是3x-3y 2=0和x-y 2=0。題型四導(dǎo)函數(shù)幾何意義的應(yīng)用如果對(duì)于(2017資陽(yáng)期末) x0，)不等式2axex-1始終成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A. B. C.1 D.2尺數(shù)形結(jié)合答案a解析對(duì)x0，)、不等式2axex-1始終成立，y=2ax，y=ex-1，其中x0。在同一坐標(biāo)系上描繪的函數(shù)y=2ax和y=ex-1的圖像如圖所示，設(shè)y=ex、x=0、k=e0=1，曲線y=ex

13、-1的過(guò)點(diǎn)o (0，0 )的切線斜率是k=1。從題意到2a1，從解到a，a的最大值是.所以選擇了a。已知函數(shù)f(x)=x3 x2，數(shù)列xn(xn0)的各項(xiàng)滿足曲線y=f(x )的在(xn 1，f(xn 1) )處的切線求證：在nN*的情況下，x xn=3x 2xn 1。尺導(dǎo)函數(shù)證明y=f(x )在(xn 1，f(xn 1) )處的切線斜率是f(xn1)=3x2xn 1，經(jīng)過(guò)(0，0 )。x xn=3x 2xn 1。方法技巧這種問(wèn)題需要注意導(dǎo)函數(shù)與切向梯度的對(duì)應(yīng)關(guān)系k=f(x0 )，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于云同步?jīng)_關(guān)適合訓(xùn)練1.P是曲線y=ln x上的動(dòng)點(diǎn)，q是直線y=x 1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|最小

14、值=()A.0 B. C. D.2答案c在分析直線與y=ln x相接并且與y=x 1平行的情況下，從切點(diǎn)p到直線y=x 1的距離|PQ|最小，(lnx )=并且=1是x=1，因此p (1，1 )2 .如圖所示，建設(shè)道路需要湖的彎曲部分和2條直線道路平滑地連接(相接)。 如果知道湖的彎曲部分是某個(gè)三次函數(shù)圖像的一部分，則此函數(shù)的解析式為()A.y=x3-x2-x B.y=x3 x2-3xC.y=x3-x D.y=x3 x2-2x答案a如分析主題所理解的那樣，該三次函數(shù)滿足以下條件：設(shè)過(guò)點(diǎn)(0，0 )、(2，0 )、(0，0 )處的切線方程式為y=-x，設(shè)(2，0 )處的切線方程式為y。因?yàn)槭悄_，

15、所以選擇a。如果在函數(shù)y=f(x )的圖像上存在兩個(gè)點(diǎn)，并且函數(shù)的圖像在這兩個(gè)點(diǎn)處的切線相互正交，則y=f(x )具有t的性質(zhì)。 以下函數(shù)中具有t性質(zhì)的是()x3=正式b.y=正式c.y=正式y(tǒng)=正式x 3答案a分別將解析函數(shù)y=f(x )圖像上的兩點(diǎn)設(shè)為(x1，y1)、(x2，y2)，且如果x1x2，則根據(jù)標(biāo)題可知函數(shù)y=f(x )滿足f(x1)，如果y=f(x)=ln x的導(dǎo)函數(shù)滿足f(x )=則f(x 如果y=f(x)=ex的導(dǎo)函數(shù)是f(x )=ex，那么由于f(x1) f(x2)=ex1x 20，所以函數(shù)y=ex不具有t的性質(zhì)。 如果y=f(x)=x3的導(dǎo)函數(shù)是f(x )=3x 2，則由于f(x1) f(x2)=9xx0，所以函數(shù)y=x3不具有t的性質(zhì)。如果已知函數(shù)f(x)=2f(2-x)-x2 5x-5，則曲線y=f(x )在點(diǎn)(1，f(1) )處A.y=x B.y=-2x 3C.y=-3x 4 D.y=x-2答案a分析f(x)=2f(2-x)-x2 5x-5，f(x)=-2f(