1、第1講絕對(duì)值不等式板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 必備知識(shí)考點(diǎn)1絕對(duì)值不等式的解法1形如|axb|cxd|的不等式，可以利用兩邊平方轉(zhuǎn)化為二次不等式求解2形如|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式(1)絕對(duì)值不等式|x|a與|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或axbc(c0)考點(diǎn)2絕對(duì)值不等式的應(yīng)用1定理：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立3由絕對(duì)值不等式定理還可以推得以下幾個(gè)不等式(1)|a1a2an|a1

2、|a2|an|.(2)|a|b|ab|a|b|.(3)|a|b|ab|a|b|.考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)|axb|c(c0)的解等價(jià)于caxbc.()(2)若|x|c的解集為R，則c0.()(3)不等式|x1|x2|2的解集為.()(4)|xa|xb|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a，b的距離之和()(5)不等式|ab|a|b|等號(hào)成立的條件是ab0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2課本改編不等式3|52x|9的解集為()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由題得得解集為(2,14,7)3不等式

3、|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案A解析|x3|x1|(x3)(x1)|4，a23a4恒成立，a(，14，)4課本改編不等式|x1|4|x2|的解集是_答案解析由|x1|4|x2|，得或或解得1x或2x1或x2.所以原不等式的解集為.52018南寧模擬若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.6課本改編不等式|x3|2x1|1的解集為_答案解析當(dāng)x3時(shí)，原不等式化為(x3)(12x

4、)1，解得x10，所以x3.當(dāng)3x時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，所以3x.當(dāng)x時(shí)，原不等式化為x312x2，所以x2.綜上可知，原不等式的解集為.板塊二典例探究考向突破考向絕對(duì)值不等式的解法例12017全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)1無(wú)解；當(dāng)1x2時(shí)，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|

5、2，且當(dāng)x時(shí)，|x1|x2|x2x，故m的取值范圍為.觸類旁通絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對(duì)a0，|x|aaxaxa.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)(3)零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離問題求解(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解【變式訓(xùn)練1】2017全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x

6、)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時(shí)，式化為x23x40，無(wú)解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x1時(shí)，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為(2)當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價(jià)于當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,1考向絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用例2(1)2018江西模擬已知函數(shù)f(x)|2x1|.求不等式f(x)

7、0，n0)，求的取值范圍解不等式f(x)4，即|2x1|4，即42x14，求得x0，n0)，則12，當(dāng)且僅當(dāng)m42，n22時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍為.(2)2018太原模擬已知函數(shù)f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.解不等式：|g(x)|5；若對(duì)任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x4因?yàn)閷?duì)任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|

8、x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a1或a5觸類旁通絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通過(guò)確定適當(dāng)?shù)腶，b，利用整體思想或使函數(shù)、不等式中不含變量，可以(1)求最值(2)證明不等式【變式訓(xùn)練2】(1)2018江西模擬設(shè)f(x)|x1|x1|(xR)，求證：f(x)2；若不等式f(x)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)b恒成立，求x的取值范圍解證明：f(x)|x1|x1|1x|x1|1xx1|2.令g(b)，g(b)3，f(x)3，即|x1|x1|3，x1時(shí)，2x3，x1.5；11時(shí)，2x3，x1.5.綜上所述x1.5

9、或x1.5.(2)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|，aR.若不等式f(x)2|x1|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值解由題f(x)2|x1|，可得|x1|1.而由絕對(duì)值的幾何意義知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，得1，即0a4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4函數(shù)f(x)|2xa|x1|，當(dāng)a2，即1時(shí)，f(x)所以f(x)minf13，得a42g(x)1；(2)若不等式f(x)g(x)4對(duì)任意xR恒成立，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)2g(x)1為|x4|4|x|1，x4x1，解得x1，1x4x1，解得x，0x4，不等式化為x44

10、x1，解得x2g(x)1為|x4|4|x|1，分類討論求得x的范圍(2)由題意可得|x4|a|x|4對(duì)任意xR恒成立當(dāng)x0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)x0時(shí)，采用分離參數(shù)法，問題等價(jià)于a對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，再利用絕對(duì)值三角不等式求得a的范圍含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想【變式訓(xùn)練3】(1)已知函數(shù)f(x)|12x|1x|.若不等式f(x)4的解集為x|axb，求a，b的值；求使不等式f(x)kf(2x)有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍解f(x)當(dāng)x1時(shí)，x24，2x1；當(dāng)1x時(shí)，3x時(shí)，x24，x6.故由f(x

11、)4得2x6，a2，b6.不等式f(x)kf(2x)有解，即|12x|1x|k|14x|12x|，即k|14x|1x|有解，|14x|1x|14x|1x|的最小值為，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.(2)2018涼山州模擬已知函數(shù)f(x)|x1|x|a.若不等式f(x)0的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若方程f(x)x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解令g(x)|x1|x|，則由題意可得f(x)0的解集為，即g(x)a的解集為，即g(x)1，即a1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，1)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)g(x)|x1|x|圖象和yx的圖象如圖所示，由題意可知，把函數(shù)yg(x)的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)

12、(不包括1個(gè)單位)與yx的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而1a0.核心規(guī)律含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的求解方法(1)分離參數(shù)法：運(yùn)用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題(2)更換主元法：不少含參不等式恒成立問題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決問題時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，?？傻玫胶?jiǎn)捷的解法(3)數(shù)形結(jié)合法：在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問題時(shí)，若能數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢(shì)，可直觀解決問題滿分策略1在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問題時(shí)，充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問題，能有效避免分類討論不全面的問題若

13、用零點(diǎn)分段法求解，要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏2絕對(duì)值不等式|ab|a|b|，從左到右是一個(gè)放大過(guò)程，從右到左是縮小過(guò)程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值絕對(duì)值不等式是證明與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问蛊浞辖^對(duì)值不等式的條件. 板塊三模擬演練提能增分 基礎(chǔ)能力達(dá)標(biāo)12018宜春模擬設(shè)函數(shù)f(x)|x4|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)g(x)等價(jià)于(x4)20，x1，不等式的解集為x|x1(2)令H(x)2f(x)g(x)G(x)ax，2f(x)g(x)ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成

14、立，即H(x)的圖象恒在直線G(x)ax的上方，故直線G(x)ax的斜率a滿足4a，即a的范圍為.22018深圳模擬已知函數(shù)f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得f(x)m成立，求m的取值范圍；(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解(1)f(x)|x5|x2|當(dāng)2x5時(shí)，372x3，所以3f(x)3.所以m的取值范圍是3，)(2)原不等式等價(jià)于f(x)x28x15，由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2x5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5x9；(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)|x4|的解集為A，BxR|2x1|3，如果ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a

15、5時(shí)，f(x)|x5|x2|.當(dāng)x2時(shí)，由f(x)9，得2x39，解得x3；當(dāng)5x9，得79，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)x9，得2x39，解得x9的解集為xR|x3(2)ABA，BA.又BxR|2x1|3xR|1x2，關(guān)于x的不等式f(x)|x4|的解集為A，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)|x4|恒成立由f(x)|x4|得|xa|2.當(dāng)1x2時(shí)，|xa|2恒成立，即2xa2x恒成立實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,042018泉州模擬已知函數(shù)f(x)|x1|2x4|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)9；(2)若直線ym與曲線yf(x)圍成一個(gè)三角形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求所圍成的三角形面積的最大值解(1)x1，不等式可化為x12x42，2x1；1x2，不等式可化為x12x44，1x2；x2，不等式可化為x12x49，x4，2x4；綜上所述，不等式的解集為x|2x4(2)f(x)|x1|2|x2|由題意作圖如下，結(jié)合圖象可知，A(3,6)，B(1,6)，C(2,3)；故3m6，且m6時(shí)面積最大為(31)36.52018長(zhǎng)春模擬已知函數(shù)f(x)|2x4|xa|.(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)f(x)|xa4|時(shí)，求x的取值范圍解(1)f(x)|2x4|xa|可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(2)a21，解得a3.(2)f