1、第53講 曲線與方程解密考綱求曲線的軌跡方程，經(jīng)常通過定義法或直接法，在解答題的第(1)問中出現(xiàn)一、選擇題1已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(B)A直線B圓C橢圓D雙曲線解析 設(shè)P(x，y)，則2，整理得x2y24x0，又D2E24F160，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓2(2017全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(B)A1B1C1D1解析 根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為yx，可知，又橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)，所以a2b29，根據(jù)可知a24，b25，故選B3已知點(diǎn)P是直線2

2、xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(D)A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析 設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得Q點(diǎn)的軌跡方程為2xy50.4設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(D)A1B1C1D1解析 M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的

3、直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2，且1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(A)Ax23y21(x0，y0)Bx23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0，點(diǎn)Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.將a，b代入axby1得所求的軌跡方程為x23y21(x0，y0)6已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為(B)A4B3C2D1解析 e是方

4、程2x25x20的根，e2或e，mx24y24m可化為1，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，有，m3；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，有，m；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，可化為1，有2，m12，滿足條件的圓錐曲線有3個(gè)，故選B二、填空題7已知ABC的頂點(diǎn) A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_1(x3)_.解析 如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)8在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(2,2)，若點(diǎn)C滿足O

5、Ot(OO)，其中tR，則點(diǎn)C的軌跡方程是_2xy20_.解析 設(shè) C(x，y)，則(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y2x2.9P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足O，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是1.解析 作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形，所以22.又，所以，設(shè)Q(x，y)，則，即點(diǎn)P坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.三、解答題10已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：xy20相切(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，ANx軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足m(1m)(其中m

6、為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C2.解析 (1)依題意圓的半徑為圓心(0,0)到直線l1的距離2，故圓C1的方程為x2y24.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)ANx軸交于點(diǎn)N，N(x0,0)，由題意，得(x，y)m(x0，y0)(1m)(x0,0)，即將A，代入x2y24，得1.即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為1.11(2018河北唐山統(tǒng)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l：x1的距離等于它到圓C：x2y24x10的切線長(zhǎng)(P到切點(diǎn)的距離)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過圓心C作直線AB：xmy2交曲線E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，過圓心C作直線CQ垂直于直線AB交直線l于點(diǎn)

7、Q，求的取值范圍解析 (1)由已知得圓的方程為(x2)2y23，則圓心為C(2,0)，半徑r.設(shè)P(x，y)，依題意可得|x1|，整理得y26x.故曲線E的方程為y26x.(2)又直線AB的方程為myx2，則直線CQ的方程為ym(x2)，可得Q(1,3m)將myx2代入y26x并整理可得y26my120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y26m，y1y212，AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|2，所以2，故的取值范圍是.12(2017全國(guó)卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，