1、2020/7/30,數(shù)學(xué)實驗之四數(shù)列與級數(shù),陳發(fā)來 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系,2020/7/30,1、數(shù)列與級數(shù),數(shù)列 級數(shù) 數(shù)列與級數(shù)的關(guān)系 給定數(shù)列（1），令 ，則數(shù)列（1）等價于級數(shù)（2）。反之，給定級數(shù)（2） 令 則級數(shù)（2）等價于數(shù)列（1）。,2020/7/30,給定數(shù)列（1），回答以下問題： 1、數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？ 2、數(shù)列的極限是否存在有限？ 3、如果數(shù)列的極限趨于無窮，那么它趨于無窮的階是多大？ 4、如果數(shù)列的極限不存在，那它在無窮大時的極限狀態(tài)又如何？,2020/7/30,2、Fibonacci數(shù)列,Fibonacci數(shù)列由遞推關(guān)系 確定。其前十項為： 1，1，2，3，5，

2、8，13，21，34，55,1,2,3,4,5,2020/7/30,為研究Fibonacci數(shù)列的規(guī)律，我們在二維平面 上畫出順次連接點列 的折 線圖。,2020/7/30,易知 故有 的階在 與 之間。 為進(jìn)一步研究 的特性，在平面坐標(biāo)系中畫連接 的折線圖。然后用直線去擬 合之.,2020/7/30,2020/7/30,猜測 將上式代入遞推公式中得 由此 然而,上式并不滿足 進(jìn)一步猜測,2020/7/30,由此得 可以驗證上式是Fibonacci數(shù)列的通項. 由此， Fibonacci數(shù)列趨于無窮的階為,2020/7/30,一般地, 給定數(shù)列的遞推關(guān)系 假設(shè) 則 滿足,2020/7/30,因

3、此 的通項為 其中 是上述方程的根。,2020/7/30,3、調(diào)和級數(shù),調(diào)和級數(shù) 研究數(shù)列 的極限階.,2020/7/30,首先研究 的折線圖.,2020/7/30,由于 下面研究 的極限. 從上圖猜測, 極限 存在. 實際上,易知,2020/7/30,故知極限存在. 進(jìn)而 由此猜測 用數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn), 稱為Euler常數(shù).,2020/7/30,也可以直接從數(shù)列 出發(fā). 猜測,2020/7/30,4、3N+1問題,問題：任給自然數(shù)n，如果n是偶數(shù)，則將n除2；如果n是奇數(shù)，則將n乘3加1。重復(fù)上述過程得到一個無窮數(shù)列。例如， 上述數(shù)列可遞歸地定義為 如果n為偶 如果n為奇,2020/7/30,我

4、們來研究上述數(shù)列的規(guī)律。先從簡單的示例開始。,2020/7/30,用Mathematica編程驗證： 1、是否對任意n，從n開始產(chǎn)生的數(shù)列最后都落于421的循環(huán)中？ 2、數(shù)列在落于421循環(huán)之前，有什么規(guī)律？,2020/7/30,對n=27得,2020/7/30,2020/7/30,該問題起源于20世紀(jì)50年代，被稱為Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz問題，Hasse算法問題，Ulam問題，Thwaites猜想，簡稱3x+1問題。 目前有人驗證到 猜想仍然成立。,2020/7/30,一些觀察： 如果 ，則 對 ， 為奇數(shù)，則,2020/7/30,如果對每個n, 數(shù)列中有某一項小于n

5、, 則猜想成立。 對 n=4k+1, 有 對 n=16k+3, 有,2020/7/30,如果猜想不成立，則只有下列兩種情況之一 1、數(shù)列落于有別于421的循環(huán)中； 2、不存在循環(huán)。此時，數(shù)列總趨勢會越來越大。,2020/7/30,引入一些概念： 航班：從n開始迭代產(chǎn)生的數(shù)列（直至1為止）。如第5次航班為5168421 航程：航班的長度。如航班5168421的長度為5 最大飛行高度：一個航班中的最大數(shù)字。如第5航班的最大飛行高度為16,2020/7/30,保持高度航程：從起點起連續(xù)不小于起點的數(shù)字的個數(shù)。如3105168421的保持高度航程為5。如果所有航班的保持高度航程有限，則3n+1問題成立

6、。 航程記錄航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程為16。 保持高度航程記錄航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。,2020/7/30,最大飛行高度記錄航班：最大飛行高度大于所有它前面的航班的最大飛行高度。 對于一個固定航班N, 考慮它著陸前的表示奇變換。其中除2的變換稱為偶變換，乘3加1的變換成為奇變換。用E(N)表示偶變換數(shù)，O(N)表示奇變換數(shù)。,2020/7/30,一些記錄： 保持高度航程：N=118303688851791519, G(N)=1471 留數(shù)：N=993, R(N)=1.253142 航程：N=1269884180266527, F(N)

7、=2039,2020/7/30,顯然3N+1問題與下列問題等價： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）對所有N, E(N)有限； 4）對所有N, O(N)有限。,2020/7/30,一些探索： 1）航程與起點的關(guān)系。,2020/7/30,上述圖形中有沒有規(guī)律？ 用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界與n存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？例如，當(dāng)n適當(dāng)大后，是否有f(n)n？ 一些航程記錄：,2020/7/30,2）保持高度航程與起點關(guān)系。,2020/7/30,上述圖形中能看出什么規(guī)律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)的上界是否與不超過c*log(N)? 對 N=2p-1

8、, a_2=3*2p-2, a_4=32*2p-1, a_2p=3p-1. 于是，G(2p-1)2p. 一些保持高度航程記錄： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.,2020/7/30,3）最大飛行高度與起點的關(guān)系。,2020/7/30,用t(n)表示航班n的最高飛行高度。上述圖形中有什么規(guī)律？t(n)與n的關(guān)系如何？例如，是否有t(n)K*n*n ?,2020/7/30,偶變換與奇變換的關(guān)系：,2020/7/30,O(N)/E(N)的上界是什么？當(dāng)N趨于無窮時，O(N)/E(N)的極限是什么？ 簡單分析： 其中 R(N)稱為留數(shù)，它是所有形如 的項的積

9、，這里 a_i是航程中的奇數(shù)。例如，,2020/7/30,對于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15) 取對數(shù)得 故,2020/7/30,且 如果 則,2020/7/30,一些猜測： （1） R(N)= R(993) (2) 令 C(N)=O(N)/E(N), 則 C(N)C, Clog2/log3為常數(shù)。,2020/7/30,啟發(fā)式論證： 注意每一次奇變換后必然是偶變換，但每一次偶變換后可以是奇變換，也可能是偶變換。假設(shè)這種可能性是一樣的。從某一個N開始，我們考察航班高度的變化： （1）奇變換后做偶變換的結(jié)果為奇數(shù)，可能性1/2，高

10、度變換 3/2； （2）奇變換后做偶變換的結(jié)果為偶數(shù)，可能,2020/7/30,性為1/4，高度變化3/4； 奇變換后再作三次偶變化，可能性1/8，高度變化3/8； . 平均變化高度： 高度最終下降。,2020/7/30,用c 表示保持高度航程中奇變換的次數(shù)的平均值。利用上述模型可以證明，c=3.49265. 對3到2000000000之間航班的保持高度航程中奇次變換取平均值，可得到3.4926。這兩個結(jié)果的驚人的一致性使我們相信上述啟發(fā)式模型的正確性。,2020/7/30,一些理論結(jié)果： （1）R. Terra 和 C. Evertt證明了：幾乎所有的航班都會下降到它的起點以下。 （2）存在

11、常數(shù)c, 當(dāng)n 足夠大時，在比n小的航班中，能夠在1上著陸的航班個數(shù)大于或等于nc. 1978年，R. Crandal首先給出c=0.05; 1989年I. Krasikov得到c=0.43; 1993年G. Wirsching給出c=0.48; 1995年D. Applegate 和J. Lagarias得到c=0.81.,2020/7/30,會不會永遠(yuǎn)證不出來？ 自從哥德爾發(fā)表他的著名的不完備定理以來，每次數(shù)學(xué)家碰到一個困難的問題，都會疑神疑鬼這會不會證不出來？ 哥德爾的不完備定理，在包含皮亞諾的自然數(shù)公理的系統(tǒng)中，總有不可證明的命題存在。因而3N+1問題有可能不能證明，即使它是錯誤的。比如，我們可能發(fā)現(xiàn)一個航班，,2020/7/30,它非得越來越高，但無論如何不能證明它永遠(yuǎn)也不會著陸到1。 數(shù)學(xué)家J. Conway（發(fā)明了生命游戲）定義了一個類似3N+1問題的不可證明的命題。但他的方法仍然不能說明3N+1是否可以證明。,2020/7/30,各種變化與推廣 （1）推廣到負(fù)數(shù)?？梢杂腥齻€不同循環(huán)： -1-2-1 -5-14-7-20-10-5 -17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17 是